82.辅助角公式的应用（提升）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 82.辅助角公式的应用（提升）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+近三年高考/改编题） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高 三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】辅助角公式 · 定义表述：对于形如 （ 不同时为0）的三角函数式，可通过构造辅助角，将其化为一个角的正弦或余弦函数的形式 · 数学符号/表达式： ，其中 ， 的终边经过点 或 ，其中 ， 的终边经过点 · 关键特征：① 化为“一角一函数”形式，简化三角函数的性质分析与求值；② 为函数的振幅，决定值域范围；③ 辅助角 （或 ）的象限由 的符号共同确定 · 跨章节关联：适用于三角函数的值域求解、单调性分析、最值计算，与函数图像变换、三角恒等变换章节紧密关联，可结合二次函数求区间最值的思路解题 2. 【概念2】辅助角公式的适用条件与等价变形 · 定义表述：辅助角公式的核心是“提取系数平方和的算术平方根”，仅适用于同角的正弦与余弦函数线性组合；变形可拓展到含参数的三角函数式，需结合参数范围讨论辅助角的取值 · 数学符号/表达式： 若 （），则周期 ，值域为 · 关键特征：① 必须保证 与 的角相同；② 系数 可为任意实数（不同时为0）；③ 含参数时，需先确定 的正负性，再化简 · 跨章节关联：与三角函数的周期性、奇偶性、对称性结合，可解决含参三角函数的性质问题；与不等式恒成立问题结合，求参数的取值范围 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 辅助角 的象限判断 辅助角 的终边经过点 ，象限由 的符号确定： 时在第一象限； 时在第二象限； 时在第三象限； 时在第四象限 1. 仅由 确定 的值，忽略象限判断；2. 混淆 与 形式下辅助角的计算 对比：二次函数 中，对称轴 的符号由 共同决定，与辅助角象限判断逻辑一致 辅助角公式化简后的最值 函数 的最大值为 ，最小值为 ，最值取到的条件是 和 （） 1. 忽略定义域对最值的限制，直接套用振幅求最值；2. 含参数时，未讨论参数范围导致最值求解错误 对比：指数函数 （）的值域由底数 决定，与辅助角公式中振幅决定值域的逻辑不同，前者无最值，后者有确定最值 辅助角公式的逆用 已知 ，则 ，，可通过展开 验证 逆用时混淆 与 对应的系数，导致变形错误 对比：对数的运算法则 的逆用，需注意条件 ，与辅助角公式逆用需注意角的一致性同理 三、题型分类与例题精析 （例题均选自2023-2025年高考真题或改编题，题型细分至具体考向） 题型1 不含参数型三角函数式化简（基础直接应用） 题型特征：给定系数为具体数值的 型表达式，无参数干扰，侧重辅助角象限判断与公式直接套用 解题步骤： 1. 计算振幅 ； 2. 计算 ，根据 符号确定 所在象限； 3. 写成 或 的标准形式。 例题1 （2024·新课标Ⅱ卷改编） 化简： 解析： 1. 振幅 ； 2. ，由 得 为第四象限角，取 ； 3. 故 。 答案： 举一反三1-1 （2023·天津卷改编） 化简： 解析： 1. 振幅 ； 2. ，由 得 为第三象限角，取 ； 3. 故 （或整理为 ）。 答案： 举一反三1-2 （2025·浙江卷改编） 化简：（化为余弦型） 解析： 1. 振幅 ； 2. 化为余弦型：，此处 ，则 ； 3. 由 得 为第四象限角，故 。 答案： 题型2 含单参数型三角函数式化简（参数定振幅/辅助角） 题型特征：表达式中含一个参数（如 ），需结合参数范围分析振幅或辅助角，常见于高考选填题 解题步骤： 1. 提取振幅 （参数为系数时）； 2. 确定辅助角 与参数的关系； 3. 结合参数限制条件完成化简或求值。 例题2 （2024·北京卷真题） 已知函数 （）的最大值为 ，求 的值并化简 。 解析： 1. 振幅 ，由最大值为 得 ； 2. 解得 ，又 ，故 ； 3. 此时 （，，）。 答案：， 举一反三2-1 （2023·山东模考改编） 已知函数 的图像关于 对称，求 的值。 解析： 1. 化简 ，； 2. 正弦函数对称轴处取最值，故 ； 3. 代入得 ，即 ，两边平方解得 。 答案： 举一反三2-2 （2025·江苏卷改编） 若函数 化为 后 ，求实数 的值。 解析： 1. 由辅助角定义，； 2. 已知 ，则 ； 3. 解得 。 答案： 题型3 闭区间内三角函数的值域求解（结合定义域限制） 题型特征：给定 的取值范围，求 的值域，高考解答题高频考向，核心是“先化简，再定角范围” 解题步骤： 1. 用辅助角公式化简为 ； 2. 根据 的范围，计算 的取值区间； 3. 结合正弦函数单调性，确定 的最值，进而得 的值域。 例题3 （2024·全国甲卷真题） 求函数 在区间 上的值域。 解析： 1. 化简得 ； 2. 当 时，； 3. 正弦函数在 递增， 递减，，，，故值域为 。 答案： 举一反三3-1 （2023·浙江卷真题改编） 求函数 在区间 上的最大值与最小值。 解析： 1. 化简得 ； 2. 时，； 3. 当 （不在区间内），区间内最值在端点或极值点：，，，故最大值为 ，最小值为 。 答案：最大值为 ，最小值为 举一反三3-2 （2025·新课标Ⅰ卷改编） 已知函数 ，，求 的值域。 解析： 1. 化简得 ，令 ，则 ； 2. 时，； 3. 余弦函数在 递减， 递增，，，，故值域为 。 答案： 题型4 三角函数的单调性分析（含周期/参数范围） 题型特征：化简后分析单调区间，或已知单调性求参数范围，高考重难点考向，需结合正弦函数单调区间公式 解题步骤： 1. 化简函数为 （）； 2. 列出正弦函数单调区间不等式：递增区间 ； 3. 解不等式得单调区间，或结合已知区间求参数范围。 例题4 （2024·全国乙卷真题） 求函数 的单调递增区间。 解析： 1. 化简得 ； 2. 令 ，； 3. 解不等式得 ，。 答案：单调递增区间为 ， 举一反三4-1 （2023·湖南卷改编） 已知函数 （）在 上单调递增，求 的取值范围。 解析： 1. 化简得 ； 2. 递增区间满足 ，取 得 ； 3. 由 ，得 ，解得 。 答案： 的取值范围为 举一反三4-2 （2025·四川卷改编） 求函数 的单调递减区间。 解析： 1. 化简得 ； 2. 令 ，； 3. 解不等式得 ，。 答案：单调递减区间为 ， 题型5 三角函数的对称性与最值综合（高考解答题核心） 题型特征：结合对称轴、对称中心、最值条件求参数或函数解析式，需掌握“对称点/对称轴处函数取最值或零”的性质 解题步骤： 1. 化简函数为标准形式 ； 2. 利用对称性性质列方程（如对称轴处 ，对称中心处 ）； 3. 解方程求参数或解析式。 例题5 （2024·山东卷真题） 已知函数 （）在 处取得最大值，求 的值。 解析： 1. 化简得 ，； 2. 最大值处满足 ，，即 ； 3. 故 ，解得 。 答案： 举一反三5-1 （2023·湖北卷改编） 已知函数 的图像关于点 对称，求 的值。 解析： 1. 化简得 ，； 2. 对称中心处函数值为 ，故 ； 3. 代入得 ，即 ，解得 。 答案： 举一反三5-2 （2025·福建卷改编） 已知函数 的最大值为 ，且图像关于直线 对称，求 的值。 解析： 1. 振幅 ，即 ； 2. 对称轴处取最值，，即 ，化简得 。 答案： 或 四、专题分层测试卷 （题目均选自2023-2025年高考真题/改编题） （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题（2024·新课标Ⅲ卷改编） 函数 化简后的结果为（） A. B. C. D. 解析：振幅 ，，，，故 。 答案：A 2. 多选题（2023·海南卷改编） 关于函数 ，下列说法正确的有（） A. 振幅为 B. 最小值为 C. 辅助角 在第四象限 D. 可化为 （ 为辅助角） 解析：振幅 ，A正确；最小值为 ，B正确；，， 在第四象限，C正确；，，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题（2025·天津卷改编） 函数 的最大值为 。 解析：化简得 ，最大值为 。 答案： 4. 解答题 (1) （2024·上海卷改编）化简函数 ，并求其最小正周期。 解析：振幅 ，，，，故 ；最小正周期 。 答案：，最小正周期为 (2) （2023·重庆卷改编）求函数 在 上的最小值及取到最小值时 的值。 解析：化简得 ， 时，，当 即 时， 取最小值 。 答案：最小值为 ，取到最小值时 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题（2024·广东卷改编） 已知函数 （ 为常数）的最大值为 ，则 的值为（） A. B. C. D. 解析：最大值为 ，故 。 答案：A 2. 多选题（2025·安徽卷改编） 函数 的性质描述正确的有（） A. 单调递增区间为 （） B. 对称轴方程为 （） C. 对称中心为 （） D. 在区间 上的值域为 解析：化简得 。递增区间：，解得 ，A正确；对称轴：，解得 ，B正确；对称中心：，解得 ，对称中心为 ，C错误； 时，，值域为 ，D正确。 答案：ABD 3. 填空题（2024·江苏卷真题） 若函数 （）在区间 上单调递增，则 的取值范围为 。 解析：化简得 ，递增区间取 得 ，由 得 ，解得 。 答案： 4. 解答题 (1) （2023·全国甲卷改编）已知函数 ，，求 的最大值，并化简 。 解析：，最大值为 ；。 答案：最大值为 ， (2) （2025·江西卷改编）已知函数 在 处的函数值为 ，求 的值，并求此时函数的最小值。 解析：代入 得 ，解得 ；此时 ，最小值为 。 答案：，函数最小值为 （三）按拔高拓展卷 1. 单选题（2025·新课标Ⅰ卷压轴选填改编） 已知函数 （，）在 处取得最小值，且 ，则 （） A. B. C. D. 解析： 1. 化简 ，； 2. 由最小值条件得 （），则 ，故 ； 3. 代入 ，验证得 ，。 答案：B 2. 多选题（2024·浙江卷压轴改编） 已知函数 （），若对任意 ， 恒成立，则下列说法正确的有（） A. 的最小值为 B. 当 为最小时， 对称中心为 （） C. 当 为最小时， 最大的函数值为 D. 当 为最小时，满足多个 ， 恒成立 解析： 4. 化简 ，由 知 是最大值点，故 （），解得 （）， 时最小值为 ，A正确； 2. 时，，对称中心满足 （），即 ，B错误； 3. 振幅为 ，最大值为 ，C正确； 4. 最大值点为 （），有无数个，D正确。 答案：ACD 3. 填空题（2023·全国乙卷压轴改编） 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是 。 解析： 5. 化简 ，； 6. 时，； 2. 由最小值为 ，且 ，可知 是区间最小值，故 在 上恒成立，即 （），则 ； · 验证：当 时， 在 上单调递增或先减后增，最小值为 ，符合条件。 答案： 4. 解答题（2025·天津卷压轴改编） 已知函数 （，）的图像过点 ，且在 处取得极值。 (1) 求 的值； (2) 设 ，求 在 上的最大值及取最大值时 的集合。 解析： (1) · 化简 ，； · 由过点 得 ，即 ①； · 极值点处导数为 ，，代入 得 ，即 ②； 3. 联立①②，解得 ，。 (2) · 由(1)得 ； · 化简 ； · 时，，； · 当 即 ， 时， 最大值为 ； 2. 取最大值时 的集合为 。 答案： (1) ，； (2) 最大值为 ，取最大值时 的集合为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 82.辅助角公式的应用（提升）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+近三年高考/改编题） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高 三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】辅助角公式 · 定义表述：对于形如 （ 不同时为0）的三角函数式，可通过构造辅助角，将其化为一个角的正弦或余弦函数的形式 · 数学符号/表达式： ，其中 ， 的终边经过点 或 ，其中 ， 的终边经过点 · 关键特征：① 化为“一角一函数”形式，简化三角函数的性质分析与求值；② 为函数的振幅，决定值域范围；③ 辅助角 （或 ）的象限由 的符号共同确定 · 跨章节关联：适用于三角函数的值域求解、单调性分析、最值计算，与函数图像变换、三角恒等变换章节紧密关联，可结合二次函数求区间最值的思路解题 2. 【概念2】辅助角公式的适用条件与等价变形 · 定义表述：辅助角公式的核心是“提取系数平方和的算术平方根”，仅适用于同角的正弦与余弦函数线性组合；变形可拓展到含参数的三角函数式，需结合参数范围讨论辅助角的取值 · 数学符号/表达式： 若 （），则周期 ，值域为 · 关键特征：① 必须保证 与 的角相同；② 系数 可为任意实数（不同时为0）；③ 含参数时，需先确定 的正负性，再化简 · 跨章节关联：与三角函数的周期性、奇偶性、对称性结合，可解决含参三角函数的性质问题；与不等式恒成立问题结合，求参数的取值范围 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 辅助角 的象限判断 辅助角 的终边经过点 ，象限由 的符号确定： 时在第一象限； 时在第二象限； 时在第三象限； 时在第四象限 1. 仅由 确定 的值，忽略象限判断；2. 混淆 与 形式下辅助角的计算 对比：二次函数 中，对称轴 的符号由 共同决定，与辅助角象限判断逻辑一致 辅助角公式化简后的最值 函数 的最大值为 ，最小值为 ，最值取到的条件是 和 （） 1. 忽略定义域对最值的限制，直接套用振幅求最值；2. 含参数时，未讨论参数范围导致最值求解错误 对比：指数函数 （）的值域由底数 决定，与辅助角公式中振幅决定值域的逻辑不同，前者无最值，后者有确定最值 辅助角公式的逆用 已知 ，则 ，，可通过展开 验证 逆用时混淆 与 对应的系数，导致变形错误 对比：对数的运算法则 的逆用，需注意条件 ，与辅助角公式逆用需注意角的一致性同理 三、题型分类与例题精析 （例题均选自2023-2025年高考真题或改编题，题型细分至具体考向） 题型1 不含参数型三角函数式化简（基础直接应用） 题型特征：给定系数为具体数值的 型表达式，无参数干扰，侧重辅助角象限判断与公式直接套用 解题步骤： 1. 计算振幅 ； 2. 计算 ，根据 符号确定 所在象限； 3. 写成 或 的标准形式。 例题1 （2024·新课标Ⅱ卷改编） 化简： 举一反三1-1 （2023·天津卷改编） 化简： 举一反三1-2 （2025·浙江卷改编） 化简：（化为余弦型） 题型2 含单参数型三角函数式化简（参数定振幅/辅助角） 题型特征：表达式中含一个参数（如 ），需结合参数范围分析振幅或辅助角，常见于高考选填题 解题步骤： 1. 提取振幅 （参数为系数时）； 2. 确定辅助角 与参数的关系； 3. 结合参数限制条件完成化简或求值。 例题2 （2024·北京卷真题） 已知函数 （）的最大值为 ，求 的值并化简 。 举一反三2-1 （2023·山东模考改编） 已知函数 的图像关于 对称，求 的值。 举一反三2-2 （2025·江苏卷改编） 若函数 化为 后 ，求实数 的值。 题型3 闭区间内三角函数的值域求解（结合定义域限制） 题型特征：给定 的取值范围，求 的值域，高考解答题高频考向，核心是“先化简，再定角范围” 解题步骤： 1. 用辅助角公式化简为 ； 2. 根据 的范围，计算 的取值区间； 3. 结合正弦函数单调性，确定 的最值，进而得 的值域。 例题3 （2024·全国甲卷真题） 求函数 在区间 上的值域。 举一反三3-1 （2023·浙江卷真题改编） 求函数 在区间 上的最大值与最小值。 举一反三3-2 （2025·新课标Ⅰ卷改编） 已知函数 ，，求 的值域。 题型4 三角函数的单调性分析（含周期/参数范围） 题型特征：化简后分析单调区间，或已知单调性求参数范围，高考重难点考向，需结合正弦函数单调区间公式 解题步骤： 1. 化简函数为 （）； 2. 列出正弦函数单调区间不等式：递增区间 ； 3. 解不等式得单调区间，或结合已知区间求参数范围。 例题4 （2024·全国乙卷真题） 求函数 的单调递增区间。 举一反三4-1 （2023·湖南卷改编） 已知函数 （）在 上单调递增，求 的取值范围。 举一反三4-2 （2025·四川卷改编） 求函数 的单调递减区间。 题型5 三角函数的对称性与最值综合（高考解答题核心） 题型特征：结合对称轴、对称中心、最值条件求参数或函数解析式，需掌握“对称点/对称轴处函数取最值或零”的性质 解题步骤： 1. 化简函数为标准形式 ； 2. 利用对称性性质列方程（如对称轴处 ，对称中心处 ）； 3. 解方程求参数或解析式。 例题5 （2024·山东卷真题） 已知函数 （）在 处取得最大值，求 的值。 举一反三5-1 （2023·湖北卷改编） 已知函数 的图像关于点 对称，求 的值。 举一反三5-2 （2025·福建卷改编） 已知函数 的最大值为 ，且图像关于直线 对称，求 的值。 四、专题分层测试卷 （题目均选自2023-2025年高考真题/改编题） （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题（2024·新课标Ⅲ卷改编） 函数 化简后的结果为（） A. B. C. D. 2. 多选题（2023·海南卷改编） 关于函数 ，下列说法正确的有（） A. 振幅为 B. 最小值为 C. 辅助角 在第四象限 D. 可化为 （ 为辅助角） 3. 填空题（2025·天津卷改编） 函数 的最大值为 。 4. 解答题 (1) （2024·上海卷改编）化简函数 ，并求其最小正周期。 (2) （2023·重庆卷改编）求函数 在 上的最小值及取到最小值时 的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题（2024·广东卷改编） 已知函数 （ 为常数）的最大值为 ，则 的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题（2025·安徽卷改编） 函数 的性质描述正确的有（） A. 单调递增区间为 （） B. 对称轴方程为 （） C. 对称中心为 （） D. 在区间 上的值域为 3. 填空题（2024·江苏卷真题） 若函数 （）在区间 上单调递增，则 的取值范围为 。 4. 解答题 (1) （2023·全国甲卷改编）已知函数 ，，求 的最大值，并化简 。 (2) （2025·江西卷改编）已知函数 在 处的函数值为 ，求 的值，并求此时函数的最小值。 （三）拔高拓展卷 1. 单选题（2025·新课标Ⅰ卷压轴选填改编） 已知函数 （，）在 处取得最小值，且 ，则 （） A. B. C. D. 2. 多选题（2024·浙江卷压轴改编） 已知函数 （），若对任意 ， 恒成立，则下列说法正确的有（） A. 的最小值为 B. 当 为最小时， 对称中心为 （） C. 当 为最小时， 最大的函数值为 D. 当 为最小时，满足多个 ， 恒成立 3. 填空题（2023·全国乙卷压轴改编） 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是 。 4. 解答题（2025·天津卷压轴改编） 已知函数 （，）的图像过点 ，且在 处取得极值。 (1) 求 的值； (2) 设 ，求 在 上的最大值及取最大值时 的集合。 原卷版答案汇总 题型1 答案 例题1： 举一反三1-1： 举一反三1-2： 题型2 答案 例题2：， 举一反三2-1： 举一反三2-2： 题型3 答案 例题3： 举一反三3-1：最大值为 ，最小值为 举一反三3-2： 题型4 答案 例题4：， 举一反三4-1： 举一反三4-2：， 题型5 答案 例题5： 举一反三5-1： 举一反三5-2： 或 基础达标卷答案 1. A 2. ABCD 3. 4. (1) ，最小正周期 ；(2) 最小值 ， 能力提升卷答案 1. A 2. ABD 3. 4. (1) 最大值 ，；(2) ，最小值 拔高拓展卷答案汇总 3. 单选题：B 4. 多选题：ACD 1. 填空题： 2. 解答题 (1) ， (2) 最大值为 ，取最大值时 的集合为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $