江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2024-2025学年高一下学期数学午练8

星湖高一数学午练（8） 一、单选题 1.若在是减函数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以由得 因此，从而的最大值为，故选：A. 2．函数对于，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期，求解即可． 【详解】解：函数对于，都有，所以是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期， 所以，所以的最小值为：； 故选：． 3．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数图象变换求出，再根据三角恒等变换公式及二倍角公式结合三角函数的性质即可求解. 【详解】解：函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 所以，则 当时，取得最大值，且最大值为 故选：C. 4．若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可. 详解：由题意得扇形的半径为： 又由扇形面积公式得该扇形的面积为：. 故选：A. 5．已知sin(α+β)=，sin(α-β)=，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】利用两角和与差的公式展开整理即可得到，再利用对数的换底公式求解即可. 【详解】因为sin(α+β)=，sin(α-β)=， 所以sinαcosβ+cosαsinβ=， sinαcosβ-cosαsinβ=， 所以sinαcosβ=，cosαsinβ=， 所以=5， 所以. 故选：C. 二、多选题 6．已知，，若和是函数的两条相邻的对称轴，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A．是奇函数 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的周期为 【答案】BD 【分析】由和是函数的两条相邻的对称轴可得函数的周期，得到的值，根据对称轴求即可得到的解析式，利用图象的平移得到的解析式，逐个判断选项即可得到结果. 【详解】∵和是函数的两条相邻的对称轴， ∴，∴，∴，∴. ∵是函数的对称轴， ∴，∴， ∵，∴当时，∴，∴. ∵的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， ∴. 是偶函数，选项A错误. 由得的图象关于点对称，选项B正确. 由得直线不是的对称轴，选项C错误. 的周期为，选项D正确. 故选：BD. 三、填空题 7.设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值. 【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值， 所以， 因为，所以当时，取最小值为. 8.函数在区间上的零点个数为 . 【答案】2 【分析】先作出函数与函数在的图像，再观察两图像的交点个数即可. 【详解】解：函数在上的零点个数为函数的图象与函数的图象在上的交点个数.在同一平面直角坐标系内，画出及的图象如图所示，由图象可观察出两个函数的图象在上的交点个数为2. 故答案为2 四、解答题 9．已知，计算 （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系将正余弦齐次式化为正切，再代入计算； （2）根据平方关系，将变形为，再弦化切计算可得； （3）将式子看作分母为的分数，将变形为，再弦化切计算可得； （4）利用完全平方公式拆开，结合（3）即可计算. 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式. （4）原式. （选做）10．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为. （1）求面积关于的函数表达式，并求的范围； （2）求面积最小值，并求出此时的值. 【答案】（1）；的取值范围为，；（2）；. 【解析】（1）由题意可知小正方形的边长为， 大正方形的边长为， 所以五个正方形的面积和为， 又，所以， 所以的取值范围为，，； (2)其中，，所以，此时，所以，则，因为，解得，即可求出面积最小值 【详解】解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点， 所以小正方形的边长为， 大正方形的边长为. 所以五个正方形的面积和为， . 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以，，， 所以的取值范围为，. （2）， ， ， ，其中，. 所以，此时. 因为，所以， 所以， 所以， 则，化简得：， 由此解得：， 因为，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 星湖高一数学午练（8） 一、单选题 1.若在是减函数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．函数对于，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知sin(α+β)=，sin(α-β)=，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 6．已知，，若和是函数的两条相邻的对称轴，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是 A．是奇函数 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的周期为 三、填空题 7.设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为 ． 8.函数在区间上的零点个数为 . 四、解答题 9．已知，计算 （1）； （2）； （3）； （4）. （选做）10．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为. （1）求面积关于的函数表达式，并求的范围； （2）求面积最小值，并求出此时的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$