精品解析：云南省玉溪市易门县2025-2026学年下学3月份考试高三数学试题

云南省玉溪市易门县2025-2026学年下学3月份考试 高三年级 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，集合，，可得. 所以 的取值范围是. 2. 已知复数 在复平面内对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. i B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的几何意义得，再由复数、共轭复数的定义及复数的运算，即可求解. 【详解】因为复数 在复平面内对应点坐标为，则，所以， 则，所以的虚部是 . 3. 在等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（ ） A. 1或2 B. 1或3 C. 2或3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质建立关于公比的方程. 【详解】设等比数列的公比为， 因为成等差数列， 所以，即. 则，因为等比数列中， 所以，解得或， 故选：B. 4. 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线 与 交于( 在左支上且异于左顶点）两点，延长与 交于点 ．若，且，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】取双曲线的右焦点为利用双曲线的对称性可知四边形为矩形，设，再结合双曲线定义分别在和中利用勾股定理解得且，所以可知. 【详解】取双曲线的右焦点为，连接，如下图所示： 因为直线过原点，结合双曲线的对称性可知两点关于原点对称，且关于原点对称； 即四边形为平行四边形； 又，所以，因此四边形的对角线相等，即；所以四边形为矩形； 可知； 设，由可得，因此； 结合双曲线定义可得； 在中，由勾股定理可得，即； 解得； 又在中，由勾股定理可得，即； 可得，解得； 因此. 故选：C 5. 若A，B，C均在抛物线上，直线与此抛物线交于M，N两点，弦MN中点为 的重心，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】先求中点横坐标，再利用重心性质求A，B，C横坐标之和，结合抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线，准线，焦点. 联立，得，中点横坐标. 设，由重心性质可知：， 得. 所以. 故选：B. 6. 若倾斜角为 的直线 的方向向量为，则（ ） A. B. C. -5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由方向向量求倾斜角正切值，再用两角和公式计算即可. 【详解】因为倾斜角为 的直线 的方向向量为， 所以 所以. 故选：A. 7. 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设根据十字形地域的面积，得出 的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且 ，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 8. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，由诱导公式可得，结合条件可求结论. 【详解】， 且， 故， 故. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. C. 是周期为 的周期函数 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据题意推导出是周期为 的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可. 【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且， 因为，代入 得，整理得， 即知，故是周期为 的周期函数，C正确； 选项A，B，，由是周期为 的周期函数可知，， 同理，故A，B都错误； 选项D，因为，，，， 所以一个周期内， 所以，故D正确. 故选：CD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量服从二项分布，，则 B. 数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D. 随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据二项分布得到，再根据方差的性质即可判断A选项正误；对于选项B，根据平均数的性质即可判断B选项正误；对于选项C，根据各项系数和求解 的值，再根据二项式定理的通项进行求解即可；对于选项D，根据正态分布性质即可判断D选项正误. 【详解】对于A选项，，.故A选项正确； 对于B选项，因为，，，，…，的平均数为，故B选项错误； 对于C选项，已知各项系数和为，则令，得：，解得：. 由的展开式中第 项为，当时，得：，即项的系数为.故C选项正确. 对于D选项，服从正态分布，，所以，故D选项正确. 故选：ACD 11. 由正四棱锥和四棱锥拼接得到一个组合体，与在平面 的异侧.若该组合体的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的所有棱长都为1，则（ ） A. 球的表面积为 B. 组合体体积最大值为1 C. 当组合体体积为时，点的轨迹是半径为的圆 D. 当组合体的体积最大时，其表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】设正方形 外接圆半径为 ,由球体的性质结合勾股定理求出球体半径为,从而可判断A; 由球体的性质得当平面 ，即时，组合体体积最大，从而可求出组合体体积最大值，即可判断B; 设到平面 的距离为，由组合体体积为求出，结合勾股定理求出的轨迹圆的半径，即可判断C; 由选项B的推导过程得，当组合体的体积最大时，，即可求出组合体表面积，从而可判断D. 【详解】 选项A:如图，设正方形 外接圆半径为 ，球体半径为, 到平面 距离为，由已知得， 则到平面 的距离， 由球体的性质得，得， 球的表面积为，故A正确； 选项B:由选项A知球心为正方形 的中心，在球上， 当平面 ，即时，组合体体积最大， 最大值为，故B错误； 选项C:设到平面 的距离为， 则，故， 则的轨迹圆的半径，故C错误； 选项D:由选项B的推导过程得，当组合体的体积最大时，， 此时组合体表面积为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数在时有极值0，则= ______ . 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果. 【详解】∵，，函数在时有极值0， 可得即 ，解得或， 若时，函数， 所以函数在上单调递增，函数无极值，故舍， 所以，所以 故答案为：． 13. 设 是正整数，表达式化简的结果是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理化简. 【详解】 故答案为：. 14. 已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】要想最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切求解. 【详解】当球和球相切，此时两球球心均在体对角线上， 且球与平面，平面，平面相切， 球与平面，平面，平面相切，此时取得最大值， 其中，，，， 故， 解得， 故答案为： 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 下表是某公司从2020年至2024年某种产品盈利额的近似值（单位：万元） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 盈利额 50 56 64 72 83 （1）求 关于 的相关系数 的值（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系（如果，则认为 与 的线性相关关系较强，否则认为线性相关关系较弱）； （2）求 关于 的线性回归方程，并预测2025年该种产品的盈利额． 附： ①相关系数； ②经验回归方程中的和的最小二乘估计公式为 ③． 【答案】（1），因为，所以 与 具有较强的线性相关关系； （2），万元. 【解析】 【分析】（1）利用给定的相关系数公式计算相关系数 ，通过与比较判断线性相关关系强弱； （2）根据最小二乘估计公式计算线性回归方程的系数和，得到线性回归方程，最后利用该方程进行预测. 【小问1详解】 已知，，则， ，则， ， ，所以， 已知，， 将以上值代入相关系数公式， 可得：， 因为，所以 与 具有较强的线性相关关系. 【小问2详解】 根据， 而，， 所以. 由，已知，，，则. 所以 关于 的线性回归方程为. 2025年年份代号，将代入线性回归方程（万元）. 16. 设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4． （1）求直线AB的斜率； （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 【答案】（1）1；（2）y＝x＋7． 【解析】 【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率； （2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m. 【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4， 于是直线AB的斜率k＝＝＝1． （2）由y＝，得y′＝． 设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)． 设直线AB的方程为y＝x＋m， 故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|． 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0． 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2． 从而|AB|＝|x1－x2|＝． 由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)， 解得m＝7． 所以直线AB的方程为y＝x＋7． 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为 ；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值； （2）“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求. 【详解】解：由题意可知函数的定义域为R. （1）因为. 所以， 由，得，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当 时，，函数单调递增， 因此，当 时，有极大值，并且极大值为； 当 时，有极小值，并且极小值为. （2）因为， 所以 为一个零点. 所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”. 令，则， 所以，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，有最小值，时，， 时，. 若方程有两个非零实根，则，即. 若，方程只有一个非零实根， 所以. 综上，. 【点睛】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题. 18. 如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． （1）求椭圆Γ的方程； （2）如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于 ，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； （3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合离心率相等列关于的关系式，即可求得； （2）设点坐标，表示结合椭圆方程即可求得； （3）设，联立方程组，根据韦达定理和第二问的结论即可求得结果. 【小问1详解】 由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，， 设椭圆的半焦距为， 由已知，， 所以，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率， 因为， ，， 所以， 所以，斜率之积为定值，且定值为. 【小问3详解】 设，由于，所以， 设直线方程为，直线方程为， 联立得：， 联立，， 因为且， 所以是方程的两个实数根，恒成立 ，则， ， 整理得， ， 解得，又， 所以. 19. 若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意 均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【答案】（1）是 （2） （3）证明：充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“导控函数”， 因此， 又， 因此函数是函数的“导控函数”， 所以，即恒成立， 用代换 有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【解析】 【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可； （2）由题意可得，再根据“导控点”的定义可得，求出 ，进而可求出，进而可得出答案； （3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可. 【小问1详解】 由，得，由，得， 因为，所以函数是函数的“导控函数”； 【小问2详解】 由，得， 由，得， 由，得， 由题意可得恒成立， 令，解得， 故，从而有，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，所以， 故且“导控点”为 ； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：理解“导控函数”和“导控点”的定义是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省玉溪市易门县2025-2026学年下学3月份考试 高三年级 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. i B. 1 C. D. 3. 在等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（ ） A. 1或2 B. 1或3 C. 2或3 D. 3 4. 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线 与 交于( 在左支上且异于左顶点）两点，延长与 交于点．若，且，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 5. 若A，B，C均在抛物线上，直线与此抛物线交于M，N两点，弦MN中点为的重心，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 6. 若倾斜角为的直线 的方向向量为，则（ ） A. B. C. -5 D. 5 7. 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. C. 是周期为 的周期函数 D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量服从二项分布，，则 B. 数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D. 随机变量服从正态分布，且，则 11. 由正四棱锥和四棱锥拼接得到一个组合体， 与在平面 的异侧.若该组合体的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的所有棱长都为1，则（ ） A. 球的表面积为 B. 组合体体积最大值为1 C. 当组合体体积为时，点的轨迹是半径为的圆 D. 当组合体的体积最大时，其表面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数在时有极值0，则= ______ . 13. 设是正整数，表达式化简的结果是______ 14. 已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______． 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 下表是某公司从2020年至2024年某种产品盈利额的近似值（单位：万元） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 盈利额 50 56 64 72 83 （1）求 关于 的相关系数的值（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系（如果，则认为 与 的线性相关关系较强，否则认为线性相关关系较弱）； （2）求 关于 的线性回归方程，并预测2025年该种产品的盈利额． 附： ①相关系数； ②经验回归方程中的和的最小二乘估计公式为 ③． 16. 设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4． （1）求直线AB的斜率； （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围. 18. 如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． （1）求椭圆Γ的方程； （2）如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； （3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 19. 若定义在 上的函数和分别存在导函数和．且对任意 均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $