06-专题六 函数的实际应用-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

证明：如解图，连接CF交BD于点O. 四边形BCDF是平行四边形，.OF=OC. AF=AC,.AB⊥CF, .四边形BCDF是菱形 4.解：(1)如解图1，射线OP即为所求 M C 解图1 解图2 (2)如解图2，C⑦即为所求。 5.(1)解：如解图1，矩形BCFE即为所求 解图1 解图2 (2)证明：如解图2，过点A作AG⊥EF于点G,设AC与 EF交于点H. 四边形BCFE是矩形， ∴.∠E=∠F=90°，EB=FC, ∴.∠AGD=∠E,∠AGH=∠E :D是AB的中点，.AD=DB 又·∠ADG=∠BDE,∴.△ADG≌△BDE(AAS), ∴.AG=BE,S△c=S△mE,.AG=FC. 1∠AGH=∠F, 在△AGH和△CFI中 ∠AHG=∠CHF AG=CF. .△AGH≌△CFH(AAS),.SAACH=S△cFH, .S△ABCc=S矩形BCPE 6.解：(1)如解图，△A1B,C,即为所求. C2 B B C (2)如解图，△A,B,C2即为所求。 (3)如解图，BB,和B,B,即为点B经过的路径 BB1=√32+3=3V2、 BB,的张为90mxV22m 180 2； ·点B经过(1)(2)变换后的路径总长为32+2如 2 7.解：(1)如解图1，点D即为所求（答案不唯一） 解图1 解图2 (2)如解图2，点E即为所求（答案不唯一）. 专题六函数的实际应用 1.解：(1)y=x2+5x;s=15x-30(x≥2) (2)当y=150时，x2+5x=150. 解得x,=10,x,=-15(不合题意，舍去) 答：嘉淇滑完整个赛道需要耗时10s. (3)由题意，得y=s,.x2+5x=15x-30. 化简，得x2-10x+30=0. ·.·△=100-4×30=-20<0，.原方程无实数解， ·在嘉淇到达终点前，无人机不能追上嘉淇 设无人机与嘉淇的距离为d, 则d=(x2+5x)-(15x-30)=(x-5)2+5, 当滑行时间为5s时，无人机与嘉淇的距离最小，最小 距离为5m 2.解：(1)①由题意知S头=t+300, v=2,∴.S=2t+300. ②.·v=2,甲的速度为2m/s. .甲的速度为4m/s, .甲从排尾赶到排头时，4t=2t+300,解得t=150, 此时S=2×150+300=600(m) 甲从排头返回到排尾的过程中所用的时间为(t-150)s, 则Sm=600-4(t-150)=-4t+1200. (2)设甲从排尾赶到排头所用时间为t,s, 300 则2t1=t1+300,.t1= 设甲从排头返回排尾所用时间为t,s, 300100 则t,= +2 T=6,t5,=400 队伍在此过程中行进的路程为400x=40(m). 3.解：(1)由题意，得y1=20(10-m)+50=-20m+250. 设为=n+b, 则/10=7张+6， ,(k=10 (120=8k+b. 得b=40, ∴.32=10n+40. (2)由题意，得m(-20m+250)=630. 解得m1=9,m2=3.5. m为正整数.m=9。 即每碗米线定价为9元时，才能使得米线日销售额达到 630元. (3)①由题意，得m+n=16,.m=16-n. 设销售总量为y, 19 则y=y1+y2=-20m+250+10n+40=30n-30. 30>0,y随n的增大而增大。 又.7≤n≤10 .当n=10时，y取得最大值300-30=270， 每碗凉面的定价为10元时，销售总量最多，为270碗. ②8【解法提示】由题意，得(16-n)[-20(16-n)+250]+ n(10n+40)=1680,解得n=8或n=35(舍去). 4解：1)由圈意，设基础价为a万元，浮动价为兰万元，则 将(120,11)，(100,12)分别代入，得a=6,b=600 六y与x满足的关系式为)y=6+600 若18-12=6+600.则600- =0. 600 x>0..—>0 .一件产品的利润不能是12万元. (2)将n=1,x=120代入x=2n2-2hn+9(k+3), 得120=2-2k+9k+27,解得k=13, .∴.x=2n2-26n+144 由题意，得18=6+600 解得x=50. .∴.50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0. .△=(-13)2-4×1×47<0，.方程无实数根， ∴.不存在某个月既无盈利也不亏损， (3)小：第m个月的利润为取。=x(18y）=(18-660 12(x-50)=12(2m2-26m+144-50)=24(m2-13m+47), .第(m+1)个月的利润为W1=24[(m+1)2-13(m+1)+ 47]=24(m2-11m+35), 若W≥W1,则Wm-W1=48(6-m),当m取最小值1 时，Wm-Wm+1取得最大值48×(6-1)=240： 若Wm<W1,则Wm+1-Wn=48(m-6). 又：m+1≤12，.当m取最大值11时，W1-Wn取得最 大值48×(11-6)=240， ∴.m的值为1或11. 5.解：(1)240：7.5【解法提示】由图象可知，A,B两区相距 150米，B,C两区相距90米，则A,C两区相距150+90= 240(米)..·机器人甲到达B区所用时间为150÷20= 7.5(分)，.a=7.5. (2)机器人乙到达B区所用时间为90÷10=9（分）， .E(9,0) 机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷(15-9)= 15(米/分)， 则y=15(x-9)=15x-135. 线段EF所在直线的函数解析式为y=15x-135(9≤x≤ 15). (3)机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器 人甲、乙相距30米.【解法提示】当0≤x≤7.5，机器人 20 甲、乙相距30米时，得20x+10x+30=240,解得x=7:当 9≤x≤12，机器人甲、乙相距30米时，得15x-135=30,解 得x=11:当12<x≤15时，机器人甲的速度为90÷(15 12)=30(米/分)，则y=30(x-12)=30x-360,当机器人 甲、乙相距30米时，得15x-135-(30x-360)=30,解得x= 13,.·.机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机 器人甲、乙相距30米 6.解：(1)根据题意，得A(1,18), 将41,18)代入y兰得6=1 设h=at,将t=1,h=5代入，得a=5,.h=5t2 (2).M,A的水平距离为t米， ∴.当v=5时，点M的横坐标x=5t+1. :M,A的竖直距离为h=5f2, .点M的纵坐标y=18-52. x=5+1f=-l 5 y=18-5x号=-1418 当=13时，(x1)2+18=3 解得x=6或x=-4(舍去)， 将=6代人y得y=3 .当y=13时，运动员与正下方滑道的竖直距离为13-3= 10(米). (3)t=1.8,z>7.5.【解法提示】当m=5米/秒时， 甲距离x轴1.8米，.18-5t2=1.8,解得t=1.8或t= -1.8(舍去.乙位于甲右侧超过4.5米处，∴."zt>4.5 +5t,即vz 4.5+5x1.8-7.5. 1.8 7.解：(1)用描点法画出y,与x的函数图象如解图. y/米 78 72 66i 6 54 48 42 36 30H 24-1 18 12 012345678910111213x7秒 (2)①30：10【解法提示)1号无人机上升速度为6米/秒，则 y1与x之间的函数关系式为y1=6x,当x=5时，y1=6×5= 30,当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 30米；2号无人机上升速度为4米/秒，则y2与x之间的 函数关系式为y2=4x+12,当y2=52时，得4x+12=52,解 得x=10,.当2号无人机距离地面的竖直高度为52米 时，上升的时间为10秒 (②6 ③4或8【解法提示】当1y2-y11=4时，得14x+12-6x1= 4,解得x=4或x=8,∴.当1号，2号两架无人机上升4秒 或8秒时，距离地面的竖直高度相差4米 8.解：(1)由题意知，抛物线过点(0,0)和(20,0)， 六其对称轴为直线x=10,设解析式为y=a(x-10)25 121 将0(0.0)代人得0=a(0-1022,0=5 ·船轮廓线所在抛物线的解析式为y43(x-10)-?, 把y=2代入抛物线解析式，得2=82， 1,5 解得x1=24,2=-4(舍去)，∴.B(24,2). (2)能砸中.理由如下： 将B(24,2)代入y=m(x-32)2+10, 得2=m(24-32)2+10,m=8 1 .y= 8(x-32)2+10, 1 当x=40时，)=-8×(40-32)°+10=2. .2<10,.小球能砸到标志杆. (3)4<n<12.【解法提示】.·水面上涨2米，小船再向右 移动n米，一小球所走路线抛物线的解析式为y=-。（x 8 32-m+12.当抛物线经过点(40,10)时，10=-(40 32-n)2+12,解得n1=4,n=12,.4<n<12. 9.解：(1)依题意得，秤盘的质量为10克，秤砣的质量为 50克，秤盘到零刻度线的水平距离（即l+a)为6厘米， ∴.10l=50a,l=5a l+a=6,∴.5a+a=6,.a=1, .l=5a=5×1=5(厘米)， .秤纽到秤盘的水平距离为5厘米 (2)依题意，得200+10=210（克）. 设相邻刻度之间的水平距离为d厘米， ·秤砣从零刻度线向末刻度线方向移动，到第5个小刻 度线时杆秤刚好平衡， 210×5=50×(1+5d),.1050=50+250d,解得d=4, ∴.第1个小刻度线到零刻度线的水平距离是4厘米 专题七真实情境下圆的综合探究 1.解：(1)连接0M.:0为圆心，0C⊥MN于点C,MW=48cm .C-MN-2(ew). AB=50 cm...OM=AB=25(cm) 在Rt△0MC中，0C=√OM-MC=7(cm) (2)GH与半圆的切点为E,.OE⊥GH. MW∥GH,.OE⊥MN于点D. LANM=30,ON=AB=25(cm), 0D=1 25 0N=7(cm), 换作后水面高度下降了宁-7号(em)。 (3):OE⊥MW于点D,∠ANM=30°，∴.∠D0B=60 :半圆的中点为Q,A0=OB∠Q0B=90°， ∠00E=30EF=0E·tm∠00E-2 3(cm), E0的长为30m×25_25m 180 6(cm). .25525m25(2/5-m0. 36 6 .线段EF的长度大于E0的长度， 2.解：(1)四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， 12 .AC=VAB+BC2 2+(3）2=3(m) ∴.A0= AC 3 (m), 21 :00的半径为2m ,3 (2)如解图，设AD的中点为E,作EF⊥BC于点F, D 地面 B---C 由对称性可知，EF过圆心O,则EF=OE+OF. 3 5(m),0E=之m, ·E=27 10m, ÷改造后圆弧形门洞的高度为 10m (③)阴影部分的面积为（贸。影）m【解法提示] 3 9 9.12108 :50=(2)m=4m(m),Sm=5×5 25(m), 3 81 Sa40e+5a0m+5aam=4S元形4w=25（m).0B=0C, .∠0BC=∠ACB=52.5°，.∠B0C=180°-52.5°×2= 75°，.S前形B0G= 75《2=15(m2),.S形=So0- 360 32 3 57m81 3e0wS形c=(3225)m2 3.解：(1)如解图1，连接BM. :M是AMB的中点，A=BM,.AM=BM. 又：AM=AB,.AM=BM=AB, 21专题六 函数的实际应用（除2022年未考查外，其余每年必考） 类型1阅读材料型(10年5考：2025.22,2024.24) 2.长为300m的春游队伍以vm/s的速度向东行 1.某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛 进.如图1和图2，当队伍排尾行进到位置0 道长150m.嘉淇从赛道顶端A处下滑，滑行 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到 2s后，小华操控一个无人机从A处沿着赛道 后立即返回排尾，甲的往返速度均为2mm/s, 方向保持相同安全高度跟拍嘉淇，测得嘉淇离 当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排 A处的滑行距离y(单位：m)以及无人机离A 尾从位置0开始行进的时间为t(s),排头与0 处的距离s(单位：m)(注：无人机的安全高度 的距离为S头(m), 忽略不计)随滑行时间x(单位：s)变化的数 (1)当v=2时，解答： 据，整理得下表： ①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范 滑行时间x/s 0 1 2 3 4 5 围)； 滑行距离y/m ②当甲赶到排头位置时，求S头的值：在甲从排 0 6 14 24 36 50 头返回到排尾的过程中，设甲与位置O的距离 无人机离A处 0 0 0 15 30 45 的距离s/m 为S甲(m),求S甲与t的函数关系式（不写t的 取值范围)； 经探究发现，y与x之间成二次函数关系，s与 (2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T x(x≥2)之间成一次函数关系 与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写 (1)直接写出y关于x的函数解析式和s关于 出队伍在此过程中行进的路程. x(x≥2)的函数解析式（不要求写出自变量的 →东 取值范围)； 0(尾)头 →东 0 尾头 (2)嘉淇滑完整个赛道需要耗时多久？ 甲+ ←一甲 图1 图2 (3)在嘉淇到达终点前，无人机能否追上嘉淇？ 若能，试计算此时嘉淇的滑行时间x的值；若 不能，求出无人机与嘉淇的最小距离 父 147 3.(2025春石家庄期末)石家庄外国语学校快乐4.某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品 园餐厅有两样热卖单品—米线和面条.随着 的生产其中x>0.每件的售价为18万元，每件 天气越来越炎热，米线与面条销量下降.为应 的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中 对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐 基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成 园餐厅采取了以下措施： 反比.经市场调研发现，月需求量x与月份n(n 对米线进行 为整数，1≤n≤12)符合关系式x=2n2-2hn+ 将面条换成凉面出售 降价出售 9(k+3)(k为常数)，且得到了表中的数据： 凉面定价为n元/碗，售出的数 月份n(月) 2 当按照10元/份出 量y,(碗)与每碗定价n(元)之 成本y(万元/件) 11 12 售时，估计每天只 间为一次函数关系，其中两组 需求量x(件/月) 120 100 能售出50份，每份 数据如表所示(7≤n≤10，且 (1)求y与x满足的关系式，并说明一件产品 售价每降价1元， n为整数)： 的利润能否是12万元： 就能多售出20份. n(元/碗) 7 8 (2)求k的值，并推断是否存在某个月既无盈 y2（碗) 110 120 利也不亏损： (1)请求出每天米线售出的数量y(碗)与每 (3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m+ 碗定价m(元)之间的函数关系式，每天凉面售 1)个月的利润相差最大，求m的值. 出的数量y,(碗)与每碗定价n(元)之间的函 数关系式； (2)求每碗米线定价m(m为正整数)为多少元 时，才能使得米线日销售额达到630元； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和 为16元时比较合理. ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米 线和凉面销售总量最多，为多少碗？ ②当凉面定价为 元/碗时，能使当天 米线和凉面销售总额达到1680元. 148 类型2分析图象型(10年4考：2023.23) 6.如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x 5.(2025齐齐哈尔)2025年春晚舞台上的机器人 轴（水平）18米，与y轴交于点B,与滑道y=4 表演充分演绎了科技与民族文化的完美融合 为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技 (x≥1)交于点A,且AB=1米.运动员（看成，点） 活动“机器人走进校园”，A热情瞬间燃爆.校 在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下 园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A,B, 飞向滑道，点M是下落路线的某位置.忽略空 C三个互动区，机器人甲、乙分别从A,C两区 气阻力，实验表明：M,A的竖直距离h(米)与 同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以 飞出时间t(秒)的平方成正比，且当t=1时， 20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时 h=5;M,A的水平距离是vt米。 停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿 (1)求k的值，并用t表示h; “勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学 (2)设v=5,用t表示点M的横坐标x和纵坐 路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至 标y,并求出y与x的关系式（不写x的取值范 B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人 围)，及当y=13时，运动员与正下方滑道的竖 同时到达C区.机器人甲、乙距B区的距离y 直距离； (米)与机器人乙行进的时间x(分)之间的函 (3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别 数关系如图所示.请结合图象信息解答下列 是5米/秒、vz米/秒.当甲距x轴1.8米，且乙 问题： 位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t (1)A,C两区相距 米，a= 的值及vz的范围. (2)求线段EF所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人 甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） y/米 01 150 90 分 149 7.(2025北京门头沟区期末)“五一”期间，无人机灯光秀点亮某景区上空.其中，1号无人机从地面 起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停 止上升开始表演.在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x(单位：秒).1号无人机 距离地面的竖直高度为y,(单位：米)，2号无人机距离地面的竖直高度为y2(单位：米).记录仪记 录的部分数据如下： /秒 0 1 2 3 4 7 12 y,米 0 6 12 18 24 42 72 2/米 12 16 20 24 28 40 60 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画y,与x,y2与x之间的关系.在同一平面直角坐标系x0y 中，已经画出y2与x的函数图象，请画出y1与x的函数图象 y/米 72 66 54 48 26 30 24 8 6 012345678910111213x/秒 (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米；当2号无人机距离地面的竖直 高度为52米时，上升的时间为 秒； ②当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相同； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米 150 8.(2025石家庄四十四中三模)如图是某船停在类型3实物模型 水上的示意图.此船轮廓线可以看作抛物线的9.【2025河北新考法跨物理学科】嘉淇利用杠杆 一部分，船的吃水宽度OA=20米，最大吃水深 原理熟悉了物体的等量关系：A处物体的质量 度为2 米，船头B高出水面2米建立如图所 ×OA的长度=B处物体的质量×OB的长度（如 图1).根据这一原理，数学兴趣小组制作了简 示的平面直角坐标系xOy.在船的前方距离O 易杆秤（如图2），秤盘的质量为10克，秤砣的 点40米处有直立的固定标志杆，标志杆高CD= 质量为50克. 10米 秤纽 (1)求船轮廓线所在抛物线的解析式及点B a 的坐标： 秤纽 零刻 度线 (2)在点B处发射一个小球，此时小球所走路 秤 重物 砣 度 线是抛物线y=m(x-32)2+10的一部分，问：小 A处0 B处 秤盘 图1 图2 球能否砸到标志杆？请通过计算加以说明； 秤纽 (3)若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆 9a零刻度线 固定不变.将小船向右移动米（没有到达标 0 志杆位置)，然后再按(2)中的方式发射小球， 秤砣 若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出n的 秤盘 取值范围. 图3 y/米 (1)由于自身秤盘的质量，需确定秤盘、零刻 船 度线和秤纽之间的相对位置（如图3）.若秤盘 水面 到零刻度线的水平距离（即l+a)为6厘米时， 请你确定秤纽到秤盘的水平距离； (2)称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡.为了 方便快速得到在秤盘中重物的质量，从零刻度 线向后依次标记等距的小刻度线，数学兴趣小 组在(1)的条件下进行了实验，如图2，当秤盘 放入200克重物后，秤砣从零刻度线向末刻度 线方向移动，到第5个小刻度线时杆秤刚好平 衡.求第1个小刻度线到零刻度线的水平距离 是多少？ 151