19.3矩形、菱形、正方形 讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

19.3矩形菱形正方形 知识点详解 一、矩形 1.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形。 ·符号语言：在口ABCD中，若∠A=90°，则。ABCD是矩形。 2.矩形的性质 矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下特殊性质： ·角：矩形的四个角都是直角 ·符号语言：在矩形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 ·对角线：矩形的对角线相等。 ·符号语言：在矩形ABCD中，对角线AC=BD。 ·对称性：矩形既是中心对称图形（对称中心是对角线交点），又是轴对称图形（有两条对 称轴，分别是对边中点的连线)。 3.矩形的判定 ·判定1（定义）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ·判定2：有三个角是直角的四边形是矩形。 ·判定3：对角线相等的平行四边形是矩形。 ·补充判定：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（可看作判定3的扩展）。 注意：判定2无需先证平行四边形，直接由角条件推出。 4.直角三角形的一个重要性质 ·性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言：在RtAABC中，∠C=90,CD是斜边AB上的中线，则CD=2AB。 ·逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 二、菱形 1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ·符号语言：在~ABCD中，若AB=BC,则~ABCD是菱形。 2.菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下特殊性质： ·边：菱形的四条边都相等。 ·符号语言：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA。 ·对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 ·符号语言：在菱形ABCD中，AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分 ∠ABC和∠ADC. ·对称性：菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有两条对称轴，是对角线所在的直 线)。 3.菱形的判定 ·判定1（定义）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ·判定2：四条边都相等的四边形是菱形。 ·判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4.菱形的面积 菱形面积等于对角线乘积的一半： s=1 其中l1,12为两条对角线的长。该公式可由对角线互相垂直推出，也可用底乘高计算。 三、正方形 1.正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 ·理解：正方形既是特殊的矩形（邻边相等的矩形），又是特殊的菱形（有一个角是直角的 菱形)。 2.正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质： ·边：四条边都相等，对边平行。 ·角：四个角都是直角。 ·对角线：对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。 ·对称性：正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有4条对称轴：两条对角线所在直 线，以及过对边中点的两条直线)。 3.正方形的判定 判定正方形的一般思路：先证四边形是平行四边形（或矩形、菱形），再补充条件使之成 为正方形。 ·判定1（矩形+菱形）：先证矩形，再证一组邻边相等（或对角线垂直）；或先证菱形， 再证一个角是直角（或对角线相等）。 ·判定2（定义）：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 ,判定3：对角线相等且垂直的平行四边形是正方形 ·判定4：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形（无需先证平行四边形）。 四、三种特殊平行四边形的关系 ·矩形是有一个角为直角的平行四边形。 ·菱形是有一组邻边相等的平行四边形。 ·正方形既是矩形又是菱形，是它们的交集。 五、易错点警示 1.混淆判定条件： ·矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；若说“对角线相等的四边形是矩形”则 是错误的（等腰梯形对角线也相等）。 ·菱形的判定：对角线垂直的平行四边形是菱形：对角线垂直的四边形不一定是菱形（如 筝形)。 2.性质记忆混淆： ·矩形对角线相等，但不垂直。 ·菱形对角线垂直，但不相等。 ·正方形对角线既相等又垂直。 3.忽略正方形既是矩形又是菱形： ·判定正方形时，可以先用矩形判定再用菱形判定，或反之。 4.直角三角形斜边中线定理记反： ·中线等于斜边一半，不是等于直角边一半。 5.面积公式混淆： ·菱形面积可以用底乘高，也可以用对角线乘积的一半，不能与平行四边形面积公式混淆。 一、单选题 1.如图，在等边三角形ABC中，D,E,F分别为三边BC,CA,AB的中点，则图中共 有菱形() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.如图，在矩形ABCD中，AD=15,AB=9.E是边AB上一点，将△ADE沿DE所在 直线折叠，使得点A恰好落在CB边上点F处，则EF的长是() A.4 B.5 c.25 D.3V2 3.如图所示，菱形ABCD的两条对角线相交于O点，AC=24,BD=10,点P是边AB上 的一个动点，则DP的最小值为() D a.智 c 240 0.13 4.数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某合作小组的4 位学生拟定的方案，其中正确的是() A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量三个角是否都为直角 5.如图，长方形ABCD中，AB=3,AD=9,将此长方形折叠，使点D与点B重合，折 痕为EF,则BE的长为() A.4 B.5 C.6 0.3V2 6.如图，口ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定口ABCD是正方形的是() B AC=BD,AC⊥BD A. B.B=BC,AC⊥BD AD=DC,AB⊥BC OA=OD,AC⊥BD c. D. 7.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是() A.对边平行且相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 8.下面四个定义不正确的是() A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 D.对角线相互垂直的平行四边形叫做菱形 二、填空题 9.如图，两个相同的正方形ABCD与正方形BEFG的顶点B重合，BE恰好落在正方形 ABCD的对角线BD上，AD与EF交于点H,连接BH,则∠ABH的度数为· B 10.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=30°，则 ∠E= D E 11.如图，已知 N∥PO,EF与MN、PO 分别交于点A、C,过点A、C作两组内错角 的平分线，分别交于点B、D,则四边形ABCD是 M 12.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠D=60°.P为边CD上的一点，且不与点C、D 重合，连接BP,过点A作EF∥BP,且EF=BP,连接BE、PF,则四边形BEFP的面积 为 三、解答题 13.如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F,连接CF、CA,且CF=AF,过 点A作AE⊥FC于点E. A B (1)求证：AD=AE: (2)若∠DCA=70°，求∠CAE的度数， 14.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=7,延长DC至点E,使CE=DC.连接 AE,交BC于点F,连接AC,BE,∠AFC=2∠D.求证：四边形ABEC是矩形. 15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点. 若DE=IO,求BF的长. B 16.如图，正方形1BCD的边长为1，P、2分别为边B、D上的点， △AP吧的周长为 2,连接PC.求证： D B PB+OD=PO (1) ∠BPC=∠QPC (2) 17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别为OB、OC的中 点，连接AE、DF,求证：AE=DF, B 18.如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接AE,将AE绕点E顺时针旋 转9O°得到EF,连接AF交CD延长线于点G,连接EG.过点F作FH⊥BC交BC的延 长线于点H. 4 G E (1)若∠AEB=30°，判断AB,AF间的数量关系并说明理由： (2)求证：DG+EG=BE, 19.如图，E是正方形ABCD边BC的中点，点F在正方形ABCD的外角平分线上，连接 AE,EF,∠AEF=9O°，G为边AB的中点，连接GE.求证：EG=FC. A B 20.如图，平行四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，且BE=DE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=10,AC=12,求四边形ABCD的面积. 21.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AB,CD于点E,F,连接 AF,CE D E (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)如果∠BCE=26°，求∠CAF的度数. 22.如图，在矩形ACBM中，连接AB,CM交于点D,E为线段CD上一点，连接AE, BE,取BE的中点F,DC平分∠ADF. D C (1)求证：AE=AD: 2]若DF=2,4C=24 =5,求矩形ACBM的面积. 19.3 矩形 菱形 正方形 知识点详解 一、 矩形 1. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形。 · 符号语言：在 中，若，则 ▱ ABCD 是矩形。 2. 矩形的性质 矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下特殊性质： · 角：矩形的四个角都是直角。 · 符号语言：在矩形 ABCD 中，。 · 对角线：矩形的对角线相等。 · 符号语言：在矩形 ABCD 中，对角线 AC = BD。 · 对称性：矩形既是中心对称图形（对称中心是对角线交点），又是轴对称图形（有两条对称轴，分别是对边中点的连线）。 3. 矩形的判定 · 判定1（定义）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 · 判定2：有三个角是直角的四边形是矩形。 · 判定3：对角线相等的平行四边形是矩形。 · 补充判定：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（可看作判定3的扩展）。 注意：判定2无需先证平行四边形，直接由角条件推出。 4. 直角三角形的一个重要性质 · 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 · 符号语言：在Rt△ABC中，，CD 是斜边 AB 上的中线，则 CD = 。 · 逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 二、 菱形 1. 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 · 符号语言：在 ▱ABCD 中，若 AB = BC，则 ▱ABCD 是菱形。 2. 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下特殊性质： · 边：菱形的四条边都相等。 · 符号语言：在菱形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA。 · 对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 · 符号语言：在菱形 ABCD 中，，AC 平分 和 ，BD 平分。 · 对称性：菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有两条对称轴，是对角线所在的直线）。 3. 菱形的判定 · 判定1（定义）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 · 判定2：四条边都相等的四边形是菱形。 · 判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4. 菱形的面积 菱形面积等于对角线乘积的一半： 其中为两条对角线的长。该公式可由对角线互相垂直推出，也可用底乘高计算。 三、 正方形 1. 正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 · 理解：正方形既是特殊的矩形（邻边相等的矩形），又是特殊的菱形（有一个角是直角的菱形）。 2. 正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质： · 边：四条边都相等，对边平行。 · 角：四个角都是直角。 · 对角线：对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。 · 对称性：正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有4条对称轴：两条对角线所在直线，以及过对边中点的两条直线）。 3. 正方形的判定 判定正方形的一般思路：先证四边形是平行四边形（或矩形、菱形），再补充条件使之成为正方形。 · 判定1（矩形+菱形）：先证矩形，再证一组邻边相等（或对角线垂直）；或先证菱形，再证一个角是直角（或对角线相等）。 · 判定2（定义）：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 · 判定3：对角线相等且垂直的平行四边形是正方形。 · 判定4：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形（无需先证平行四边形）。 四、 三种特殊平行四边形的关系 · 矩形是有一个角为直角的平行四边形。 · 菱形是有一组邻边相等的平行四边形。 · 正方形既是矩形又是菱形，是它们的交集。 五、 易错点警示 1. 混淆判定条件： · 矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；若说“对角线相等的四边形是矩形”则是错误的（等腰梯形对角线也相等）。 · 菱形的判定：对角线垂直的平行四边形是菱形；对角线垂直的四边形不一定是菱形（如筝形）。 2. 性质记忆混淆： · 矩形对角线相等，但不垂直。 · 菱形对角线垂直，但不相等。 · 正方形对角线既相等又垂直。 3. 忽略正方形既是矩形又是菱形： · 判定正方形时，可以先用矩形判定再用菱形判定，或反之。 4. 直角三角形斜边中线定理记反： · 中线等于斜边一半，不是等于直角边一半。 5. 面积公式混淆： · 菱形面积可以用底乘高，也可以用对角线乘积的一半，不能与平行四边形面积公式混淆。 一、单选题 1．如图，在等边三角形中，D，E，F分别为三边，，的中点，则图中共有菱形（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形中位线定理和菱形的判定．由题意知，，，是等边三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于对边且等于对边的一半知，有，根据四边相等的四边形是菱形判定作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴, ∵D，E，F分别为三边，，的中点， ∴, , , ∵，，是的中位线， ∴,,, ∴， ∴四边形、四边形、四边形是菱形， 即图中有3个菱形． 故选B． 2．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 3．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 4．数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 5．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据折叠的性质得出，从而可得，再利用勾股定理列出关于的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故选：B． 6．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 7．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键． 根据矩形和平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，但对角线相等是矩形特有的性质，而平行四边形不一定具有. 【详解】解：A、对边平行且相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； B、对角相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； C、对角线相等，矩形具有，而平行四边形不具有； D、对角线互相垂直，是菱形的性质，矩形不一定具有该性质，不符合题意 故选：C． 8．下面四个定义不正确的是（    ） A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 D．对角线相互垂直的平行四边形叫做菱形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的定义，根据相关概念逐一判断选项表述的正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴该选项定义正确，不符合题意； 、∵菱形的定义是有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，而选项中未说明是平行四边形，仅表述为四边形，不符合菱形定义， ∴该选项定义错误，符合题意； 、∵正方形的定义为有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形， ∴该选项定义正确，不符合题意； 、∵对角线互相垂直的平行四边形叫做菱形是菱形的判定定理，符合定义要求， ∴该选项定义正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题 9．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则____________． 【答案】/15度 【分析】连接，与交于点，根据矩形的性质得出，，，则，．结合，得出，则，再结合即可求解． 【详解】解：连接，与交于点， 四边形是矩形， ，，， ，． 又， ， ． ， ∴． 故答案为： 11．如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________． 【答案】矩形 【分析】先根据角平分线的定义证明，，再根据平行线的性质证明，即可根据矩形的判定得出结论． 【详解】解：平分， ， 同理，， ， ， 同理， ， ， ， ， 四边形是矩形． 12．如图，在菱形中，，．为边上的一点，且不与点、重合，连接，过点作，且，连接、，则四边形的面积为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质和判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，，由菱形的性质可知是等边三角形，过点作于点，过点作于点，可得，继而得出，根据勾股定理求出CG长度，再证明四边形是平行四边形，进而解题即可． 【详解】解：连接，，如图： 由题意可得： ∴，，， ∴是等边三角形， 过点作于点，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 三、解答题 13．如图，已知四边形是矩形，延长至点，连接、，且，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质和矩形的性质证出，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ． ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）解：由（1）知， ． ∵四边形是矩形， ， ∵， ， ． 14．如图，在平行四边形中，，，延长至点，使．连接，交于点，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质及判定、等腰三角形的判定等，先证明四边形是平行四边形，利用，，求得，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 15．如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 【答案】10 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点，， ∴． ∵在中，，点F是边的中点， ∴． 16．如图，正方形的边长为1，、分别为边、上的点，的周长为2，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】对于本题，重点掌握截长补短法证明全等三角形． （1）延长至点，使，连结、，先证明，再根据全等三角形的性质进行线段的转化证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：如答图，延长至点，使，连结、． ∵四边形是正方形， ，， ． 在和中， ， ， 设，，则，． 的周长为， ， ， ． （2）解：由（1）得． 在和中， ． 17．如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 点分别为的中点， ， 在和中，， ， ． 18．如图，正方形中，点是延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交延长线于点，连接．过点作交的延长线于点． (1)若，判断间的数量关系并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解； （2）把绕点E逆时针旋转得到，连接交于点Q，则，，证明∴，可得，，从而得到，再证明，可得，，可证明，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，把绕点E逆时针旋转得到，连接交于点Q，则，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，是正方形边的中点，点在正方形的外角平分线上，连接，，，为边的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，外角平分线的性质，掌握利用正方形的中点条件构造相等的边，结合角度关系证明三角形全等是解题的关键． 利用正方形的性质及中点条件，得到边相等和角的关系，结合外角平分线的性质，证明与全等，从而推导出． 【详解】证明：四边形为正方形，，分别为边，的中点， ，，，， ，为等腰直角三角形， ． 为正方形的外角平分线， ， ． ，， ． 在和中， ， ． 20．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理； （1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形； （2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可． 【详解】（1）解：连接与交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴菱形的面积是． 21．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 22．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 学科网（北京）股份有限公司 $