18.2勾股定理的逆定理 讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

18.2 勾股定理的逆定理 知识点详解 一、 勾股定理的逆定理 1. 定理表述 文字语言：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 符号语言：在△ABC中，设其三边分别为 a, b, c，其中 c 为最长边。如果 那么△ABC是直角三角形，且 c 所对的角。 2. 定理的理解 · 前提条件：必须验证 c 是三角形的最长边。因为勾股定理的逆定理中，等号右边的边所对的角才是直角。 · 判定方法：将两条较短边的平方和与最长边的平方进行比较： · 若 ⇒ 直角三角形（直角在 c 的对角）； · 若 ⇒ 锐角三角形（最长边对角为锐角）； · 若 ⇒ 钝角三角形（最长边对角为钝角）。 二、 定理的证明 勾股定理的逆定理通常用构造法证明，思路是：构造一个以已知两边为直角边的直角三角形，证明其与已知三角形全等。 已知：在△ABC中，AB = c，BC = a，CA = b，且。 求证：△ABC是直角三角形，且∠C = 90°。 证明： 1. 作Rt△A'B'C'，使∠C' = 90°，B'C' = a，A'C' = b。 2. 由勾股定理。 3. ∵ ，∴ A'B' = c。 4. 在△ABC和△A'B'C'中： AB = A'B' = c，BC = B'C' = a，AC = A'C' = b， ∴ △ABC ≌ △A'B'C'（SSS）。 5. ∴ ∠C = ∠C' = 90°。 6. 因此△ABC是直角三角形。 三、 逆定理的应用 1. 判定直角三角形 已知三角形三边长，判断是否为直角三角形。 例：判断以 6, 8, 10 为边长的三角形是否为直角三角形。 解：最大边为 10，计算 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2， ∴ 三角形是直角三角形，且 10 所对角为直角。 2. 判定三角形的形状（锐角、直角、钝角） 已知三角形三边长，不仅可以判断是否直角，还能进一步判断是锐角还是钝角三角形。 例：判断以 7, 8, 12 为边长的三角形的形状。 解：最大边为 12，计算， ∵ 113 < 144，即 ， ∴ 三角形是钝角三角形。 四、 勾股数 1. 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，叫做勾股数（或勾股弦数）。 2. 常见勾股数 · 基本勾股数：3, 4, 5；5, 12, 13；7, 24, 25；8, 15, 17；9, 40, 41。 · 它们的整数倍也是勾股数，如 6, 8, 10（3,4,5的2倍）；9, 12, 15（3,4,5的3倍）；10, 24, 26（5,12,13的2倍）。 3. 勾股数的性质 · 一组勾股数同时扩大（或缩小）相同的正整数倍，仍是一组勾股数。 · 一组互质的勾股数称为基本勾股数（如3,4,5）。 五、 典型例题精析 例1：判断三角形的形状 已知三角形的三边长分别为 （n>0），试判断此三角形的形状。 解： 最大边显然是 。 计算两条较小边的平方和： 最长边的平方： 两者相等，所以三角形是直角三角形。 例2：已知两边及第三边关系，求第三边 在△ABC中，AB = 5，AC = 12，BC = 2m - 3，且∠A = 90°，求 m 的值及BC的长。 解： ∵ ∠A = 90°，∴ BC 是斜边。 由勾股定理： ∴ BC = 13（边长取正）。 又 BC = 2m - 3 = 13，解得 m = 8。 注意：本题是已知直角求边，直接用勾股定理；若未知直角，则需用逆定理讨论。 六、 易错点警示 1. 未找最长边： · 使用勾股定理逆定理时，必须先确定最长边，然后将两条较短边的平方和与最长边的平方比较。 · 错误示例：对三边 3, 4, 5 计算 比较，得出不是直角三角形（正确应找最长边5）。 2. 符号与计算错误： · 平方和计算时漏项或符号错误，尤其是涉及分数、根式时。 3. 忽略三角形三边关系： · 在判断三角形形状前，应先用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证能否构成三角形。 4. 混淆定理与逆定理： · 勾股定理：由直角 ⇒ 边的平方关系。 · 勾股定理逆定理：由边的平方关系 ⇒ 直角。 · 两者不可颠倒使用。 5. 实际应用中忽略条件： · 在测量问题中，数据可能不够精确，需结合实际情况判断是否可近似为直角。 一、单选题 1．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 2．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据折叠得到，，，，然后求出 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 3．如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理． 根据勾股定理求出的长，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为． ∴点D表示的数为． 故选：D． 4．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理的应用； 根据题意，海岛B位于海岛A南偏东30°方向30海里处，轮船C和D均在海岛B的正北方向．轮船D与海岛B相距40海里，因此位置唯一确定；轮船C与海岛A相距20海里，且在B的正北方向，求出，可知满足条件的点有两个，因此位置不能唯一确定． 【详解】解：如图，海岛A为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向．海岛B在南偏东30°方向30海里处， ∴B点坐标：，． ∵轮船D在海岛B正北方向且距B40海里， ∴D点坐标唯一：． ∵轮船C在海岛B正北方向且距A20海里，设C点坐标为，则， ∴ ∴C点有两个可能的位置，位置不能唯一确定， 故选：C． 5．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并能求出箭在投壶内部的最大长度是解题的关键．先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度． 【详解】解：如图， ∵投壶内部底面直径，内壁高， ∴箭在投壶内部的最大长度 ∵箭总长为， ∴箭在投壶外面部分的最小长度为：， 箭在投壶外面部分的最大长度为：， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能为． 故选：． 6．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺， 故选：C． 7．如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角求，是解题的关键． 延长，相交于点，构建直角，通过角所对的直角边是斜边的一半求得，通过勾股定理求出线段的长，根据线段和差关系求得，根据结合勾股定理、角所对的直角边是斜边的一半可求出，，由此即可求出． 【详解】解：如图，延长，相交于点． 在中，． ， ， ， ，． 在中，， ，且， 解得，， ． 故选：B． 8．一个零件的形状如图所示，其中，工人师傅量得三边的尺寸分别为，，，则边的长为（   ） A． B． C． D．15cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：在中，， 在中，， 故选：B． 9．如图为一块光学直角棱镜的截面，记为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O射入，折射后到达边上的点D，恰有，再经过反射后，从点E射出，，垂足为点E，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理计算得出，再由等面积法计算即可得出结果，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 10．已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【答案】 【分析】分别令和，求出直线与轴、轴的交点坐标，进而得到两条直角边、的长度，根据勾股定理计算斜边的长度，将、、的长度相加，得到的周长． 【详解】解：令，代入直线方程，得， ∴点的坐标为，； 令，代入直线方程，得，解得， ∴点的坐标为，则； ∵是直角三角形， ∴； ∴的周长为． 11．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点为点的对应点），顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为，则此时电脑顶部边缘上升的高度为____________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用知识点，掌握勾股定理在直角三角形中的计算方法是解题的关键． 先在中用勾股定理求出的长度，再根据，在中用勾股定理求出的长度，最后用减去得到顶部边缘上升的高度． 【详解】解：在中，根据勾股定理，可得： ∵，， ∴ ∴ ∵点为点的对应点，所以笔记本电脑的屏幕长度不变，即 ∴ 在中，根据勾股定理，可得： ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 此时电脑顶部边缘上升的高度为： ∵． 故答案为：13． 12．如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，由题意可得，由勾股定理可得，结合题意得出，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在数轴上A、B两点所表示的数是，， ∴， ∵与数轴垂直，且， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 13．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键． 将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 故答案为：． 三、解答题 14．如图，每个小正方形网格的边长表示，A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校． (1)请你以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系； (2)利用（1）中建立的平面直角坐标系，写出B同学家的坐标，若C同学家的坐标为，请在图上标出C同学家的位置； (3)若D同学家在B同学家南偏西方向，距B同学家处，则D同学家所在位置的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)；C同学家的位置见解析 (3) 【分析】（1）根据A同学到学校的方向与距离确定学校在A点向右5个网格，再向上1个网格的位置，即可建立直角坐标系； （2）根据点B在坐标系中的位置得到坐标，根据点C的坐标知点C在第二象限，到轴3个网格的距离，到轴1个网格的距离，由此描出点C； （3）根据平面直角坐标系，从B同学家向下3个网格到点，再向左3个网格到D同学家，即，可得，，即得D同学家所在位置的坐标是． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图所示． （2）解：由图可得，C同学家如图所示． （3）解：由题意得，D同学家所在位置的坐标是． 15．如图，在中，，平分交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及利用面积法解决几何问题，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等以及通过面积关系建立方程求解线段长度是解题的关键． （1）利用角平分线的性质得到，再通过证明来证得． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据角平分线性质得到，然后通过面积法，将的面积拆分为和的面积之和，列出方程求解的长度． 【详解】（1）证明：AD平分， ． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中，， ，． ． ， ， 解得． 16．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用． （1）先根据线段的垂直平分线的性质证明，再证明，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ，， ． ，， ， 解得； （2）解：是的垂直平分线， ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得， ． 17．如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点的对应点为，交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及三角形面积公式的综合运用． （）根据折叠前后对应角相等，可推导出，因为长方形对边平行，即，可得内错角相等，等量代换，根据等角对等边，即可判断的形状； （）设，则，在中，因为勾股定理适用于直角三角形三边关系，所以可列出关于的方程求解的长； （）阴影部分是，根据三角形面积公式为，利用已求的长和的长计算其面积；或者用长方形面积减去空白部分面积得到阴影面积． 【小问1】 解：是等腰三角形．理由如下： 由折叠的性质，知． 四边形是长方形， ， ， ， ， 即是等腰三角形． 【小问2】 解：设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 即的长为． 【小问3】 解：． 18．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， ， 点表示的数是． 19．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 【答案】()秒 【分析】本题考查等腰三角形的定义、勾股定理及一元二次方程的应用，关键是设运动时间为秒，用含的代数式表示各边长度，尤其注意，所以只有这种情况，同时需检验解是否符合点的运动范围()． 【详解】解：设运动时间为秒()，则，，． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 当时，， 两边平方得，整理得， 由一元二次方程求根公式得， ， ∴舍去，保留； 答：()秒时，是等腰三角形． 20．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 21．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连结，，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的定义、勾股定理，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）证明，得到，再利用三角形内角和定理即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵在等腰中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．如图，在中，，一动点D从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为t． (1)求； (2)当时，求； (3)若平分，求t． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），结合勾股定理建立方程求解是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）先求出当时，点运动到上，，再利用勾股定理即可求解； （3）过点作，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用股定即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， 当时，点运动的距离为， 此时，点运动到上， 则， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 根据题意，，则， ∵， ∴，即， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $18.2勾股定理的逆定理 知识点详解 一、勾股定理的逆定理 1.定理表述 文字语言：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 符号语言：在△ABC中，设其三边分别为a,b,c,其中c为最长边。如果 a2+b2=c2 那么△ABC是直角三角形，且c所对的角∠C=90°。 2.定理的理解 ·前提条件：必须验证c是三角形的最长边。因为勾股定理的逆定理中，等号右边的边所 对的角才是直角。 ·判定方法：将两条较短边的平方和与最长边的平方进行比较： ·若a2+b2=c2→直角三角形（直角在c的对角）： ·若α+b2>c2→锐角三角形（最长边对角为锐角）； ·若a2+b2<c2→钝角三角形（最长边对角为钝角）。 二、定理的证明 勾股定理的逆定理通常用构造法证明，思路是：构造一个以已知两边为直角边的直角三角 形，证明其与已知三角形全等。 已知：在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,且a+b2=c2。 求证：△ABC是直角三角形，且∠C=90°。 证明： 1.作Rt△A'B'C',使∠C=90°，B'C'=a,A'C'=b。 2.由勾股定理，A'B'=Va+b2。 3.a2+b2=c2,.A'B=c 4.在△ABC和△AB'C中： AB=A'B'=C,BC=B'C'=a,AC=A'C'=b, ∴.△ABC=△A'B'C'(SSS)。 5..LC=∠C'=90°。 6.因此△ABC是直角三角形。 三、逆定理的应用 1.判定直角三角形 已知三角形三边长，判断是否为直角三角形。 例：判断以6,8,10为边长的三角形是否为直角三角形。 解：最大边为10，计算6^2+8^2=36+64=100=10^2， ∴.三角形是直角三角形，且10所对角为直角。 2.判定三角形的形状（锐角、直角、钝角） 已知三角形三边长，不仅可以判断是否直角，还能进一步判断是锐角还是钝角三角形。 例：判断以7,8,12为边长的三角形的形状。 解：最大边为12，计算7+82=49+64=113， 12=144, 113<144,即72+82<122， ∴.三角形是钝角三角形。 四、勾股数 1.定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，叫做勾股数（或勾股弦数）。 2.常见勾股数 ·基本勾股数：3,4,5：5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41。 ·它们的整数倍也是勾股数，如6,8,10(3,4,5的2倍)：9,12,15(3,4,5的3倍)；10,24， 26(5,12,13的2倍)。 3.勾股数的性质 ·一组勾股数同时扩大（或缩小）相同的正整数倍，仍是一组勾股数。 ·一组互质的勾股数称为基本勾股数（如3,4,5）。 五、典型例题精析 例1：判断三角形的形状 已知三角形的三边长分别为2n+1,2n+2n,2n+2n+1(n>0),试判断此三角形的 形状。 解： 最大边显然是2n+2n+1。 计算两条较小边的平方和： 最长边的平方： 两者相等，所以三角形是直角三角形。 例2：已知两边及第三边关系，求第三边 在△ABC中，AB=5,AC=12,BC=2m-3,且∠A=90°，求m的值及BC的长。 解： ∠A=90°，∴.BC是斜边 由勾股定理：BC2=AB+AC=52+12=25+144=169, ∴BC=13(边长取正)。 又BC=2m-3=13,解得m=8 注意：本题是已知直角求边，直接用勾股定理：若未知直角，则需用逆定理讨论。 六、易错点警示 1.未找最长边： ·使用勾股定理逆定理时，必须先确定最长边，然后将两条较短边的平方和与最长边的平 方比较。 ·错误示例：对三边3,4,5计算3+52=34与42=16比较，得出不是直角三角形（正 确应找最长边5)。 2.符号与计算错误： ·平方和计算时漏项或符号错误，尤其是涉及分数、根式时。 3.忽略三角形三边关系： ·在判断三角形形状前，应先用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证能否构成三 角形。 4.混淆定理与逆定理： ·勾股定理：由直角→边的平方关系。 ,勾股定理逆定理：由边的平方关系→直角。 ·两者不可颠倒使用。 5.实际应用中忽略条件： ·在测量问题中，数据可能不够精确，需结合实际情况判断是否可近似为直角。 一、单选题 1.如图，数轴上的点A表示的数是-1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B,且BC=2, 以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D,则点D表示的数为() B A.2.8 B.2V2 c.22-1 D.2W2+1 2.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=15,AC=25,沿过点A的直线将纸 片折叠，使点B落在BC上的点D处，折痕交BC于点F,再折叠纸片，使点C与点D重合， 折痕交AC于点E,交BC于点G,则DE的长度为() B A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图，△ABC中，∠ABC=90°，BC=1,点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表 示为数为2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D,则点D表示的数为() -1D0 A.V2 B.-V2 c.2-1 D.1-V2 4.从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里.轮船C与轮 船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求.此时轮船C与海岛A相 距20海里，轮船D与海岛B相距40海里.补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃 料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是() A.轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B.轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C.轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D.轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 5.《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有 一圆柱形投壶内部底面直径是5cm,内壁高l2cm,若箭长18cm,则箭在投壶外面部分的 长度不可能是() A.5cm B.5.5cm C.6cm D.7cm 6.今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？ (选自《九章算术》)，题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么 它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是()(“尺” “丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺) B A.10尺，11尺B.11尺，12尺 C.12尺，13尺D.13尺，14尺 7.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=7,AB=8,则BC+CD 等于() 4.65 8.55 c.45 D.35 8.一个零件的形状如图所示，其中∠A=∠DBC=90°，工人师傅量得三边的尺寸分别为 AB=3cm,AD=4cm,BC=12cm,则边CD的长为() C A B A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm 9.如图为一块光学直角棱镜的截面，记为Rt△ABC,AB所在的面为不透光的磨砂面， ∠ACB=90°，BC=I0cm,现将一束单色光从AC边上的点O射入，折射后到达AB边上 的点D,恰有CD⊥AB,再经过反射后，从点E射出，DE⊥BC,垂足为点E,己知 BD=6cm,则DE的长为() A.8cm B.3.6cm C.4.8cm D.6.4cm 二、填空题 3 10.已知直线y=-3与两坐标轴的交点分别为点A八B’则△408的周长为 11.某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的 实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘点B离桌面的高度BC为7cm,此时 底部边缘点A与点C之间的距离AC为24Cm,若小组成员调整张角的大小继续探究，发现 当张角为∠DAF时（点D为点B的对应点），顶部边缘点D离桌面的高度为DE,此时底 部边缘点A与点E之间的距离AE为l5Cm,则此时电脑顶部边缘上升的高度为 cm D B -“龙 A F 12.如图，在数轴上A、B两点所表示的数是-3,1，BC与数轴垂直，且BC=2,连接 AC,以点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D,则点D所表示的数为 BD -4-3-2-10123 13.如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为4cm,盒子高为20cm,点B在顶点A正 上方lOCm处.用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B,再用黄色彩带从点B开 始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为 cm B 三、解答题 14.如图，每个小正方形网格的边长表示50m,A同学上学时从家中出发，先向东走250m, 再向北走50m就到达学校. B同学家 北 4同学家 (1)请你以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角 坐标系： (2)利用(1)中建立的平面直角坐标系，写出B同学家的坐标，若C同学家的坐标为 (-50,150) 请在图上标出C同学家的位置： 45o (3)若D同学家在B同学家南偏西⊙方向，距B同学家 50W2m处，则D同学家所在位置 的坐标是 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E. D B (1)求证：AC=AE: AC=8,BC=6 CD (2)若 ,求的长 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线DE分别交AB,AC于 D,E两点，连接BE (1)若∠CBE=20°，求∠A的度数： (2)若BC=12,AC=18,求CE的长. 17.如图，在长方形ABCD中，AB=12,BC=24,将该长方形沿对角线BD折叠，点C 的对应点为C,，BC'交AD于点E. (1)判断△BED的形状，并说明理由： (2)求BE的长： (3)求图中阴影部分的面积. C △OAB 18.甲同学用如图①方法作出点，在 ∠01B=90°，01=2,4B=3,且点0， D中， A,C在同一数轴上，OB=OC. B -5-4-3-2-1012345 5-4-3-2-1012345 图① 图② (1)甲同学所做的点C表示的数是： (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示1 的点D 19.如图所示，在△ABC ∠B=90°，AB=6cm,BC=3cm 中， ,点P从点4开始沿边1B向点 B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以lcm/s的速度移动，连接 PO,AO P.Q △APQ 如果 两点同时出发，几秒时， 是等腰三角形？ B 20.在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕 过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地 面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图1所示， 物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离BC=5cm,物体C到定滑轮A的垂 直距离AC=12Cm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小 忽略不计.) B B B 图1 图2 (1)求绳子的总长度： (21如图2，若物体C升高2cm至C处，求滑块B向左滑动至B处的距离。 B. t△ABD∠ADB=90 C 21.如图，在等腰 中， ,点F在线段4D上，点C在D的延长线上， 连结AC,BF,并延长BF交AC于点E,且BF=AC. B D (1)求证：BE⊥AC; (2)若AC=13,CD=5,求AF的长. 2.如图，在△1BC中，∠A=909,AB=6,BC=10 中， ,一动点D从B点出发，以每秒2个单 位长度的速度沿折线B-A-C运动，设运动时间为t. B D (1)求AC; (2)当t=5时，求BD: (3)若BD平分∠ABC,求t.