专题06 分式方程及其应用（基础与重点）2012人教版（全国通用）-2026年中考数学复习

专题06 分式方程及其应用 考点一 分式方程及其解法 知识点一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 知识点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1、找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2、去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【例1】（2025·广东河源·模拟预测）下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 【变式1】（2025·广东广州·模拟预测）下列各式中分式方程有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：（1）不是等式，故不是分式方程； （2）是分式方程； （3）是无理方程，不是分式方程； （4）是分式方程． 可知分式方程有2个. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的判断，掌握定义是解题的关键． 【变式1.1】（2025·广东汕头·模拟预测）下列方程属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、是整式方程，故本选项不符合题意； D、是整式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程是分式方程是解题的关键．． 【例2】（2025·广东清远·三模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解并检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式2】（2025·广东中山·二模）解分式方程： 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤解分式方程即可，注意验根． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，合并，得， 系数化为，得， 当时，， 则不是分式方程的解， 故原方程无解． 【典例3】（2024·广东·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，同时必须检验所得解是否使原方程分母为零（即排除增根）． 先观察分母，发现，统一分母为；再确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母去分母，转化为整式方程；解整式方程后，将所得解代入最简公分母检验，若分母不为零则为原方程的解，反之则为增根． 【详解】解：原方程可化为， 方程两边同乘（），得， 去括号、整理得， 移项得， 合并同类项得， 检验：当时，，故是原方程的解． ∴原方程的解为． 【变式3】（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析； (2) 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，然后再写出正确的解答过程即可； （2）令（1）中化简后的结果为，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号， 故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号； 正确的解答过程如下所示： ； （2）解：当时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为． 【例4】（2025·广东梅州·一模）已知是关于x的方程的解，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，由题意可得，再解分式方程即可得解，熟练掌握解分式方程的方法是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：， 当时，， ∴是分式方程的解， 故选：C． 【变式4】（2025·广东汕尾·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了利用分式方程的解求参数．把代入方程，解方程即可求解． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得， 检验：当时，， ∴m的值为3 故选：D． 【例5】（2025·广东清远·模拟检测）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得， ∵x为正数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：D． 【变式5】（2025·广东江门·模拟检测）关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据分式方程的解为正数，得到大于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解：解得， 关于的分式方程的解为非正数， ， 解得：， ， ， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【例6】（2024·广东东莞·模拟预测）关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为（　　） A．7 B．3 C．1 D．－3 【答案】A 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】方程两边都乘（x-），得7+ 3（x-1）=m ∵原方程有增根， ∴最简公分母x-1=0， 解得x=1， 当x=1时，7+ 3（1-1）=m． 解得m=7． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式6】（2025·广东中山·模拟检测）关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0，确定出m的值即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【例7】（2025·广东潮州·模拟检测）如果关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【详解】 解：去分母得： 解得． 当分母，即时方程无解， ． 时方程无解． 故选∶ A． 【变式7】（2023·广东茂名·二模）若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．2或1 D．2或 【答案】C 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解恰好使原分式方程的分母等于0． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 由题意，分以下两种情况： （1）当，即时，整式方程无解，分式方程无解； （2）当时，， 当时，分母为0，分式方程无解，即， 解得， 综上，a的值为1或2． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确分两种情况讨论是解题关键． 【及时巩固】 1．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 2．（2024·广东广州·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 该分式方程的解为． 3．（2025·广东广州·模拟预测）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解法是正确解答此题的关键，注意要检验． 将分母因式分解后通分，转化为整式方程求解，并检验分母不为零． 【详解】解： 原方程化为， 两边同乘，得． ∴， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为， 故选：B． 4．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 5．（2024·广东·模拟预测）解分式方程： (1)； (2)； 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．注意验根． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可． 【详解】（1）解：， ． 方程两边同乘，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 的系数化为，得． 当时，． ∴是这个方程的增根． ∴这个分式方程无解． （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 考点二 分式方程的实际应用 知识点一、用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1、检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2、检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【例1】（2025·广东中山·模拟预测）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 根据现在与原计划工作效率间的关系，可得出原计划平均每天生产台机器，利用工作时间、工作总量、工作效率的关系，结合现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天列出关于x的分式方程即可解答． 【详解】解：∵该工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，且现在平均每天生产x台机器， ∴原计划平均每天生产台机器． 根据题意得：． 故选：B． 【变式1】（2025·广东韶关·一模）某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树40万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是正确列出分式方程的关键．设原计划每天种植x万棵树，则实际每天种植万棵树，根据计划今年春季植树40万棵，由于志愿者的加入，结果提前5天完成任务，列出分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵， 根据题意得：． 故选：B． 【例2（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元， 则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， （台）． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 【变式（2024·广东·二模）某中学带领学生去农场体验农耕劳动，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．设购买A种菜苗m捆，求出m的范围．设本次购买共花费元．请找出关于m的代数式，并求出本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)元 (2)，最少花费元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用和一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． （1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，以“用元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆”列分式方程即可解决； （2）购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元，根据“A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数”得出，列一次函数，根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得 检验：将代入， 是原方程的解， 菜苗基地每捆A种菜苗的价格为元． （2）解：由题，购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：， 解得， ， ， 又， ， 当时，花费最少， 此时 本次购买最少花费元． 【及时巩固】 1（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 2（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 3（2023·广东广州·中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键． 4（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度． 【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟． 【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论． 【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟， 根据题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟． 【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键． 5（2024·广东深圳·三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】(1)跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 (2)当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为，根据总花费列出函数解析式，要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得 经检验，是原方程的解 跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； （2）解：设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为， 由题意得， 跳绳的数量不少于毽子数量的3倍， ， ， ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值， 当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 课后练习（一） 1．（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键．设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得， 故选：D． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故选：D． 3．（2025·广东茂名·二模）方程的解为（　　） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 即原方程无解， 故选：D． 4．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 5．（2025·广东东莞·二模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键；利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； 【详解】解：两边同乘以， 原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴原方程的解为； 故答案为：． 6．（2025·广东江门·二模）代数式与代数式的和为1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得，， 解得，，， 经检验，，均为原方程的解， 故答案为：或． 7．若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数， ∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个． 故答案为：3． 8．（2025·广东广州·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 所以原方程的解为． 9．（2025·广东佛山·三模）某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子销售．经过市场调研，、两种品牌粽子销售较好．已知种品牌粽子的单价比种品牌粽子的单价便宜2元，用480元购买种粽子的数量是用360元购买种粽子数量的2倍． (1)求品牌粽子的单价为多少元？ (2)如果该超市将种品牌粽子的售价定为6元，种品牌粽子的售价定为10元．超市准备购进两种品牌的粽子共500个进行销售，总利润不低于1800元，问超市至多购进种品牌粽子多少个？ 【答案】(1)4 (2)100 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）设A品牌粽子的单价为x元，则B品牌粽子的单价为元，根据用480元购买A种粽子的数量是用360元购买B种粽子数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设超市购进A品牌粽子a个，则购进B品牌粽子个，根据总利润不低于1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设A品牌粽子的单价为x元，则B品牌粽子的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A品牌粽子的单价为4元． （2）解：由（1）可得，即B种粽子的单价为6元， 设超市购进A种品牌粽子a个，则购进B种品牌粽子个， 由题意得：， 解得， 答：超市至多购进A种品牌粽子100个． 10．（2025·广东深圳·三模）随着deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者，购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现130万购买的甲中型号机器人和100万购买的乙种型号的机器人数量一样． (1)求甲乙两种型号的机器人的单价是多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），则有几种购买方案，购买乙种智能机器人多少套，所花资金最少？ 【答案】(1)甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元 (2)有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是万元，利用数量=总价÷单价，结合130万购买的甲中型号机器人和100万购买的乙种型号的机器人数量一样，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲种型号的机器人的单价），再将其代入中，即可求出乙种型号的机器人的单价； （2）设购买乙种智能机器人m套，则购买甲种智能机器人套，利用总价=单价×数量，结合总价不低于114万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合m，均为正整数，可得出共有5种购买方案，设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，利用总价=单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（万元）． 答：甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元； （2）解：设购买乙种智能机器人m套，则购买甲种智能机器人套， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为1，2，3，4，5， ∴有5种购买方案． 设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值． 答：有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少． 课后练习（二） 1．已知分式方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程解的意义，将代入分式方程后即可得出答案．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：C． 2．（2025·广东清远·模拟检测）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．－1 C．或0 D．0或－1 【答案】C 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程无解的条件，是需要熟记的内容． 【详解】解：方程去分母得，， ． 如果原分式方程无解，那么分两种情况： ①当时，方程无解，所以分式方程无解； ②，解方程，得， 当分母即时原分式方程无解． 由，得． 经检验，符合题意， 故当或时，分式方程无解． 故选：C 3．（2025·广东韶关·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键，注意分式方程的解需进行验根，首先将原分式方程移项得，即，再去分母得，进而即可求出x的值，经检验，是原分式方程的解． 【详解】解： 移项，得． 通分，得． 去分母，得． 整理，得． 移项，得． 合并同类项，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 4．（2025·广东深圳·二模）“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 【答案】任务1：红粉西红柿进价为每千克5元，有机西红柿进价为每千克7.5元；任务2：每千克10元；任务3： 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． 任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元，根据同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多建立方程求解即可； 任务2；设标价（白天的售价）为每千克元，分别求出白天和晚上的销售额，再根据利润不低于建立不等式求解即可； 任务3：可计算得到九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱，那么在八折时刚好卖完即可或者最大利润，据此求解即可． 【详解】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元 由题意可得：， 解得： 经检验，是方程的根，且符合题意 答：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元 任务2：设标价（白天的售价）为每千克元， 由题意可得：， 解得：， 标价（白天的售价）最低价为每千克10元； 任务3： 九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱 ， 每天进货时利润最大． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元 (2)购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． （2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元， 由题意得：，解得． ，即， ， 随m的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式方程及其应用 考点一 分式方程及其解法 知识点一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有 的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 知识点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为 方程. 解分式方程的一般步骤： 1、找 ，当分母是多项式时，先分解因式； 2、去分母，方程两边都乘 ，约去分母，化为整式方程； 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【例1】（2025·广东河源·模拟预测）下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2025·广东广州·模拟预测）下列各式中分式方程有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【变式1.1】（2025·广东汕头·模拟预测）下列方程属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东清远·三模）解方程：． 【变式2】（2025·广东中山·二模）解分式方程： 【典例3】（2024·广东·模拟预测）解方程： 【变式3】（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 【例4】（2025·广东梅州·一模）已知是关于x的方程的解，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】（2025·广东汕尾·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【例5】（2025·广东清远·模拟检测）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式5】（2025·广东江门·模拟检测）关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 【例6】（2024·广东东莞·模拟预测）关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为（　　） A．7 B．3 C．1 D．－3 【变式6】（2025·广东中山·模拟检测）关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【例7】（2025·广东潮州·模拟检测）如果关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式7】（2023·广东茂名·二模）若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．2或1 D．2或 【及时巩固】 1．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 2．（2024·广东广州·中考真题）解方程：． 3．（2025·广东广州·模拟预测）方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 5．（2024·广东·模拟预测）解分式方程： (1)； (2)； 考点二 分式方程的实际应用 知识点一、用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1、检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2、检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【例1】（2025·广东中山·模拟预测）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东韶关·一模）某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树40万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【变式2】（2024·广东·二模）某中学带领学生去农场体验农耕劳动，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．设购买A种菜苗m捆，求出m的范围．设本次购买共花费元．请找出关于m的代数式，并求出本次购买最少花费多少钱． 【及时巩固】 1（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 2（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3（2023·广东广州·中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度． 5（2024·广东深圳·三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 课后练习（一） 1．（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东茂名·二模）方程的解为（　　） A． B． C． D．无解 4．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东东莞·二模）方程的解为 ． 6．（2025·广东江门·二模）代数式与代数式的和为1，则 ． 7．若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 8．（2025·广东广州·二模）解方程：． 9．（2025·广东佛山·三模）某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子销售．经过市场调研，、两种品牌粽子销售较好．已知种品牌粽子的单价比种品牌粽子的单价便宜2元，用480元购买种粽子的数量是用360元购买种粽子数量的2倍． (1)求品牌粽子的单价为多少元？ (2)如果该超市将种品牌粽子的售价定为6元，种品牌粽子的售价定为10元．超市准备购进两种品牌的粽子共500个进行销售，总利润不低于1800元，问超市至多购进种品牌粽子多少个？ 10．（2025·广东深圳·三模）随着deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者，购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现130万购买的甲中型号机器人和100万购买的乙种型号的机器人数量一样． (1)求甲乙两种型号的机器人的单价是多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），则有几种购买方案，购买乙种智能机器人多少套，所花资金最少？ 课后练习（二） 1．已知分式方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东清远·模拟检测）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．－1 C．或0 D．0或－1 3．（2025·广东韶关·模拟预测）解方程：． 4．（2025·广东深圳·二模）“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 5．（2025·广东东莞·模拟预测）在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $