专题03 特殊平行四边形中的4种最值问题（高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题03 特殊平行四边形中的4种最值问题 题型一：将军饮马求线段和最小 题型二：垂线段最短（单线段最值） 题型三：线段转化法求线段和最小值 题型四：面积最值 题型一：将军饮马求线段和最小 1．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M， N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（      ） A． B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，为中点，G为上动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B．12 C． D．15 3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，若四边形是矩形，，，点是上的一个动点，点为上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D． 4．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（    ） A．3 B．6 C． D． 6．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图，在矩形中，，点在边上，分别为的中点． （1）连接，则的长为___________； （2）连接，则的最小值为_____________． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，点在线段上，是等边三角形，四边形是正方形．点是线段上的一个动点，连接，．已知，． （1）______； （2）的最小值是______． 8．（24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，矩形中，，对折矩形，使得与重合，折痕为；展平后再沿折叠，使得点落在上的点处；再次展平，连接，，并延长交于点． （1）是______三角形； （2）若点分别为线段上的动点，则的最小值是______． 9．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，已知正方形的边长为6，点是对角线的交点，点是边，上的动点，且，连接． （1）线段与线段的数量关系是______； （2）连接，则的最小值为______． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形中，，，M是边上一动点，N是上的一个定点，在线段上有一动点．连接，． （1）菱形的面积为______； （2）的最小值为______． 11．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，在矩形中，．点E在边上，且分别是边上的点，且是线段上的动点，连接． （1）当点P为的中点时，________； （2）的最小值为________． 12．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在边长为12的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足与交于点O，点M是的中点． (1)求证：； (2)若，求的面积； (3)若点G是边上的点，且，求的最小值． 13．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若点E为的中点，于点O． ①如图，求证：； ②如图，连接，求的值； (2)如图，若，，则的最小值为 （直接写出结果）． 14．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【知识技能】如图1，点是正方形的对角线上一动点，连接，，求证：； 【数学思考】如图2，点是正方形的边的中点，连接交对角线于点，连接交对角线于点． （1）求证：； （2）若，求（用含的式子表示）； 【拓展研究】如图3，在边长为10的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，若点是的中点，求的最小值． 题型二：垂线段最短（单线段最值） 15．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，点为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点分别是点关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在菱形ABCD中，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（   ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 18．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 19．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，、、分别是边、、上不与、、重合的动点，且于，于，连接、，则的最小值为(    ) A． B． C．5 D．6 20．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，线段的长为，点在上，是边长为的等边三角形，过点作与垂直的射线，过上一动点不与重合作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为（　） A．5 B．7 C．6 D． 21．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 22．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点且始终有，则线段长的最小值是（   ） A． B．6 C． D．9 23．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接． （1）当是的中点时，线段的长度是_______； （2）线段长度的最小值是_______． 24．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则______，的最小值是 ______． 25．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，且，连接． (1)若，则的长为______． (2)若，则的最小值为______． 26．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上的一个动点（P不与B，D重合），以和为边作平行四边形． (1) 菱形的面积是______； (2)点P在运动过程中，的最小值是______． 27．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，点为平面内一动点，，连接，点是的中点，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 28．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点，的运动过程中，给出下面四个结论：①；②；③；④的最小值为，上述结论中，正确的结论是_____． 29．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）在数学探究活动中，明明进行了如下操作：如图，先对折矩形纸片，使得边与边重合，得到折痕，P为边上任意一点，沿着折叠，使得点B落在处．已知，，请完成如下探究： （1）若点落在折痕上，线段的长度______； （2）线段的最小值______． 30．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在中，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F． （1）四边形的形状是_____； （2）若，，连接，则的最小值为_____． 31．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，点O是边的中点，点D是上的动点，过点D作，交AC于点E，作，交于点F，连接，点G是的中点，若． （1）的最小值为____________； （2）连接，当时，长为____________． 32．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是________； （2）当点E、F在、边上运动时，则的最小值为______． 33．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，点P在边上，求的最小值． 34．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图1，边长为24的正方形中，点P为边上一个动点，连接，作于点E，交边于M，交边于N．    (1)求证：； (2)如图2，连接，线段交于点F，点E为的中点． ①当时，求的长； ②线段是否存在最小值，若存在，请直接写出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 35．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应用的重要图形，已知，周长为12． (1)如图1，若． ①求的长； ②若，连接，在上取一点，连接，当时，求的长． (2)如图2，若，平分，是上的一个动点．求的最小值． 题型三：线段转化法求线段和最小值 36．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 37．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 38．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，． （1）_______． （2）的最小值是________． 39．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，是菱形的对角线，点和点分别是和上的点，． （1）若，则的度数为___； （2）若，，则的最小值为___． 40．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在直角中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中， （1）________； （2）的最小值为________． 41．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在边长为2的正方形中，E为边上一动点（点E不与B、C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点P，G是的中点，连接、，求的最小值． 题型四：面积最值 42．（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ） A．8 B． C． D．6 43．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 44．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为． (1)如图，当四边形是正方形时，求证：； (2)如图，当四边形是菱形时，求与的函数关系式； (3)当 时，的面积最大：当 时，的面积最小． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03 特殊平行四边形中的4种最值问题 题型归纳 题型一：将军饮马求线段和最小 题型二：垂线段最短（单线段最值） 题型三：线段转化法求线段和最小值 题型四：面积最值 题型专练 题型一：将军饮马求线段和最小 1.(24-25八年级下安徽黄山期中)如图，四边形ABCD是矩形，AB=4,AD=6,点P是边AD上一点 (不与点A,D重合)，连接PB,PC.点M,N分别是PB,PC的中点，连接MN,AM,DN,点E 在边AD上，ME∥DN,则AM+ME的最小值是() 7 A. B.5 C.6 D.7 2 【答案】B 【详解】解：：点M,N分别是PB,PC的中点， .AM=BP,DN=PC,MN∥BC, 2 :ME∥DN, :.四边形DEMN是平行四边形， .:ME =ND AM+ME=AM+DN=(BP+PC) :AM+ME的最小值就是(BP+PO的最小值， 找到点C关于直线AD对称点Q,连接PQ、BQ, 1/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B 则BP+PC=BP+PQ, 当点B、P、Q三点共线时，BP+PQ的最小值就是BQ, 在Rt△BCQ中，BC=AD=6,QC=2CD=2AB=8, .BQ=VBC2+QC2=V62+82=10, AM+ME的最小值=8BM=5, 故选：B. 2.(24-25八年级下.安徽合肥期末)如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=8,E为BC中点，G为AB上动 点且GF⊥CD,连接AF,GE,则AF+GE的最小值为() D B E 21 B.12 C.5+3V10 D.15 【答案】D 【详解】解：如图，连接DG,作点E关于直线AB的对称点H,连接GH,DH,BH; A D H--- E :四边形ABCD是矩形， ∠BAD=∠ADC=∠BCD=LABC=90°，DC=AB=9; GF⊥CD, ∠BAD=∠ADC=∠GFD=90°： .四边形ADFG是矩形， 2/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DG=AF 由对称的性质得GH=GE,∠ABH=LABE=90°， .点H在CB的延长线上： :点E为CB的中点，BC=8, 1 .BH=BE=-BC=4, .CH BC+BH =12: AF+GE=DG+GH 2DG, :当点G在线段DH上时，AF+GE取得最小值，最小值为线段DH的长； 在Rt△DCH中，由勾股定理得DH=VCD2+CH2=15; 即AF+GE的最小值为15， 故选：D. 3.(24-25八年级下·安微准南期末)如图，若四边形ABCD是矩形，AB=4,∠ADB=30°，点E是AD上 的一个动点，点P为BD上的动点，则PA+PE的最小值为() E D B A.6 B.4 25 D.32 【答案】A 【详解】解：如图，作点A关于BD的对称点F,连接AF交BD于M,过点F作FH⊥AD于H, EH D B 11 PA=PF, :PA+PE PF +PE, :PF+PE≥FH, :当P,E落在FH上时，PA+PE的值最小， :四边形ABCD是矩形， 3/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAD=90°， :∠ADB=30°， ∠ABM=60°， ∠BAM=30°， AB=4, :BM=4B=2,AM =AB-BM=23, 2 AF=2AM=45, :∠BAM=30°， .∠MAH=60°， ∴∠MFH=30° h4=26,FH=V4Pe-m=6, 故选：A. 4.(24-25八年级下·安徽准南·月考)如图，AC,BD是菱形ABCD的对角线，点P,E,F分别是对角线 AC,边AD,边CD上的点.若AC=8,BD=6,则PE+PF的最小值为() D B A.2.4 B.3.6 C.4.8 D.5 【答案】Cc 【详解】解：：四边形ABCD是菱形， ∴BC与DC关于直线AC对称， 如图，设点G是BC上一点且与点F关于直线AC对称，连接PG,则PF=PG,设AC与BD交于点O. F E G B .PE+PF PE +PG 当点E,P和点G共线，且EG⊥BC时，PE+PG有最小值，即为EG的长， :AC=8,BD=6,四边形ABCD是菱形， 4/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 01-=54C=x8=4,00=56D=x6=3 2 2 2 5w号4C-Dx8x6=24,0=0f+0=F=5 ·S菱形HBcD=AD×EG=24,即5EG=24, 解得EG=4.8,即PE+PF的最小值为4.8. 故选：C. 5,(24-25八年级下·安徽合肥期末)如图，正方形ABCD的边长是6，∠DAC的平分线交DC于点E,若点 P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值() B A.3 B.6 C.32 D.62 【答案】c 【详解】解：在AC上取点F,使AF=AP,连接OF,DF, D B :AE平分∠DAC, :∠DAE=∠CAE=∠DAC, A0=A0, △APQ≌AAFO (SAS), .PO=FO, ∴.PQ+DQ=FQ+DQ≥DF, 当点Q在DF上时， PQ+DQ=FQ+DQ=DF,PQ+DQ取得最小值， 当DF⊥AC时，DF取得最小值， :正方形ABCD的边长是6， ∴AD=CD=6,∠ADC=90°， 5/56 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=VAD2+CD2=6√2， AF =CF, :DF=4AC=32, “DQ+PQ的最小值为3√2. 故选：C 6.(24-25八年级下.安徽芜湖月考)如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=6,点M在边BC上，E,F分别 为AM,DM的中点. (1)连接EF,则EF的长为 (2)连接BE,CF,则BE+CF的最小值为 B M 【答案】 3V2 【详解】解：(1)如图，连接EF, H B GM :E,F分别为AM,DM的中点， ÷EF为△AMD的中位线， ÷EF∥AD,EF=AD=3: 2 故答案为：3； (2)如图，过点E作EG∥CF, :矩形ABCD中，AD=2AB=6, AD∥BC,AB=3. :E,F分别为AM,DM的中点， ·EF为△AMD的中位线， ∴EF∥AD,EF=AD=3, 2 .EF∥BC :.四边形EGCF为平行四边形， 6/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .EG=CF. 作点G关于EF的对称点H,即点H在矩形ABCD的边AD上，连接EH, EG=EH,故EH=CF, ·BE+CF=BE+EH2BH. 又：AH=BG=BC-CG=BC-EF=3, 在Rt△ABH中，BH=√AB2+AH2=3V2, 故BE+CF的最小值为3√2 故答案为：3√2 7.(24-25八年级下·安徽淮北期末)如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正 方形.点P是线段AE上的一个动点，连接PB,PC.已知AC=5,BC=7. (1)∠DAE= (2)PB+PC的最小值是 B 【答案】 1513 【详解】解：(1)：△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形， ∴AD=DC=DE,∠DAC=∠ADC=60°，∠CDE=90°， ∴∠ADE=∠ADC+LCDE=150°， ,ADE是等腰三角形， 1 ∠DAE=×(180°-∠ADE)=15°： 故答案为：15； (2)作点C关于AE的对称点C,连接AC',BC',则：AC'=AC=5,LC'AE=LCAE, 由(1)可知：∠DAC=65°，∠DAE=15°， ∠C'AE=∠CAE=LDAC-∠DAE=45°， ∠CAC'=90°， :AC=5,BC=7. .AB=AC+BC=12,AC'=AC=5, BC'=√AC2+AB2=V52+122=13, .PB+PC=PB+PC'≥BC', 7156 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PB+PC的最小值是13. M! D B 故答案为：13。 8.(24-25八年级下安微池州期末)如图，矩形ABCD中，AB=4,对折矩形ABCD,使得AD与BC重合， 折痕为EF;展平后再沿BM折叠，使得点A落在EF上的点N处；再次展平，连接BN,MN,并延长MW 交BC于点G. M B (1)△BMG是 三角形： (2)若点P、H分别为线段BM、BN上的动点，则PN+PH的最小值是 【答案】 等边 25 【详解】解：(1)如图，连接AN、AP, M H B G 由翻折可得AE=BE,EF⊥AB,AB=BN,∠ABP=LPBN,∠AMB=∠BMG, EN为线段AB的垂直平分线， .AN BN .AN BN AB, △ABN为等边三角形， .∠ABN=60°， ∴∠ABP=∠PBN=30°， :四边形ABCD为矩形， ∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC, 8/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .LAMB=∠BMG=∠MBG=60°， :△BMG为等边三角形， 故答案为：等边； (2)由翻折可得，BM垂直平分AN, :AP NP, .PN+PH =AP+PH, :当A、P、H三点共线，且AH⊥BN时，AP+PH=AH有最小值， M ∠AHB=90°， :∠ABH=60°， ∠BAH=30°， :BH=AB=2, AH=√AB2-BH2=V42-22=2√万， 故答案为：25， 9.(24-25八年级下.安徽安庆期末)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点0是对角线AC,BD的交点， 点E,F是边AD,AB上的动点，且AE=BF,连接BE,CF, D (1)线段BE与线段CF的数量关系是 (2)连接OE,则OE+CF的最小值为 【答案】 BE=CF 3√10 【详解】解：(1)：四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°， 又：AE=BF, △BAE≌△CBF(SAS, 9156 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BE =CF, 故答案为：BE=CF; (2)如图所示，作点B关于AD的对称点G,连接EG,CE, ∴BE=GE,AG=AB=6, BE CF, .CF=GE, ∴.OE+CF=OE+GE, :当G、E、O三点共线时，OE+GE有最小值，即此时OE+CF有最小值，最小值为OG的长， 如图所示，过点O作OH⊥AB于H, :四边形ABCD是正方形， .0A=0B,∠A0B=90°， 0H=AH=24B=3, .GH=3+6=9, .0G=V0H2+GH2=3V10, 故答案为：3√10. G D H B 10.(24-25八年级下安微阜阳，期末)如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,M是边BC上一动点，N 是CD上的一个定点，在线段BD上有一动点P.连接PM,PN· B M (1)菱形ABCD的面积为 ； (2)PM+PN的最小值为 10/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】 24 24 【详解】解：(1)菱形ABCD的面积= 2ACBD=7×6×8=24 故答案为：24； (2)设AC与BD交于点O, :菱形ABCD中，AC=6,BD=8, 80AAC3,0B=)BD=4,AC 1BD,BD平分LABC AB=V0A2+0B2=5: 作PQ⊥AB于Q,作PM⊥BC于M, BD平分∠ABC,PQ⊥AB,PM⊥BC, .PO=PM, .PM+PN=PQ+PN≥NQ, :当N,P,Q三点共线时，PM+PN有最小值，最小值为NQ, 此时NQ⊥AB, :N0=S影4D-24 AB 24 即PM+PN的最小值是 故答案为： 24 O 、P B 11.(24-25八年级下.安徽淮北·月考)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E在边AD上，且 ED=3,M、N分别是边AB、BC上的点，且BM=BN=2,P是线段CE上的动点，连接PM,PN. A D B (1)当点P为EC的中点时，PM+PN= 11/56 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)PM+PN的最小值为 【答案】 √26+V10 4 2 【详解】解：(1)如图1，过点P作PH⊥BC于点H,作PF⊥AB于点F, E A D NH 图1 在矩形ABCD中，AB=CD=3,BC=AD=4,∠D=∠B=∠A=∠BCD=90°， DC DE=3, .EC=VDC2+DE2=3√2，∠DCE=45°， :点P是EC的中点， :PC=32 :四边形ABCD是矩形， ∠DCB=90°， .∠PCN=45°， ∴.PHC是等腰直角三角形， PH-HC- BN=2,BC=4, NC=2, .NH=NC-HC=2-3=1 22 :PN =PH2+NH2 :∠PFB=LPHB=∠B=90°， :四边形PFBH是矩形， .PH=BF,PF BH, BM =2.PH- .FFPFBC-CH-F6 22 12/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PM+PN=26+0 2 (2)如图2，作点N关于EC对称的点N', E D N :∠DCE=∠BCE=45°， B N 图2 :点N'落在边DC上，连接MN'交EC于点P, 即当点P与点P重合时，MP+NP=MP'+NP'=MN'最小， 由作图可知，CN=CN'=2, :BM=2, :BM CN', ,BM∥CN',∠B=90°， 四边形BMNC是矩形， :MN'=BC=4, PM+PN的最小值为4. 12.(24-25八年级下.安微淮南·期末)如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上 的动点，且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点. M B (1)求证：AF=DE; (2)若BE=3AE,求△OFM的面积； B若点G是边4B上的点，且4G=2GB,求OM+FG的最小值. 【详解】(1)证明：“四边形ABCD是正方形， AD=AB=BC,∠DAB=∠ABC=90°， AE BF, △ADE≌△BAF(SAS), .AF DE: 13/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：由(1)得△ADE≌△BAF, ∠ADE=∠BAF, :∠DA0+∠BAF=∠DAB=90°， ∠DA0+∠ADE=90°， .∠A0D=180°-90°=90°， AB=12,BE =3AE, E=4B=3, BF=3, DE=AF=32+122=37, S0xADxxDExAO. 1 12x3-x37×40. 1 ·A0=127 17 =40=37T39,0=2 (1217487 1717 17 5ar=×0Dx0r=x48v厘39236 2171717 :点M是DF的中点， 468 (3)解：：∠D0F=90°，点M是DF的中点， O8F-DM-FM-DF. 如图，在AB延长线上截取BH=BG,连接FH, C M E G BH :∠FBG=∠FBH=90°，FB=FB,BG=BH, △FBG≌△FBH(SAS), ∴FH=FG, 14/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OM+FG-DF+DF) 2 :当，D,F三点共线时，DF+FH有最小值，即此时OM+FG有最小值， 最小值即为DH的长的一半， :AG=2GB,AB=12, :BH=BG=1AB=4, 3 AH=12+4=16, 在RtADH中，由勾股定理得DH=22+162=20, :OM+号FG的最小值为10， 13.(24-25八年级下.安徽池州期末)己知正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,BC上，连接AE, DF (1)若点E为CD的中点，AE⊥DF于点O. ①如图，求证：BF=CF; B D E ②如图，连接0C,求10， 的值； CO B D (2)如图，若AB=√5，DE=BF,则AE+DF的最小值为 一（直接写出结果）. D 【详解】(1)证明：①：四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD=BC,∠ADC=LC=90°， 15/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AE⊥DF, ∠DAE+∠ADO=LADO+∠CDF=90°，即LDAE=LCDF, △ADE≌ADCF(ASA), ∴DE=CF, :E为CD的中点， :DE CE, DE+CE =CD,CF+BF=BC,CD=BC, :BF=CF; ②如图，作CH⊥DF于H,CG⊥AE于G, B 图2 .LECG=LFCH,∠FHC=∠G=90°， :E为CD的中点， .DE=CE=CF, ∴△CHF≌△CGE(AAS, .CH=CG, :AE⊥DF, .∠H0C=LG0C=45°， .CH =CG=OH,OC=2CH, :AE⊥DF, .∠AD0+∠DA0=90°， :∠AD0+∠CDH=90°， ∠DAO=LCDH, :∠A0D=∠DHC=90°，AD=CD, :△ADO≌DCH(AAS, :CH=OD=0H,AO=DH=2CH, A0_2CH=V2; CO√2CH (2)解：如图，连接AF,延长DC至P,使得CD=CP,连接AP, 16/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 图3 则CF垂直平分DP, .DF PF, AD=AB,∠ADE=∠B=90°，BF=DE, .△ADE≌△4BF(SAS, .AE=AF, AE+DF=AF+FP≥AP, AB=5, AD AB=5,DP=25, ·AP=VAD2+DP2=5 AE+DF的最小值为5. 14.(24-25八年级下.安微毫州期末)【知识技能】如图1，点P是正方形ABCD的对角线AC上一动点，连 接PB,PD,求证：PB=PD; 【数学思考】如图2，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE交对角线AC于点M,连接AE交对 角线BD于点N. (1)求证：DM=AN; (2)若∠AED=a,求∠BDE(用含O的式子表示)： 【拓展研究】如图3，在边长为10的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上的动点，且满足 AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点，G是边AB上的点，若点G是AB的中点，求 20M+FG的最小值， D D D M M 图1 图2 图3 【详解】解：[知识技能] :四边形ABCD是正方形， ∴.CD=CB,∠DCA=∠BCA=45°， 17/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CP=CP, △CDP≌CBP(SAS, .PB=PD; [数学思考] (1)证明：：点E是BC中点， .CE BE, :四边形ABCD是正方形， ∴DC=AB,∠DCE=∠ABE=90°， △DCE≌△ABE(SAS, ∠CDE=∠BAE, :DC=AB,∠DCA=∠ABD=45°， .△DCM≌AABN(ASA, DM AN (2)解：：△DCE≌△ABE, :∠CED=∠BEA=180°-∠DEA-90°- 2 3 :∠DBC=45°， .∠BNE=180°-45°- 90°- 2 =45°+ 2, :∠BNE=LBDE+LAED, ÷∠BDE=LBNE-∠AED=45°+C -a=45° 2 [拓展探究] 解：延长AB至点H,使得BH=BG,连接FH,DH, M A EG :四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°， :AE BF, △ADE≌△BAF(SAS), .∠ADE=∠BAF, 18/56 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠D0F=∠AD0+∠DA0=∠BAF+∠DA0=∠DAB=90°， :M是DF的中点， .DF =20M, :∠FBG=∠FBH=90°，FB=FB,BG=BH, △FBG≌△FBH(SAS), .FH=FG, .20M+FG=DF+FH, :当点H,D,F三点共线时，DF+FH有最小值， 即此时2OM+FG有最小值，最小值为DH的长， :正方形ABCD边长为I0,G为AB中点， C BH=BG=AG=AB=5. .AH=15, 在RteADH中，由勾股定理得：DH=√AD2+AH=√102+152=53， .20M+FG的最小值为513. 题型二：垂线段最短（单线段最值》 15.(22-23八年级下.安微合肥期末)如图，在AABC中，AC=6,BC=8,AB=10,点D为边AB上一动点， DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,P为EF的中点，则PD的最小值为() C A.2.4 B.4.8 C.6 D.8 【答案】A 【详解】解：：62+82=102，即AC2+BC2=AB2, ·△ABC是直角三角形，∠C=90°， :DE⊥AC,DF⊥BC, .∠DEC=∠DFC=90°=∠C, :.四边形CEDF是矩形， .∠EDF=90°， :P为EF的中点， DP-TEF. 19/56 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :当EF最小时，PD的值最小， 如图所示，连接CD, C R :四边形CEDF是矩形， :EF=CD, .当CD最小时，即EF最小，此时PD的值最小， 根据点到直线，垂线段最短可得，当CD⊥AB时，CD的值最小， S.e-ACBC=ABCD, 2 2 :CD=4CBC-6x8=48, AB 10 EF的最小值为4.8， :PD=EF=x4.8=2.4, 2 故选：A 16.(2025安徽马鞍山一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,M为AD的中点，N为BC上 动点，点B、D分别是点B、D关于直线MN的对称点，连接B、D交MN于点E,则CE的最小值为() M D B B A.6V13 B.3-2 c.3 D.3-3 13 2 【答案】A 【详解】解：连接BE,DE, 由折叠得∠DEM=∠D'EM=∠B'EN=∠BEN, 点B、E、D共线，即点E在BD上， 20/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B 当CE⊥BD时，这时CE最小， :ABCD是矩形， ∠BAD=90°， BD=AB2+AD2=32+22=13, 又：San=)BCxCD=BDxCE, 1 ÷CE=BC×CD-3x26WI3 BD 1313 CE的最小值为v国 13 故选：A. 17.(24-25八年级下.安徽合肥期末)如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,E是CD边上一动点，过点 E分别作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为() A.2.4 B.2.5 C.3 D.4 【答案】A 【详解】解：·四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD, :EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G, :四边形OGEF是矩形， 连接OE,则OE=GF,当OE⊥DC时，GF的值最小， D B 21/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD=6,AC=8, 0D=3,0C=4, ∴CD=V32+42=5, 1 S.0=xOCOD= CDOE. x4x3-x5xOE. 2 2 解得0E=2.4, .FG的最小值为2.4， 故选：A. 18.(24-25八年级下.安微阜阳·期末)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的动点，连接 DE,EF,P,Q分别为DE,EF的中点，连接PO.若LB=120°，BC=2,则PO的最小值为() A D P E C F A.3 B.1 c. D.2 3 2 【答案】A 【详解】解：如图，连接DF, D D B F :P,Q分别为DE,EF的中点， DF是aDEF的中位线， .DF=2P0, ·当DF有最小值时，PQ有最小值， 当DF⊥BC时，根据垂线段最短，DF有最小值， D E 22/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABCD是菱形， AB∥CD, .∠B+∠C=180°， :∠B=120°， .120°+∠C=180°， 解得：LC=60°， ∴LCDF=90°-∠C=90°-60°=30°， :四边形ABCD是菱形，BC=2, :CD=BC=2, .CF-CD-21 DF =DC2 -CF=22-1=3, DF的最小值为3， PO的最小值为 2 故选：A 19.(24-25八年级下.安微宣城期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5,AC=12,D、E、 F分别是边BC、AC、AB上不与A、B、C重合的动点，且DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,连接E、F ,则EF的最小值为) E B C A.60 B.13 c.5 D.6 13 2 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5,AC=12, BC=AB2+AC2=13 :DE⊥AC于E,DF⊥AB于F, ∴∠DEA=LDFA=LA=90° :四边形AFDE是矩形， .AD=EF, 当AD⊥BC时，AD取得最小值，即EF取得最小值， 5.w-ABxAC-BCxAD 23/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ÷AD=4BxAC=5x1260 BC 1313 即F的最小值为智 故选：A. 20.(24-25八年级下.安微马鞍山·期中)如图，线段AB的长为12，点D在AB上，△ACD是边长为5的等边 三角形，过点D作与CD垂直的射线DP,过DP上一动点G(不与D重合)作矩形CDGH,记矩形CDGH的 对角线交点为O,连接OB,则线段BO的最小值为() G D A.5 B.7 C.6 D.5√5 【答案】c 【详解】解：连接A0, H G D :四边形CDGH是矩形， CG-DH OC-CG.OD-DH. .0C=0D, :△ACD是等边三角形， .AC=AD,∠CAD=60°， 在△AC0和△ADO中， (AC=AD AO=AO C0=D0 .△ACO≌aAD0(SSS), ∠0AB=∠CA0=30°， ∴点O一定在∠CAB的平分线上运动， :当OB⊥A0时，OB的长度最小， :∠0AB=30°，∠A0B=90°， 24/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0B=5AB=5x12=6 即OB的最小值为6 故选：C 21.(24-25八年级下.安徽六安期末)如图，矩形ABCD中，AB=6,∠CDB=30°，E为CD边上一动点， △BEF为等边三角形，连接AF,则AF的最小值为() D A.1 B.√5 c.2 D.5-1 【答案】B 【详解】如图所示，取BD的中点G,连接FG, D G B :矩形ABCD中，∠CDB=30°， .∠C=90° :BC=BD,∠DBC=60 :点G是BD的中点 :BG=DB 2 .BG=B C :△BEF为等边三角形 .LEBF=60°=∠CBD,BE=BF ·∠CBE=LGBF .△CBE≌△GBF(SAS .∠C=LFGB=90°， 点F在射线GF上运动 ·当AF⊥GF时，AF有最小值 如图所示，过点A作AH⊥BD于点H 25/56 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠CDB=30°，DC∥B .∠ABD=∠CDB=30° G AH-AB=3 BH =AB2-AH2=33 BD =2AD,AD2+AB2=BD' .AD2+62=2AD) AD=25 ·BD=2AD=4V3 :.BG=-BD=23 2 HG=HB-BG=3 :AH⊥BD,AF⊥GF,LFGB=90° :.四边形AFGH是矩形 ·AF=HG=V3 AF的最小值为5. 故选：B 22.(25-26八年级上.安徽六安期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6,D为AB上 一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的 中点且始终有DGF,则线段8G长的最小是() B E D A.V108 B.6 C.27 D.9 【答案】B 【分析】连接DG,AG,设AG、DE交于点H,斜边上的中线得到DG=GE,易得AG垂直平分线段DE 26/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,三线合一，得到∠DAG=∠DAE=30°，进而得到点G在射线AH上，过B作BG'1AG交射线AG于G 垂线段最短，得到当G与G重合时，BG取得最小值，最小值为线段BG'的长，证明 △ABC≌△ABG'(AAS,即可得出结果 【详解】解：如图，连接DG,AG,设AG、DE交于点H, F G C :DE⊥DF,G为EF的中点， ∴DG=GE. :△AED为等边三角形， AD=AE,∠DAE=60°， ∴AG垂直平分线段DE, AG⊥DE, E∠DAG。∠DAE=30°1 :.点G在射线AH上， 过B作BG'⊥AG交射线AG于G, 则当G与G重合时，BG取得最小值，最小值为线段BG'的长， :∠ACB=LBG'A=90°，LCAB=LG'AB=30°，AB=AB, △ABC≌△ABG'AAS), .BG'=BC=6, 即BG的最小值为6. 23.(23-24八年级下.安微芜湖月考)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P是对角线BD上的一动 点，作PM⊥AB,垂足为M,作PN⊥AD,垂足为N,连接MN, N M B (1)当P是BD的中点时，线段MN的长度是 (2)线段MN长度的最小值是 27/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】 5 24 【详解】(1)连接AP, A D M ⊙ :矩形ABCD中，AB=6,AD=8, ∠A=90°，BD=√AB2+AD2=V6+82=10, :P是BD的中点， :AP=-BD=5, 2 PM⊥AB,PN⊥AD,∠A=90°， .四边形AMPN是矩形 :MN=AP=IBD=5. 故答案为：5. (2)如图，连接AP. A N D :PM⊥AB,PN⊥AD, B ∠AMP=∠ANP=90°. :在矩形ABCD中，∠BAD=90°， :四边形AMPN为矩形， AP MN, :MN的最小值即AP的最小值. 当AP⊥BD时，AP取最小值. 在Rt△ABD中，BD=VAB2+AD2=V6+82=10. SAABD= AB.AD=AP.BD, 2 4P.。0-学印戏段y长度的段个小值是 28/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： 24 24.(22-23八年级下·安徽芜湖期中)如图，在ABC中，AC=3V5,BC=9,AB=6V3,点N是BC边 上一点，点M为AB边上的动点，点D,E分别为CN,MN的中点，则∠B=°，DE的最小值是 c N M B 【答案】 9 30 【详解】解：：AC=3V5,BC=9,AB=6V3, .AC2+BC2=AB2, ∴.ABC是直角三角形，∠ACB=90°， 取AB中点F,连接CF, C MF 则CF=AF=BF=。AB=3V5, AC=CF=AF=33, ·.△ACF是等边三角形， ÷∠A=60°， ∠B=30°， 连接CM,如图： C 】 M :点D,E分别为CN,MN的中点， .DE =-CM, 2 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值最小. 若CM⊥AB, 则SBc=2 AB-CM =AC.BC, 2 29/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CM=4CBC_313x9 9 AB 6W5=2' 9 DE=1CM=9 2 4 故答案为：30,4 25.(24-25八年级下·安微池州期中)如图，在正方形ABCD中，0为对角线AC,BD的交点，E,F分 别为边BC,CD上一点，且OE⊥OF,连接EF, D E (1)若0F=√5，则EF的长为 (2)若AB=2,则EF的最小值为 【答案】(1)√6 (2)√2 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， 0B=0C,∠0BC=∠0CD=45°，∠B0C=90°， :OE⊥OF, .∠E0F=∠B0C=90°， .ZBOE+ZEOC ZCOF ZEOC, ∠B0E=∠COF, .△OBE≌△OCF(ASA, :.OE=OF, ∴△OEF是等腰直角三角形， 根据勾股定理，EF=VOE2+OF2 +-6, 故答案为：√6； (2)解：由(1)得△OEF是等腰直角三角形，若要EF最小，则OE最小即可， 当0E⊥BC时，OE最小， OE=ICD=1AB=1, 2 2 EF=VOE2+OF2=VP+1P=√2， 故答案为：√2 30/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 26.(24-25八年级下，安徽六安期末)如图，边长为3的菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是对角线BD上 的一个动点(P不与B,D重合)，以AP和PD为边作平行四边形APDQ. D (1)菱形ABCD的面积是 (2)点P在运动过程中，PQ的最小值是 【答案】 35 3 2 【详解】解：连接AC交BD于O, A B :菱形ABCD的边长为3， ∠ABC=60°， .ABC是等边三角形， .AC=AB=3, 0, a0=aB-A0-5, BD =33, 菱形ABCD的面积是x3x3N5=95: 解：设AD与PQ交于G, 31/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G :四边形APDQ是平行四边形， .PO=2GP, 当GP取最小值时，PQ的值最小， 由“点到直线的距离垂线段最短”可知， 当PQ⊥BD时，PG的值最小， :四边形ABCD是菱形， .AD=CD=3,∠ABC=∠ADC=60°， ∠ADP=30°， 3 AG=GD= 2” GP=LGD= 3 在RtaGPD中， 4 P0=2GP=3 :PO的最小值为2 故答案为5： 27.(24-25八年级下.安微合肥，期末)如图，在ABC中，∠CAB=90°，AC=8,AB=6,点P为平面内 一动点，PC=2,连接BP,点Q是BP的中点，则线段AQ的最小值为 ，最大值为 D 【答案】 4 6 【详解】解：如图，取BC的中点M,连接MQ, 32/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :点Q是BP的中点， .MQ是△PCD的中位线， M0=PC=1, :在ABC中，∠CAB=90°，AC=8,AB=6, BC=AC2+AB2=10, :M是BC的中点， 4M=号BC=5, 由三角形三边关系可得：AM-MQ≤AQ≤AM+MQ, 4≤AQ≤6， ,线段AQ的最小值为4，最大值为6， 故答案为：4,6. 28.(24-25八年级下.安微芜湖期末)如图，在ABC中，∠A=90°，AB=AC,点D为斜边BC上的中点， 点E,F分别在直角边AB,AC上运动（不与端点重合），且保持AE=CF,连接DE,DF,EF,设 BE=a,CF=b,EF=m.在点E,F的运动过程中，给出下面四个结论：①m<a+b;② B=m+](m-a)；③S,=Ser:④m的最小值为2a+1,上述结论中，正确的结论是 2 E D 【答案】①②④ 【详解】解：①：AB=AC,BE=AF=a, .AE =CF=b, :点E,F分别在直角边AB,AC上运动（不与端点重合）， .AF +AE EF, 即a+b>m,故结论①正确； ②：∠A=90°， .在RtAAFE中，AF=a,AE=b,EF=m, 33/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得：AF2+AE2=EF2, 即a2+b2=m2, b2=m2-a2=(m+a(m-a,故结论②正确； ③无法判断S。4r=S.DEr,故结论③错误； ④连接AD,设AD=h,如图所示： 在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,点D为斜边BC上的中点， AD⊥BC,AD=CD=BD=h, 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2, 2h2=(a+b)2, -a+ 即h=5a+6, m2=a2+b2, m2--(a+8)2a+=a-b≥0， 当且仅当a=b时，即点B,下分别为48,4C的中点时，a-=0, 此时m=h,则有m=V2(a+b, 2 当a≠b时，即点E,F不是AB,AC的中点时， a->0,此时a>,则有m>迈g+. 2 5m之g+,且等号可以取到，即m最小值为2(a+.救结论④正确 2 2 综上所述：正确的结论是①②④. 故答案为：①②④. 29.（24-25八年级下·安徽铜陵期末)在数学探究活动中，明明进行了如下操作：如图，先对折矩形纸片 ABCD,使得AD边与BC边重合，得到折痕EF,P为BC边上任意一点，沿着EP折叠△EBP,使得点B 落在B处.已知AB=4,AD=6,请完成如下探究： 34/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)若点B落在折痕EF上，线段DB的长度 (2)线段DB'的最小值 【答案】 25 2W10-2 【详解】解：(1)：四边形ABCD是矩形， .LB=90°， 由折叠的性质可知：AE=DF=EB=EB'=2,EF=AD=6,∠EB'P=∠B=90°，∠DFB'=∠CFB'=90°， B'F=EF-B'E=6-2=4, 在RtaDFB'中，由勾股定理得： DB'=VDF2+BF2=V22+42=2V5, 故答案为：2√5； (2)连接DE, FDB'≤DE-EB .DB'的最小值为DE-2, A D C 在RtA ADE中，由勾股定理得： DE=VAD2+AE2=V62+22=2√10， 故DB最小值为：2V10-2, 故答案为：210-2. 30.(24-25八年级下·安微淮南·月考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是斜边BC上的一个动点，过 点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. (1)四边形AEDF的形状是； (2)若AB=3,AC=4,连接EF,则EF的最小值为 35/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】 矩形 2.4 【详解】解：(1)：DE⊥AB,DF⊥AC, .∠AED=∠AFD=90°， :∠A=90°， :四边形AEDF是矩形 (2)如图，连接AD. B D 在Rt△ABC中，AB=3,AC=4, 由勾股定理，得BC=√AB2+AC2=V32+42=5· 当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD=4BAC-3×4=24 BC 5 又：四边形AEDF是矩形， ∴EF=AD,即EF的最小值为2.4. 31.(24-25八年级下.安微合肥期末)如图，ABC中，∠C=90°，AC=BC,点O是边AB的中点，点D 是AB上的动点，过点D作DE⊥AC,交AC于点E,作DF⊥BC,交BC于点F,连接EF,点G是EF 的中点，若AB=12. B D E (1)EF的最小值为 (2)连接0G,当0G=0D时，EF长为 【答案】 6 45 【详解】解：(1)连接CD,0C,如图所示： 36/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 在ABC中，LACB=90°，AC=BC, ∴△ABC是等腰直角三角形， 又：点O是边AB的中点，AB=12, ..OC L AB,OC=AB=6, 2 :DE⊥AC,DF⊥BC, LDEC=∠DFC=LACB=90°， ·四边形DECF是矩形， EF=CD, ·当CD为最小时，EF为最小， “点D是AB上的动点， :根据“垂线段最短”得：当CD⊥AB时，CD为最小， :当点D与点O重合时，CD为最小，最小值为线段OC的长， 即CD的最小值为6， .EF的最小值为6， 故答案为：6； (2)”点G是EF的中点，四边形DECF是矩形， :CD经过点G,EF=CD, 即点G是CD的中点， :OC⊥AB, :.OG是Rt△OCD的斜边CD的中线， ..0G=CG=DG, 当0G=0D时，则0G=0D=DG, :△ODG是等边三角形， 设0G=0D=DG=a, 则EF=CD=2a, 在Rta0CD中，由勾股定理得：0C=vCD2-OD2=V2a2-a2=V5a: 由(1)可知：0C=6, 37/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 oc ∴.a= 3 ×6=2√5， EF=2a=4V5. 故答案为：45. 32.(24-25八年级下.安微安庆期中)如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=16,E、F为AB、BC边上 的动点，以EF为斜边作等腰直角△GEF,其中∠EGF=90°，连接CG、DG, (1)若点E、F分别是AB、BC的中点，则点G到BC的距离是； (2)当点E、F在AB、BC边上运动时，则CG的最小值为· A D F 【答案】 1 8V2 【详解】解：(1)分别过点G作GM⊥BC于M,GH⊥AB于H,如图，则∠GHE=∠GMF=90°， G MF :四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， :四边形BMGH是矩形， .∠HGM=90°， :.∠HGE+∠EGM=90°，∠EGM+∠MGF=∠EGF=90°， .∠HGE=∠MGF, .EG=FG, ∴△EHG≌△FMG(AAS), ∴HG=GM, :四边形BMGH是正方形， :E,F分别是AB,BC边上的中点， BEAB=6 BF-5BC=8 EF=BE2+BF2=10. :△EGF是等腰直角三角形， 38/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .GF=GE= EF-55, 2 设EH=x,则BH=BM=6+x, BM BF MF =8-x, .6+x=8-x, .x=1, HG=GM=EG2-EH2=7, 点G到AB的距离为7， 故答案为：7 (2):四边形ABCD是矩形，AB=12,BC=16, .∠ABC=∠BAD=90°，AD=16, 过点G作GM⊥AB,GN⊥BC,则四边形MBNG是矩形， P B ∴∠MGN=90°，∠GME=∠GNF=90°， :EG=FG,∠EGF=90°，则∠MGE+∠EGN=LNGF+LEGN=90°， ∴∠MGE=∠NGF, ·△MGE≌△NGF(AAS), .GM =GN, ·点G在∠ABC的角平分线BP上， .∠ABG=∠CBG=45°， :当CG⊥BP时，CG最小，此时△BCG为等腰直角三角形， .BG2+CG2=2CG2=BC2=162, 解得：CG=8√2， :CG的最小值为82， 故答案为：8√2 33.(24-25八年级下.安徽六安·月考)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=24, BD=I0,点P在边AB上，求DP的最小值. 39/56 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 120 【答案】 13 【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD,0A=号AC=12,OB=)BD=5, AB=V52+122=13 So分×4Cx8D-x10x24=120, 1 2 1 540=2S形0=60 当DP⊥AB时DP有最小值， D C:S.AD=)×ABxDP,即60=x13×DP, 1 2 B 解得DP=120 13 二DP的最小值为， 34.(24-25八年级下.安徽宣城期末)如图1，边长为24的正方形ABCD中，点P为边BC上一个动点，连 接AP,作MN⊥AP于点E,交边AB于M,交边CD于N, D A E M P C B P C 图1 图2 (1)求证：MW=AP; (2)如图2，连接BD,线段MN交BD于点F,点E为AP的中点. ①当BP=7时，求EF的长； ②线段EF是否存在最小值，若存在，请直接写出线段EF的最小值，若不存在，请说明理由. 【详解】(1)明：过点B作BG∥MN,交AP于点H,交CD于点G, 40/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :MN⊥AP, BG⊥AP. 由正方形ABCD得，AB=BC,AB∥CD即BMI‖GN, 四边形BGNM是平行四边形， .BG MN. :∠BAP+∠ABH=90°，∠CBG+∠ABH=90°， :ZBAP=ZCBG 在△BAP和aCBG中， ∠BAP=∠CBG AB=BC ∠ABP=∠BCG=90° .△BAP≌ACBG(ASA), .AP=BG, .AP MN. A 0 N G M H B C 图1 (2)①连接AF,PF,CF,AC, A D N E P C 图2 :MN⊥AP,又点E为AP的中点，AE=EP, ∴.MN垂直平分AP, AF =PF, :正方形ABCD关于BD对称， 41/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AF CF, :AF=PF=CF, ∴.∠FPC=∠FCP,∠FCA=∠FAC, :四边形ABCD是正方形， .∠ACP=45°， ∴.∠FPC=∠ACP+∠FCA=45°+∠FCA, :AC,PF相交， ∠FAC+∠AFP=LFPC+LACP, ∴∠AFP=∠FPC+∠ACP-∠FAC=45°+∠FCA+45°-∠FAC=90° ∴△AFP是等腰直角三角形， LEFA=45°， ∠EAF=∠EFA=45°， .EF AE=AP, :AP=√AB2+BP2=√242+72=25， :EF=}AP=x25=25 1 2 2 9 ②由0知EF=24P, 1 :当点P和点B重合时，AP=AB=24,此时AP最小， EF最小值=24P=12. 35.(24-25八年级下·安微宿州期末)在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应 用的重要图形，己知口ABCD,周长为12. 图1 图2 (1)如图1，若AB=2BC. ①求AB的长； ②若∠ABC=60°，连接BD,在BD上取一点E,连接CE,当CE⊥BD时，求CE的长. (2)如图2，若∠BCD=120°，DB平分∠ADC,P是BD上的一个动点.求CP的最小值. 【详解】(1)解：①：四边形ABCD是平行四边形， 42/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AB=CD,AD =BC, :口ABCD周长为12， .AB +BC=6, AB=2BC, 2BC+BC=6,解得：BC=2, .AB=2BC=4. ②如图1，过D作DH⊥BC交BC的延长线于H, 图1 :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD=4, .∠DCH=LABC=60°，即∠CDH=30°， CH-CD-2. DH=CD2-CH2=23, .BH BC+CH=4, 8D=VBH+DH=V42+25=2万， :CE⊥BD, cDBD-CE. :.CE=BC·DH=2×23_2V2i BD 2√7 7 (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ·∠ADC=180°-∠BCD=60°，∠ADB=∠DBC, :DB平分∠ADC, .∠ADB=∠CDB, ∠DBC=∠CDB, .BC=CD, ·.四边形ABCD是菱形， :口ABCD周长为12， 43/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BC=CD=3, “P是BD上的一个动点， :当CP上BD时，CP的值最小， 1 :∠BDC=∠ADC=30°， 2 :.CP-CD=7' 3 :CP的最小值为 3 题型三：线段转化法求线段和最小值 36.(24-25八年级下.安徽合肥期末)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=6,∠BAD=60°， E,F是对角线AC上的动点且EF-号4C,连接DE,8F,则DE+BF的最小值为() D A.45 B.3V5 C.8 D.6 【答案】A 【详解】解：连接BD交AC于O,以EF,BF为邻边作平行四边形BFEG, E C EF BG,BF =GE, G ·DE+BF=DE+EG2DG, 故DE+BF的最小值为DG, :菱形ABCD,∠BAD=60°，AB=BC=CD=AD=6, ·BD⊥AC,△ABD是等边三角形， .BD=AB=6,OD=BD=3, ·A0=VAD2-0D2=3V5, AC=2A0=6N3, EF-LAC. 3 ∴BG=EF=2V3, 44/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BD⊥AC,平行四边形BFEG, ∠DBG=∠D0A=90°， DG=JGB+DB2=23)+6=43, 则DE+BF的最小值为4√5， 故选：A. 37.(24-25八年级下.安徽准北月考)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为对角线AC上的一个动点（不 与点A,C重合)，过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥BC于点G,连接DE,FG·给出下列结论：① DE=FG;②∠FGB=∠EDC;③DE=AE时，四边形BFEG是正方形；④DE+FG的最小值为8.其中正 确的结论有() B G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】Cc 【详解】解析：如图所示，连接BE,交FG于点O, :EF⊥AB,EG⊥BC, G :∠EFB=∠EGB=90, :∠ABC=90°， :四边形EFBG为矩形， .:FG=BE,OB=OF=0E=0G :四边形ABCD为正方形， BC=DC,∠BCA=∠DCA=45°， 在△BCE和△DCE中， EC=EC ∠BCE=∠DCE BC=DC ABCE≌△DCE SAS, 45/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BE DE, DE=FG,即①正确； '△BCE≌△DCE, :ZEBC ZEDC, .0B=0G, ∠FGB=∠EBC, ∠FGB=∠EDC,即②正确， 当DE=AE时，：∠DAC=45° ∠ADE=LEDC=45°， :∠FGB=∠EBC=45°， FG⊥BE 由①可知，四边形EFBG是矩形， :四边形EFBG是正方形.故③正确： 由①可知，BE=FG,当点B,E,D三点共线时，BE+ED最小，即DE+FG最小， 此时BE+ED=BD=√AB2+AD2=4√2， .DE+FG的最小值为4√2，④不正确. 综上，正确的结论为：①②③. 故选：C 38.(24-25八年级下.安徽安庆期末)如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上 的动点，且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=3GB. D E (1)∠D0F= (2)OM+FG的最小值是 【答案】 90° √④ 【详解】(1)在边长为8的正方形ABCD中， AD=AB=8,∠DAB=∠ABC=90°， 又由题知AE=BF, :△DAE△4BF(SAS), ∠ADE=∠BAF, 46/56 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又∠DAF+LBAF=90°， LDAF+∠ADE=90°， .∠DOF=∠DAF+∠ADE=90°. (2)延长AB至点N,使得BN=GB,连接FN,DN,如下图所示： D M A E G B N 由(1)知∠D0F=90°，又点M是DF的中点， :.OM=IDF, 2 :∠ABC=90°， BC⊥AN, 又BN=GB, :.BC垂直平分GN, :.GF=FN, FGDFFNDFF)DN 2 2 :正方形ABCD的边长为8，AG=3GB, :AD=AB=8,BN=GB=-AB=2,AN AB+BN=10, 在Rt△DAN中，由勾股定理得DN=√AD2+AN2=V82+102=2√4I, 0v=v. :OM+FG的最小值是m. 故答案为：90°；√41. 39.(24-25八年级下.安徽阜阳期末)如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E和点F分别是AC和CD上的 点，∠ABC=120°. b (1)若∠ADE=20°，则∠CED的度数为°： (2)若AB=4,AE=CF,则DE+BF的最小值为· 47/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 50 4W2 【详解】解：(1)：四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， :∠BAD=60°，∠DAC=∠BAC=30°， ∠ADE=20°， ∠CED=∠DAC+∠ADE=50°； 故答案为：50； (2)如图，过点A作AG⊥AD,且AD=AG,连接EG,DG, 四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， G BC=AD=AG,∠DAC=30°，∠BCD=60°， ∠GAE=90°-30°=60°=LBCD, 又：AE=CF, ∴△AEG≌△CFB(SAS, :EG BF, :DE+BF DE +EG, :当点E,点D,点G三点共线时，DE+FB有最小值为DG的长， :AG⊥AD,AD=AG=4, .DG=42, 故答案为：42 40.(24-25八年级下.安徽安庆期中)如图，在直角△ADC中，CD⊥AC,AD=10,DC=6,AC绕点A 摆动到AB的位置，取AB的中点E,连接BD、CE,求AC绕点A摆动的过程中， (1) AC= (2)BD+CE的最小值为 【答案】 8 213 【详解】解：(1)在直角△ADC中，AD=10,DC=6, 48/56 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AC=VAD2-CD2=V102-62=8, 故答案为：8； (2)取AC中点F,连接BF,DF, F..AF= -AC, B D :E是AB中点， .4E=AB, 2 AC=AB, :AF AE, :∠CAE=∠BAF, :△CAE≌△BAF(SAS), :CE =BF, BD CE BD+BF, ,BD+BF≥FD, :BD +CE 2 DF, F是AC中点， :.CF=AC=1x8=4, 2 2 :CD⊥AC, .∠DCF=90°， DF=VCF2+CD2=V42+62=2V13, .BD+CE≥2N13, BD+CE的最小值为213. 故答案为：213 41.(24-25八年级下·安徽芜湖期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E不 与B、C重合)，连接DE,以DE为直角边作等腰直角三角形DEF,DF与正方形AB边相交于点N,连接 BD 49/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E E 图1 图2 (1)求证：∠BEF=∠FDB; (2)当E运动到BC的中点时，求线段AN的长： (3)如图2，连接AC交DF于点P,G是AD的中点，连接PG、PE,求PE+PG的最小值. 【详解】(1)证明：：△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DEF=90°，∠EDF=45° :正方形ABCD, .∠C=90°，∠CDB=45°， LCDE=45°-LEDB=LFDB, :∠DEF=90°， .∠BEF=90°-∠DEC=∠CDE, ∠BEF=LFDB. (2)解：：点E是BC的中点， .BE =CE =1. 设AN=x,则BN=2-x. 如图，延长BA至H,使AH=CE=1,连接HD,NE. D B E :正方形ABCD, ∠C=∠BAD=∠DAH=90°，CD=AD. ∴△CDE≌△ADH(SAS, DE=DH,∠CDE=∠ADH. :△DEF是等腰直角三角形， ·∠EDN=45°. ∠CDE+∠ADN=45°. 50/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠HDN=∠ADH+∠ADN=45°，即∠HDN=∠EDN=45°. 又：DE=DH,DN=DN, :△HDN≌△EDN(SAS. .:EN NH =x+1. 在Rt△BEN中，BE2+BN2=EN2,即12+(2-x)2=（x+1)2, 部移子 线段4N的长度为号 (3)解：如图，过F作FH⊥BC于H点，连接FB,PB,GB,设AC与BD交于O点. D 47 E 由(1)∠FEH=∠EDC,又∠H=LECD=90°，EF=ED, .△HEF≌△CDE(AAS). .HF=CE,CD=HE=BC. .HB=CE =HF. ∴△BHF是等腰直角三角形. .∠FBH=45°， :在正方形ABCD中，LACB=LCBD=45°， ∴.∠FBH+∠CBD=90° ∴.∠FBD=90°. :PB=PD, ∠PBD=∠PDB, .BFD=90°-∠PDB=90°-∠PBD=∠PBF, .PF=PB, PF=PD,即点P是DF的中点， 在R1aDBF和RtDEF中，PB=DF,PE=DF, ∴PB=PE. .PE+PG=PB+PG≥BG, 当B、P、G共线时，PE+PG有最小值，最小值为BG的长， 51/56 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :G是AD的中点， .AG=1, BG=VAB2+AG2=√5， ∴PE+PG的最小值为√5. 题型四：面积最值 42.(24-25八年级下.安徽期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,点E为BC的中点，连结AE ·以BC为边向左作△BCD,且∠BCD=90°，BD∥AC·连结DE,记ACDE和△ABE的面积分别为S,和 S,则3-S的最大值是() A.8 B.45 C.4W2 D.6 【答案】A 【详解】解：如图所示，取BD的中点F,连接EF,CF, D :∠BCD=90°， :CF=BF DF, .S.Dac 2S.F8C, :AB=AC=4,E为BC的中点， LACB=∠ABC,AE⊥BC :BD∥AC ·∠FBC=∠BCA ∠FBC=∠ABC 又：FB=FC,BE=EC .FE⊥BC ∠FEB=∠AEB=90°， 在△FBE,△ABE中， ∠FBE=∠ABE BE=BE ∠AEB=∠FEB=90° 52/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·△FBE≌△4BE(ASA} S.FBE =SABE S2 又：S4BE=S2 S.BDC =2S.BDE =4S.BEF =4S2 :点E为BC的中点， 1 S.DCE=S.DWE=2 S.BDC=S S.BDC =2S1, S1=2S2 39-S,3S,-S,=2S,=2SeSm :当B11C时，5取得最大值，即8-S的最大值是×B×4C=×4x4=8. 故选：A. 43.(24-25八年级下·安徽六安期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AD=3,AB=9,点E,F分别在边 AB,CD上.将矩形纸片沿直线EF折叠，使点B落在边CD上，记为点M,点C落在点N处，连接MB交 EF于点P,连接BF,下列结论：①四边形MFBE是菱形；②点M与点D重合时，EF=√O;③△MPF 面积的最小值是？；④BP=BC中，所有正确结论的序号是() 4 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， AB∥CD, ∴.∠BMF=∠EBM,∠EFM=∠FEB, 有折叠的性质得：ME=BE,MF=BF,EF⊥BM,BP=MP, ∴.△MFP≌△BEP, .MF=BE, 四边形MFBE是菱形，故①正确： 点M与点D重合时，如图： 53/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N (M)D B 设AE=x,则DE=BE=9-x, 在RtAADE中，AD2+AE2=DE2, 32+x2=(9-x)2,解得：x=4, BE=5, BD=√AD2+AB2=V32+92=3√10，四边形MFBE是菱形， BP=1BD=31 2 ,EF=2EP,∠BPE=90°， ·EP=VBE2-BP 3V10 10 2 2 :EF=2x0=0,故②正确， 如图，当EF经过点C时，BE最短，此时四边形CBEM的面积最小，四边形CBEM为正方形， D C(F A B 此时SMrr心正方形CEw×3x3三号 4 4’故③正确， 在BCF和△BPF中，LC=LBPF=90°，BF=BF, 根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断BCF和△BPF全等，故无法判断BP与BC相等，所以④错 误： 故选：A 44.(24-25八年级下.安徽阜阳期中)已知：如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=6.在AD上取一点E ,AE=2,点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN,使点N落在CD边上，点M落在矩 形ABCD内或其边上.若AF=x,△BFM的面积为S. 54/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D N D M E E 分 B B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN; (2)如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式； B)当x=时，△BFM的面积S最大：当x= 时，△BFM的面积S最小。 【详解】(1)解：：四边形EFMN是正方形，四边形ABCD是矩形， EF=NE,∠FEN=∠A=∠D=90°， ∠AEF+∠DEN=90°，∠AEF+∠AFE=90°， ∴.∠AFE=LDEN, :△FAE≌△EDN(AAS): (2)解：如图2，连接FN,作MQ⊥FB于Q,则∠MQF=∠D=90°， O N M E A O B 图2 :四边形ABCD是矩形， AD=BC=6,AB∥CD, ED=AD-AE=6-2=4,∠NFQ=∠DNF, :四边形EFMN是菱形， FM=EN,EN∥FM, .∠NFM=∠ENF, ∴.∠NFQ-∠NFM=∠DNF-∠ENF, 即∠MFQ=∠END, ∴.△MFQ≌△END(AAS), ∴MQ=ED=4, AB=9,AF=x, .BF=9-x, 55/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :S=BFM0=x9-x)×4=-2x+18, 即S与x的函数关系式为S=-2x+18; (3)解：S=-2x+18, ∴.S随x的增大而减小， 如图3，当点N与D重合时，x的值最小，此时△FBM的面积最大， D(N) M E A F B 图3 AD=BC=6,AE=2, EF=DE=6-2=4, “此时x=AF=√EF2-AE2=√42-22=2V5; 如图4，当点M在BC上时，x的值最大，此时aFBM的面积最小， D N C M F B 图4 连接NF,同理(2)可证可证△AEF≌△CMN(AAS), .AF CN =x, .DN=9-x, EF EN, AE2+AF2=DE2+DN2, 即AE2+AF2=DE2+DN2 22+x2=42+(9-x)2, 解程2 故答案为：25, 6 56/56