三角恒等变换专题练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第一册

寒假开学作业2三角恒等变换 出卷：吴林 审题：胡昊翔 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若，则实数的值为（ ） A．4 B． C． D． 5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数的图象关于对称，则（    ） A．的最大值为2 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称 10．（多选）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最小值为 C．的图象关于点对称 D．在区间上有3个零点 11．（多选）已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是（    ） A．存在，使得是偶函数 B． C．是的整数倍 D．的最大值是6 12．在中，若，则_________. 13．函数的值域为_____________． 14．已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________． 15．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围. 16．已知. (1)求在上的单调递减区间； (2)若，求的值. 17．化简并求值. （1）； （2）； （3）； （4）. 18．已知函数在区间上单调，其中，，且． (1)求的图象的一个对称中心的坐标； (2)若点在函数的图象上，求函数的表达式． 19． ，，， (1)若，求的值； (2)若函数的最小正周期为 ①求的值； ②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《寒假练习卷2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A C D D A AB ACD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】由和差角公式以及辅助角公式即可化简求解. 【详解】根据题意，，即， 故， 故选：A 2．B 【分析】由同角三角函数的关系，求出，再由两角差的正切公式求. 【详解】，，则有，， . 故选：B. 3．C 【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案. 【详解】， ， 两式相加得， . 故选：C. 4．A 【分析】由三角恒等变换直接可得出. 【详解】由已知可得 . 故选：A. 5．C 【分析】根据函数图象平移规律可得函数的图象，由、设，则，分别利用、，求出可得答案. 【详解】函数的周期为， 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 可得， 由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且， 不妨设，则，即在时取得最小值， 由于，此时，不合题意；，此时， 当时，满足题意. 故选：C. 6．D 【分析】由函数的最小值可求得A的值，由结合的取值范围可求得的值，再由可求得的值，综合可得出结果． 【详解】由图象可得，可得， ，可得， 由于函数在附近单调递减，且，， 由图象可知，函数的最小正周期满足，可得， ，则， 所以，解得， ，所以，，因此． 故选：D． 7．D 【分析】根据待求式的结构，求解即可． 【详解】解：因为 =-. ， ； ，， 所以， 故． 故选：D. 8．A 【分析】设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴， 则，其中，所以，，， 因为函数在区间上单调，则，所以，. 所以，的可能取值有：、、、、. （i）当时，，， 所以，，则， ，，所以，， 当时，，所以， 函数在上不单调，不合乎题意； （ii）当时，，， 所以，，则， ，，所以，， 当时，，所以， 函数在上单调递减，合乎题意. 因此，的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围，再进行检验即可. 9．AB 【分析】依题意可求出，从而可得，结合函数的图象性质逐一判断即可. 【详解】因为函数的图象关于对称， 所以，解得， 所以，其最大值为2，故A正确； 令， 定义域为，， 所以即是偶函数，故B正确； 时，，在单调递增， 在单调递减，故C错误； 把的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象， 因为， 所以的图象不关于点对称，故D错误. 故选：AB 10．ACD 【分析】A代入周期的定义，即可判断； B分别比较两个函数分别取得最小值的值，即可判断； C代入对称性的公式，即可判断； D根据零点的定义，解方程，即可判断. 【详解】选项A： 故的一个周期为，A正确. 选项B： ，当，时，取得最小值， ，当，时即，时，取得最小值， 所以两个函数不可能同时取得最小值，所以的最小值不是，故B错误. 选项C： ， ， 所以， 所以的图象关于点对称，C正确， 选项D： ， 得，或， 得，或，， 故区间中的根为，，， 故D正确. 故选：ACD 11．BC 【分析】根据函数满足的性质推出，结合三角函数为偶函数性质，可判断A；根据正弦型函数的对称性可判断B；结合，可判断C；当时，可列式求解，根据解的结果可判断D. 【详解】对于A,∵，成立，∴， 整理得，解得， ， 假设存在，使得是偶函数，则， 即，该式左侧为偶数，不可能等于5，矛盾,故A错误； 对于B，因为，函数的图象关于对称， ∴，故B正确； 对于C，∵，∴是的整数倍，故C正确； 对于D，∵函数在区间上单调，∴，即， 当时，由，整理得， 故无解，故D错误． 故选：BC． 【点睛】难点点睛：本题综合考查三角函数的性质的应用，解答时要能综合应用函数的单调性以及对称性等，列式求解，要注意参数的表达式的求解，形式较为复杂，需细心. 12． 【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简可得的值，再利用二倍角的正切公式化简可得的值. 【详解】因为， 所以，， 由题意可得， 若，则，不妨设为锐角，则， 则，不合乎题意， 所以，，故，因此，. 故答案为：. 13． 【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域. 【详解】令，， 则，即， 所以， 又因为，所以， 即函数的值域为． 故答案为：. 14． 【分析】由三角恒等变换化简解析式，再由正弦函数的性质求解. 【详解】． 由题可知，，所以， 当时，， 因为函数在上有最大值，无最小值， 所以存在，使得 整理得，（）. 因为，所以，解得. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据函数的图象求得A和，再将代入求解； （2）由（1）得到，再令，转化为二次方程求解. 【详解】（1）解：由函数的图象知：，则， 所以，， 因为， 所以，则， 又因为，则， 所以； （2）由题意得：， 令， 则化为：， 即在上有解， 由对勾函数的性质得：， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式化简，然后根据正弦函数的单调性可得； （2）先求，然后由平方关系和和差公式可得. 【详解】（1）， 由，解得， 又， 函数在上的单调递减区间为. （2）由（1）知， 又， ， ， . 17．（1）；（2）；（3）；（4）32. 【分析】（1）将切化为弦，利用二倍角的正弦公式和辅助角公式可求三角函数式的值. （2）将切化为弦，利用辅助角公式化简，最后利用二倍角的正弦公式和余弦公式可求三角函数式的值. （3）先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和差的正弦公式可求三角函数式的值. （4）通分后利用平方差公式、两角和差的正弦公式化简，最后利用二倍角的正弦公式和诱导公式可求三角函数式的值. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . （4）原式 . 18．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案. （2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果. 【详解】（1）由函数在区间上单调， 且，可知， 故的图象的一个对称中心的坐标为 （2）由点在函数的图象上， 有，又由， ， 可知函数在区间上单调递减， 由函数的图象和性质， 有， 又，有， 将上面两式相加，有， 有， 又由，可得， 则， 又由函数在区间上单调， 有，可得，可得， 故． 19．(1) (2)①；②见解析. 【分析】（1）首先代入向量数量积的坐标公式，利用三角恒等变形，化简函数，并代入求值； （2）首先根据周期公式求，并利用三角函数的性质求的最大值，最后转化为二次函数恒成立问题，即可求解. 【详解】（1）依题意， ， 当时，， （2）①由（1）知， 最小正周期，得， ②当时， ，当时， ，当，即时，的最大值为2， 不等式恒成立，即恒成立， 整理为，恒成立， 当时，恒成立， 当时，，得， 综上可得，， 当时， ，当时， ，当，即时，的最大值为0 不等式恒成立，即恒成立， 整理为，恒成立， 当时，恒成立， 当时，，得， 综上可得，， 综上可知，当时，，当时，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $