精品解析：黑龙江哈尔滨市香坊区哈尔滨德强学校2025-2026学年八年级下学期学情自测数学试题

2025—2026年下学期开学检测 八年级数学试题 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 使分式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件. 分式有意义的条件是分母不为零，因此需确保分母. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 即， ∴. 故的取值范围是 . 故选：B. 2. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及整式的除法．根据运算法则逐一验证每个选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算正确，符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据提取公因式法和公式法分解因式，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵， ∴A错误， ∵， ∴B正确， ∵， ∴C错误， ∵， ∴D错误， 故选B． 【点睛】本题主要考查提因式分解，掌握取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 4. 如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，由作图可知，，，根据证明三角形全等即可解决问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：． 5. 把分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的一半 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的值同时扩大为原来的2倍后的分式，再跟原分式进行比较即可判断． 【详解】的值同时扩大为原来的2倍后分式变为==·， 即变为原来的一半， 故选D． 【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的基本性质． 6. 如图，是的平分线，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由角平分线求出，由三角形外角的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴ ∴． 7. 已知点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 9. 甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工需90天完成．甲队先单独施工30天，然后增加了乙队，两队又合做了15天，总工程刚好全部完成，设乙队单独施工需x天完成，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系． 10. 如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值． 【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′， ∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N ∴M′N′=M′E， ∴CE=CM′+M′E ∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值． ∵三角形ABC的面积为8，AB=4， ∴×4•CE=8， ∴CE=4． 即CM+MN的最小值为4． 故选B． 【点睛】本题考查是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形的面积求解是解题关键． 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值为0，掌握分式的值为0，则分子为0，分母不能为0的知识是关键，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解方程，得 ， ∴或， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 分式方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化思想，解分式方程注意要检验． 14. 如图，在中，，D是的中点，，则的大小为_______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线，求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解∶ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 是完全平方式，则常数________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， 故答案为：． 17. 若一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形周长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①是腰长时，三边分别为、、， ， 能组成三角形； 这个等腰三角形的周长为； ②是底边时，三边分别为、、， ， 不能组成三角形，舍去， 综上，这个等腰三角形的周长为． 故答案为：7． 18. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，可求得提速前列车的平均速度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式，分式方程的实际应用，正确找出等量关系是解题关键．直接利用总出路程除以速度时间，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设提速前列车的平均速度为，根据题意可得： ， 解得：． 故答案为：． 19. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟记平方差、完全平分公式．由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而长方形一边长为，利用长方形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】解：依题意得剩余部分为： ， ∵拼成的长方形一边长为， ∴另一边长为： 若拼成的长方形一边长为，则另一边长为：， 故答案为：． 20. 如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点．下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】证明得出，，故①②正确；因为得出即可判断③，根据即可判断④． 【详解】∵中，，点为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 在与中， ∴， ∴，，故①②正确； 又∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 故④错误． 综上所述，正确结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（21、22每题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分，共60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了多项式除以单项式，有理数的乘方运算，零次幂及负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用多项式除以单项式运算法则计算即可； （2）利用零指数幂和负整数指数幂进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向下平移4个单位长度，画出平移后的 （2）画出关于y轴对称的（点、、的对称点分别是点、、），并直接写出的面积______． 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解， 【解析】 【分析】（1）根据图形的平移可直接进行求解； （2）由（1）可先得出点、、关于y轴的对称点，进而根据割补法可求解面积． 【小问1详解】 解：（1）由题意可得如图所示： 【小问2详解】 解：由题意可得如图所示： ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查坐标与图形及轴对称，熟练掌握坐标与图形及轴对称是解题的关键． 24. 如图，在中，于点为上一点，连接交于点．若． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】本题考查两个直角三角形全等的判定与性质，熟记两个直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理直接求证即可得到答案； （2）由（1）中两个直角三角形全等，得到，等量代换即可得证． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ． 25. 甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天． (1)甲、乙两人每天各加工多少个这种零件? (2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120，现有1600个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过4200元，那么甲至少加工了多少天？ 【答案】（1）甲、乙两人每天各加工 40、60 个这种零件；（2）甲至少加工了 20 天． 【解析】 【分析】（1）设乙每天加工个这种零件，则甲每天加工个这种零件，然后根据题意列出分式方程，求解并检验即可得出答案； （2）设甲加工了天，根据题意可列出一个关于y的不等式，解不等式即可找到y的最小值． 【详解】（1）设乙每天加工个这种零件，则甲每天加工个这种零件． 根据题意得 解得 检验：当时， ． 所以，原分式方程的解为 所以 答：甲、乙两人每天各加工 40、60 个这种零件． （2）设甲加工了天．根据题意得 解得 ∴至少取 20． 答：甲至少加工了 20 天． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，能够根据题意列出分式方程和不等式是解题的关键． 26. 在中， 于点M，且点M为的中点，。 （1）如图1，求证：为等边三角形； （2）如图2，点D、E分别在上，连接相交于点F，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，于点G，连接，，点H为外一点，连接，点I为内一点，连接，，，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）24 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明为等边三角形； （2）根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形内角和定理求解即可； （3）连接，过点作、的垂线，垂足分别为、，连接，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接，由等腰三角形的性质，推出，再通过证明全等三角形，从而得出，得出，设，求出，过点作的垂线，垂足为，利用30度角所对的直角边等于斜边一半，得出，即可计算出的面积． 【小问1详解】 证明：∵于点M，且点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形； 【小问2详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点作、的垂线，垂足分别为、，连接，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴， ∵， ∵， 又∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在等腰直角形，， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作垂线，垂足为， 在中，，， ∴， ∴的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． （1）如图1，求点D坐标； （2）如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出，得到，即可得到； （2）首先表示出，然后利用三角形面积公式求解； （3）如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M，设，证明出，得到，然后推出，证明出，得到，，推出，求出，得到，证明出，得到，，求出，然后求出，求出所在直线表达式为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M， ∵平分， ∴设 ∵轴， ∴ ∵轴 ∴轴 ∴ ∵ ∴ ∵轴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵平分，轴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵于点G，， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 当时， 解得 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年下学期开学检测 八年级数学试题 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 使分式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 把分式中的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来4倍 D. 缩小为原来的一半 6. 如图，是的平分线，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 8. 如图，在中，，，点D是中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工需90天完成．甲队先单独施工30天，然后增加了乙队，两队又合做了15天，总工程刚好全部完成，设乙队单独施工需x天完成，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 12. 若分式的值为0，则的值为______． 13. 分式方程的解为_________． 14. 如图，在中，，D是的中点，，则的大小为_______． 15. 如图，在中，，平分，若，则__________． 16. 是完全平方式，则常数________． 17. 若一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形周长为________． 18. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，可求得提速前列车的平均速度为_________． 19. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为________． 20. 如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点．下列结论：①等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是______（填序号）． 三、解答题（21、22每题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分，共60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向下平移4个单位长度，画出平移后的 （2）画出关于y轴对称的（点、、的对称点分别是点、、），并直接写出的面积______． 24. 如图，在中，于点为上一点，连接交于点．若． 求证： （1）； （2）． 25. 甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天． (1)甲、乙两人每天各加工多少个这种零件? (2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120，现有1600个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过4200元，那么甲至少加工了多少天？ 26. 在中， 于点M，且点M为的中点，。 （1）如图1，求证：为等边三角形； （2）如图2，点D、E分别在上，连接相交于点F，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，于点G，连接，，点H为外一点，连接，点I为内一点，连接，，，若，，求的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． （1）如图1，求点D的坐标； （2）如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $