专题05 一元一次方程与二元一次方程（组）及其应用（基础与重点） 2026年九年级中考数学复习

专题05 一次方程（组）及其应用 考点一 一元一次方程的相关概念 知识点一、一元一次方程的相关概念 【概念】只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 【方程的解】能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 【解方程】求方程的解得过程叫做解方程. 【例1】（2024·广东佛山·一模）下列式子是方程的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义．根据题意利用方程定义“等式两边含有未知数的等式叫方程”知识点即可得到本题答案． 【详解】解：∵不是等式， ∴A选项不是方程， ∵不是等式， ∴B选项不是方程， ∵是代数式，没有等号， ∴C选项不是方程， ∵符合方程的定义， ∴是方程， 故选：D． 【变式1】（2024·广东河源·一模）下列式子中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【例2】（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，求出的值，从而求出的值．掌握其解法是本题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 则． 故选：D． 【变式2】（2024·广东湛江·模拟预测）已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先求出方程的解，然后代入方程，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 把代入方程，则 ， 解得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法进行解题． 知识点二、等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【例3】（2024·广东云浮·一模）下列等式变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，故本选项不符合题意； B．∵，，∴，故本选项符合题意； C．∵，∴，故本选项不符合题意； D．∵，∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质：等式性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式3】（2024·广东佛山·一模）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边同时加上相等的数或式子,两边依然相等；等式两边同时乘（或除）相等的数或式子,两边依然相等；等式两边同时乘方（或开方）,两边依然相等． 【例4】（2024·广东江门·三模）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质解方程即可求解． 【详解】解： 系数化为，两边同时除以得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质解方程的运算是解题的关键． 【变式4】（2024·广东中山·一模）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A不符合题意； B、由于，若，则成立，故B符合题意； C、若，当时，不成立，故C不符合题意； D、若，则，故D符合题意； 故选：BD． 【及时巩固】 1．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 2．（2024·广东广州·二模）已知是关于x的方程的根，则常数k的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了方程的解，解一元二次方程． 先将代入求出关于k的一元二次方程，再因式分解法求解即可． 【详解】∵是关于x的方程的根， ∴， 即， 解得， 故答案为：0或1． 3．（2024·广东佛山·一模）已知方程■中被方块“■”盖住的是一个常数、若此方程的解为．这个常数应该是（  ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，设这个常数为a，把代入方程得出，再求出a即可． 【详解】解：设这个常数为a， 将代入，得：， 解得， 故选：D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）若，则下列计算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． 【详解】解：∵， ∴，，故①②③正确， 由无法得出故④无法判断， 故选：C 5．（2024·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：解：A、由5，得，原变形正确，故此选项符合题意； B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意； D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C 考点二 解一元一次方程 知识点一、解一元一次方程步骤 【基本思路】通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 【例1】（2024·广东·一模）解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． 利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， ∴原方程的解为：． 【变式1】（2024·广东广州·一模）解一元一次方程：． 【答案】x＝﹣4 【分析】依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案． 【详解】解：方程两边同时乘以6得：3x﹣2（2x﹣1）＝6， 去括号得：3x﹣4x+2＝6， 移项得：3x﹣4x＝6﹣2， 合并同类项得：﹣x＝4， 系数化为1得：x＝﹣4． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【例2】（2024·广东东莞·一模）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先找分母的最简公分母，将方程两边同时乘以最简公分母约去分母，然后去括号，移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项及合并同类项，得： 系数化为1，得： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项及合并同类项得： 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法． 【变式2】（2024·广东广州·一模）解方程： 【答案】 【分析】方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】原方程可化为： ∴ ∴ ∴ 故原方程的解为： 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 【例3】（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 【变式3】（2025·广东汕头·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将代入中，即可求解． 【详解】解：将代入中，得， ， 故答案为：． 【例4】（2024·广东·一模）已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出第二个方程的解，根据相反数关系得到第一个方程的解，代入第一个方程求解即可． 【详解】解：∵ 方程 的解为 ， ∴ 方程 的解为 ， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【变式4】（2024·广东揭阳·一模）如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 先解第一个方程求出x的值，再将x代入第二个方程求解，进而得到的值． 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 解得：． 将代入，得， 即， 解得：， 所以：． 故答案为：． 【及时巩固】 1．（2024·广东广州·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解方程即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 解得：． 2．（2024·广东广州·一模）解一元一次方程： 【答案】 【分析】去括号、移项并合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 即方程的解为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤并正确解答是关键． 83．（2025·广东·一模）现规定一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的运算以及解一元一次方程，利用题中的新定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ 解得，， 故答案为：． 4．（2025·广东广州·一模）规定：时，表示两数中较大的一个，如，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查对新定义运算的理解和应用，解一元一次方程，解一元一次不等式，掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法是正确解答的关键．分两种情况，即和分别解答即可． 【详解】解∶当时， 即时，有， 解得 (不合题意，舍去)， 当时，即时，有， 解得． 故答案为∶ 5．（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则的值是． 故答案为：． 考点三 二元一次方程（组）相关概念 知识点一、二元一次方程 【概念】含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程. 【三要素】1、有且只有两个未知数；2、含有未知数的项的次数为1；3、方程两边都是整式. 【二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 知识点二、二元一次方程组 【概念】方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【二元一次方程组的解】一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【例1】（2024·广东·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组； D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）已知关于x、y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义可得，的指数都是，从而可得关于，的值，代入式子即可求解，理解二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A． 【例2】下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 逐个将x的值代入方程，求出a的值，再分别判断即可． 【详解】解：A． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； B． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； C． 将代入，得 ，解得， ∴不是关于x和a的方程的解，符合题意； D． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意． 故选C． 【变式2】（2025·广东·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解与代数式求值的结合应用，以及因式分解的能力．将已知解代入方程得到关于a和b的关系式，再通过观察所求代数式的结构特征，利用完全平方公式进行因式分解求值． 【详解】解：将代入二元一次方程，得 ． ． 故答案为：25． 【例3】（2024·广东佛山·一模）若是方程组的一个解，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组；根据题意得到的方程组，将两式相加即可求出结果． 【详解】解：根据题意得： 两式相加得：， ∴， 故选：C． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 【例4】（2024·广东中山·一模）若方程组的解也是方程的解，则k的值是（    ） A． B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键． 先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入，求解即可得到答案． 【详解】 解方程组得： 代入，得 ， 解得：， 故选：B． 【变式4】（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则的值是． 故答案为：． 【及时巩固】 1．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得：． 故选：B． 2．（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程可得，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵的一个解为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解， 以及解二元一次方程组，以及代数式求值， 先根据二元一次方程组的解得出新的二元一次方程组， 再根据加减消元法求出a，b的值，然后代入求值即可． 【详解】解：依题意得方程组， ①②得， ∴， 把代入①得； 则． 4．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 考点四 解二元一次方程组 知识点一、代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 知识点二、加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【例1】（2025·广东佛山·三模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①②，得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 【变式1】（2025·广东广州·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由①，得：③； 把③代入②，得：，解得：； 把代入③，得：； ∴方程组的解为：． 【例2】（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，掌握整体求未知数的方法是解本题的关键．得，根据得出关于n的不等式求解． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2024·广东韶关·一模）已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解． 【详解】解：①，②， ②-①得，2a+2b=2， 解得：a+b=1, 故答案为：1． 【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键． 【变式2.1】（2024·广东湛江·一模）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）利用“加减消元法”解方程组； （2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可． 【详解】（1）解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 【例3】（2024·广东深圳·一模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【变式3】（2024·广东·一模）已知关于x，y的二元一次方程的解互为相反数，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和立方根，根据方程组的解互为相反数求出，再求出的值，根据立方根的定义即可求出答案． 【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数， ∴③ 把③代入②得：， 解得， ∴， 把代入①得， 即， ∴， ∵， 即的立方根是， 故答案为：． 【变式3.1】（2024·广东韶关·一模）若关于，的二元一次方程组的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，根据题意得出关于k的不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解方程组 得：， 关于，的二元一次方程组的解为正数， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k的不等式组是解此题的关键． 【例4】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 【变式4】（2024·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解． 【答案】(1) (2)t＝或 【分析】（1 ）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值； （2 ）根据方程组的解满足方程，把方程组的解代入，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得a、b的值；然后利用换元法解该方程． 【详解】（1）由方程组的解和方程组的解相同知， ． 由①×3+②，得5x＝15．则x＝3． 将x＝3代入①，得3﹣y＝8，则y＝﹣5． ∴方程组的解为：； （2）把分别代入ax+by＝2和5x+2y＝b可得方程组， 解得：， 设at﹣b＝n，则方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可变为n2+2n﹣3＝0， ∴（n+3）（n﹣1）＝0， ∴n＝﹣3或1， ∴at﹣b＝﹣3或1， 把代入得：9t﹣5＝﹣3或1， 解得：t＝或； 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，理解方程组解相同的含义是解决问题的关键． 【及时巩固】 1．（2024·广东·模拟预测）解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（代入消元法的应用），解题的关键是由第一个方程用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入第二个方程消元求解． 先从第一个方程变形得到，将其代入第二个方程中，把二元一次方程转化为一元一次方程，求解出的值，再将的值代入求出的值，进而得到方程组的解． 【详解】解：由，得． 将代入，得． 化简得，即． 把代入，得． 所以方程组的解为． 2．（2024·广东·模拟预测）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法，解方程组即可． 【详解】解：， ，得：，解得； 把代入①，得：，解得； ∴方程组的解为：． 3．（2024·广东·模拟预测）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由得， 解得， 将代入②得：， 解得， 方程组的解为． 4．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及方程的解的应用，解题的关键是先求出方程组的解，再代入含参方程求解． 先通过代入消元法解已知方程组，得到、的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：， 由得代入，得， 解得． 把代入，得． 代入方程，得，解得． 5．（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到______； 第3步，解得______； 第4步，即可求出方程组的解． 请你完成上面的填空． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是按照加减消元法解方程组． （1）用加减消元法，求出，将代入①求出； （2），代入中，得到，按照解一元一次方程的方法求出． 【详解】（1）， 得：③， 得：， 解得， 将代入①得：， ∴方程组的解是：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到； 第3步，解得； 第4步，即可求出方程组的解． 故答案为：；． 6．（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值． 【答案】8 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方． 将方程组中两个方程相减，得到，即，由求出，再根据幂的乘方与同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点五 一次方程（组）及其应用 知识点一、用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 【例1】（2025·广东清远·二模）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程—行程问题，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，根据题意乙走了500米花的时间等于甲走米的时间，然后列方程即可． 【详解】解：设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么有 故选：A． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶和1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶和5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据5个大桶和1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶和5个小桶可以盛酒2斛．进行列方程组，即可作答． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛， ∴根据题意，可列方程组为， 故选：A． 【例2】（2025·广东深圳·三模）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有人，男生有人．根据题意，所列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，列出正确的二元一次方程组是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，男女生总人数为人， ∴， 又∵女生平均每人捐本，男生平均每人捐本，共捐本书， 则有：， ∴可列方程组：． 故选：A． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱，根据上述信息，列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 【例3】（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 【答案】一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程． 通过设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，利用A型车与B型车进货价格的关系以及购买一定数量两种车型的总花费，建立一元一次方程来求解． 【详解】解：设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，因为A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，所以一台A型新能源汽车的进货价格是万元． 根据题意可得方程：， 解得：， 则型车进货价格为（万元）． 答：一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条． (1)当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条； (2)升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？ 【答案】(1)A制程生产线有25条，B制程生产线有15条； (2)完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条，根据完成升级后该企业共获145万元补贴，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即有A制程生产线的数量），再将其代入中，即可求出有B制程生产线的数量； （2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元，根据用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条， 根据题意得：， 解得：， ∴（条）． 答：A制程生产线有25条，B制程生产线有15条； （2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元）． 答：完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金． 【例4】（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1)型风扇购进75台，则型风扇购进25台 (2)型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；找出等量关系式是解题的关键． （1）设型风扇购进台，则型风扇购进台，列出方程，即可求解． （2）设总利润为元，列出关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设型风扇购进台，则型风扇购进台， 由题意，得， 解得， 则型风扇购进台． 答：型风扇购进75台，则型风扇购进25台； （2）解：∵型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴（元）． ∴型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元． 【变式4】（2025·广东·三模）某社区组织垃圾分类活动，准备购置两种不同规格的垃圾桶．大垃圾桶的进价是每个a元，小垃圾桶的进价是每个元．已知购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元． (1)求大垃圾桶每个的进价； (2)若社区计划用不超过3000元的资金购置这两种垃圾桶共50个，每个大垃圾桶的可装垃圾量为20千克，每个小垃圾桶的可装垃圾量为10千克．设购置大垃圾桶m个，总可装垃圾量为Q千克，写出Q与m的函数关系式，并求出在资金允许的范围内Q的最大值． 【答案】(1)62元 (2)；900千克 【分析】本题考查一元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程和不等式以及一次函数解析式，是解题的关键： （1）根据购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元，列出方程进行求解即可； （2）根据每个大垃圾桶的可装垃圾量为20千克，每个小垃圾桶的可装垃圾量为10千克，列出函数关系式，根据社区计划用不超过3000元的资金购置这两种垃圾桶共50个，列出不等式，求出的范围，再根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，可列方程：， 解得． 答：大垃圾桶每个的进价为62元． （2）已知购置大垃圾桶m个，则购置小垃圾桶个． 总可装垃圾量， 购置资金不超过3000元，由（1）知小垃圾桶每个的进价为（元）， ，解得， 在中，， 随m的增大而增大， 当时，Q有最大值为． 答：Q与m的函数关系式为，在资金允许的范围内Q的最大值为900千克． 【例5】（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元 (2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，根据“需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆”列出一元一次不等式组，解不等式组，即可得到租车方案；写出所有设计方案，再求出每个方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元， 由题意得， 解得． 答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元； （2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆， 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x为7或8或9， ∴有三种租车方案； 方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）； 方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）； 方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）； ∵， ∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算． 【变式5】（2025·广东清远·二模）今年1月，受国际油价影响，加油成本不断升高．某茶叶销售公司决定将公司的运输货车换装为新能源货车，换装后，公司发现运输成本降低了．销售公司需要将旗下英红5号，英红9号两款产品定期运往广州某大型超市代销，每次运输产品的箱数不变，两种商品原来的运费和现在的运费（单位：元/箱）如下表所示： 品种 英红5号 英红9号 总运费 换车前运费 9 5 2400 换车后运费 6 4 1800 (1)请分别求出每次运送的英红5号，英红9号各有多少箱？ (2)换车后，代销超市追加订单，每次运送的两种茶叶总箱数共增加200箱，但增加箱数后，每次运送英红5号的运费不能超过英红9号的运费，请问最多可以增加多少箱英红5号？ 【答案】(1)每次运输中英红5号有100箱，英红9号有300箱 (2)最多可以增加140箱英红5号 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设每次运输的中英红5号有箱，英红9号有箱，由此列方程组求解即可； （2）设运送英红5号增加a箱，则英红9号增加箱，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每次运输的中英红5号有箱，英红9号有箱， 根据题意得， 解得， 每次运输中英红5号有100箱，英红9号有300箱； （2）解：设运送英红5号增加a箱，则英红9号增加箱， 根据题意得： ， 解得： ， 答，最多可以增加140箱英红5号． 【例6】（2025·广东韶关·一模）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】(1)型设备单价是元，型设备单价是元． (2)，最少购买费用是元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一次函数的应用．熟练掌握根据实际问题列方程组以及利用一次函数的性质解决最值问题是解题的关键． （1）设型设备单价为元，型设备单价为元，根据“购进台型设备和台型设备需共用元；购进台型设备和台型设备需共用元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组，进而求解和的值． （2）已知购买型设备台，因为两种设备共买台，所以型设备买了台．根据总费用 型设备费用 型设备费用，可得到与的函数关系式．再根据型设备数量不少于型设备数量的一半这一条件，确定的取值范围，最后根据函数的性质求出最少购买费用． 【详解】（1）解：设型设备单价为元，型设备单价为元，由题意得 解得， 答：型设备单价是元，型设备单价是元． （2）解：由购买型设备台得购买型设备台． 由型设备数量不少于型设备数量的一半，得 解得， ∵， ∴． 在中，，随的增大而增大． ∴当时，有最小值， （元） 综上，与的函数关系式为，最少购买费用是元． 【变式6】（2025·广东广州·二模）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了两种食品作为午餐．餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克．餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克． (1)若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午䬸选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品3包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求出，再设总热量为，得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：选用A种食品3包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得， ∴， 设总热量为，则， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最小， ∴， 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 【及时巩固】 1．（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 【答案】一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程． 通过设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，利用A型车与B型车进货价格的关系以及购买一定数量两种车型的总花费，建立一元一次方程来求解． 【详解】解：设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，因为A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，所以一台A型新能源汽车的进货价格是万元． 根据题意可得方程：， 解得：， 则型车进货价格为（万元）． 答：一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 2．（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1)型风扇购进75台，则型风扇购进25台 (2)型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；找出等量关系式是解题的关键． （1）设型风扇购进台，则型风扇购进台，列出方程，即可求解． （2）设总利润为元，列出关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设型风扇购进台，则型风扇购进台， 由题意，得， 解得， 则型风扇购进台． 答：型风扇购进75台，则型风扇购进25台； （2）解：∵型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴（元）． ∴型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元． 3．（2024·广东·模拟预测）为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 【答案】高价格的商品原价是220元，低价格的商品原价是80元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，根据按方案一买两件商品，则还差元，可列方程；根据按方案二买两件商品，则剩余元，可列方程，解方程组即可求出两种商品的原价． 【详解】解：设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元， 根据题意可得： 解方程组可得：， 答：高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元． 4．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 【答案】(1)购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元 (2)至少买乙种快餐20份 【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元； （2）解：设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份， 依题意得：， 解得：． 答：至少买乙种快餐20份． 5．（2024·广东·模拟预测）某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 【答案】(1)这个花圃的长为10米，宽为8米 (2)购进A种树苗棵， B种树苗棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论． （2）设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据购进A，B两种树苗共17棵，刚好用去1220元列出二元一次方程组，求解方程组即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得：， 整理，得： 解得． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个花圃的长为10米，宽为8米． （2）解：设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据题意得： ， 解得， 答：购进A种树苗棵， B种树苗棵． 课后练习（一） 1．（2024·广东·二模）某品牌商品，按标价的九折出售，仍可获得的利润．若该商品标价为120元，那么商品的进价为（     ） A．100元 B．110元 C．90元 D．80元 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决利润问题，解题的关键是找准等量关系． 设商品的进价为元，根据利润列出方程求解即可． 【详解】解：设商品的进价为元，根据题意得， ， 解得， 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．方程左右两边同乘以，即可求出解． 【详解】解：方程， 系数化为1得：． 故选：B． 3．（2025·广东梅州·二模）某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设该服装每件的标价是x元，根据利润售价进价，列出方程即可．解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：设该服装每件的标价是x元，根据题意得： ， 故选：A． 4．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是关键． 根据多项式次数为2的条件，确定各项次数并建立方程组求解m和n的值． 【详解】解：∵多项式的次数为2， ∴ 解得，， 验证：代入后多项式为，次数为2，符合条件， ∴， 故选：B． 5．（2025·广东东莞·一模）二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解是． 故答案为：． 6．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】由题意得： ， 解得： ， 故答案为： 7．（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式．将方程组内两个方程相加是解题的关键． 两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式即可． 【详解】解：， ①+②得： 解得： ， ． 得：， 解得：． 故答案为：． 8．（2025·广东广州·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解方程组的方法是关键； 原方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 把②代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 9．（2025·广东清远·一模）2024年北京冬（残）奥运会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受广大观众朋友的喜爱，欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元． (1)求两种纪念品的单价． (2)某旅行团准备花12000元购买 “冰墩墩”和“雪容融”共250件，最多可以购买多少件“冰墩墩”． 【答案】(1)“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元 (2)最多可以购买133件“冰墩墩” 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用： （1）设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元，根据欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元，列出方程组进行求解即可； （2）设可以购买件“冰墩墩”，根据题意，列出一元一次不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元， 由题意，得：，解得：； 答：“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元； （2）设可以购买件“冰墩墩”，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为：133； 答：最多可以购买133件“冰墩墩”． 课后练习（二） 1．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【答案】或19/19或 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 【详解】解：当时， ， ∴， 当时， ， 解得（舍去）或． 综上所述，x的值为或19． 故答案为：或19． 2．（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式是解题的关键． 加减消元法解二元一次方程组，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴， 解得，． 故答案为：． 3．（2025·广东东莞·模拟预测）年月日是第个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品已知同类图书中每本书价格相同，购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过元，那么科技类图书最多能买多少本？ 【答案】(1)科技类图书每本元，文学类图书每本元 (2)科技类图书最多能买本 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元，列出二元一次方程组，即可解答． （2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据学校用于购买奖品的资金不超过元，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元，依题意得 ， 解得 ， 答：科技类图书每本元，文学类图书每本元. （2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，依题意得，， 整理得， ， 解得 ． 所以满足条件的最大整数为． 答：科技类图书最多能买本． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】(1)某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元 (2)，，当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． （1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在线下商店购买和在线上淘宝店购买的所需费用，再根据线下购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． （2）解：依题意得： 在线下商店购买，共需要（元）， 在线上淘宝店购买，共需要（元）， ∵线下购买方式更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 5．（2024·广东揭阳·模拟预测）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据新定义的运算得出二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据新定义运算得出不等式组，然后求解得出，再由题意求解即可． 【详解】（1）由题意得， 解得，； （2）由题意得， 解得． ∵要使恰有2个整数解， ∴， 解得． 【点睛】题目主要考查对新定义运算的理解，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 26 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次方程（组）及其应用 考点一 一元一次方程的相关概念 知识点一、一元一次方程的相关概念 【概念】只含有 个未知数（元），且未知数的次数都是 ，这样的 方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 【方程的解】能使方程两边的值 的未知数的值叫做方程的解. 【解方程】求方程的解得过程叫做解方程. 【例1】（2024·广东佛山·一模）下列式子是方程的是（       ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东河源·一模）下列式子中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【变式2】（2024·广东湛江·模拟预测）已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 知识点二、等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 等式的性质3：如果a=b，则 （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则 （传递性） 【例3】（2024·广东云浮·一模）下列等式变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（2024·广东佛山·一模）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例4】（2024·广东江门·三模）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·广东中山·一模）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【及时巩固】 1．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 2．（2024·广东广州·二模）已知是关于x的方程的根，则常数k的值为 ． 3．（2024·广东佛山·一模）已知方程■中被方块“■”盖住的是一个常数、若此方程的解为．这个常数应该是（  ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2025·广东广州·模拟预测）若，则下列计算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 考点二 解一元一次方程 知识点一、解一元一次方程步骤 【基本思路】通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 【例1】（2024·广东·一模）解方程： ． 【变式1】（2024·广东广州·一模）解一元一次方程：． 【例2】（2024·广东东莞·一模）解方程： (1) (2) 【变式2】（2024·广东广州·一模）解方程： 【例3】（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【变式3】（2025·广东汕头·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 【例4】（2024·广东·一模）已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 【变式4】（2024·广东揭阳·一模）如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 【及时巩固】 1．（2024·广东广州·一模）解方程：． 2．（2024·广东广州·一模）解一元一次方程： 3．（2025·广东·一模）现规定一种新运算：，若，则 ． 4．（2025·广东广州·一模）规定：时，表示两数中较大的一个，如，则方程的解为 ． 5．（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 考点三 二元一次方程（组）相关概念 知识点一、二元一次方程 【概念】含有 个未知数，并且未知数的项的次数都是 ，像这样的 方程叫做二元一次方程. 【三要素】1、有且只有两个未知数；2、含有未知数的项的次数为1；3、方程两边都是整式. 【二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 知识点二、二元一次方程组 【概念】方程组有 个未知数，每个含有未知数的项的次数都是 ，并且一共有 个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【二元一次方程组的解】一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解. 【例1】（2024·广东·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）已知关于x、y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【例2】下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【例3】（2024·广东佛山·一模）若是方程组的一个解，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式3】（2025·广东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【例4】（2024·广东中山·一模）若方程组的解也是方程的解，则k的值是（    ） A． B．10 C． D． 【变式4】（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【及时巩固】 1．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ． 3．（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值． 4．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 考点四 解二元一次方程组 知识点一、代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用 的式子表示出来，再 另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 知识点二、加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数 或 时，把这两个方程的两边分别 或 ，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【例1】（2025·广东佛山·三模）解方程组：． 【变式1】（2025·广东广州·二模）解方程组：． 【例2】（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 【变式2】（2024·广东韶关·一模）已知，，则的值为 ． 【变式2.1】（2024·广东湛江·一模）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【例3】（2024·广东深圳·一模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（2024·广东·一模）已知关于x，y的二元一次方程的解互为相反数，则的立方根是 ． 【变式3.1】（2024·广东韶关·一模）若关于，的二元一次方程组的解为正数，则的取值范围为 ． 【例4】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【变式4】（2024·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解． 【及时巩固】 1．（2024·广东·模拟预测）解二元一次方程组：． 2．（2024·广东·模拟预测）解方程组： 3．（2024·广东·模拟预测）解方程组： 4．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 5．（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到______； 第3步，解得______； 第4步，即可求出方程组的解． 请你完成上面的填空． 6．（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值． 考点五 一次方程（组）及其应用 知识点一、用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 【例1】（2025·广东清远·二模）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶和1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶和5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东深圳·三模）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有人，男生有人．根据题意，所列方程组为（　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱，根据上述信息，列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条． (1)当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条； (2)升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？ 【例4】（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 【变式4】（2025·广东·三模）某社区组织垃圾分类活动，准备购置两种不同规格的垃圾桶．大垃圾桶的进价是每个a元，小垃圾桶的进价是每个元．已知购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元． (1)求大垃圾桶每个的进价； (2)若社区计划用不超过3000元的资金购置这两种垃圾桶共50个，每个大垃圾桶的可装垃圾量为20千克，每个小垃圾桶的可装垃圾量为10千克．设购置大垃圾桶m个，总可装垃圾量为Q千克，写出Q与m的函数关系式，并求出在资金允许的范围内Q的最大值． 【例5】（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【变式5】（2025·广东清远·二模）今年1月，受国际油价影响，加油成本不断升高．某茶叶销售公司决定将公司的运输货车换装为新能源货车，换装后，公司发现运输成本降低了．销售公司需要将旗下英红5号，英红9号两款产品定期运往广州某大型超市代销，每次运输产品的箱数不变，两种商品原来的运费和现在的运费（单位：元/箱）如下表所示： 品种 英红5号 英红9号 总运费 换车前运费 9 5 2400 换车后运费 6 4 1800 (1)请分别求出每次运送的英红5号，英红9号各有多少箱？ (2)换车后，代销超市追加订单，每次运送的两种茶叶总箱数共增加200箱，但增加箱数后，每次运送英红5号的运费不能超过英红9号的运费，请问最多可以增加多少箱英红5号？ 【例6】（2025·广东韶关·一模）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【变式6】（2025·广东广州·二模）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了两种食品作为午餐．餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克．餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克． (1)若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午䬸选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【及时巩固】 1．（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 2．（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 3．（2024·广东·模拟预测）为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 4．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 5．（2024·广东·模拟预测）某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 课后练习（一） 1．（2024·广东·二模）某品牌商品，按标价的九折出售，仍可获得的利润．若该商品标价为120元，那么商品的进价为（     ） A．100元 B．110元 C．90元 D．80元 2．（2024·广东·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东梅州·二模）某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 4．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（2025·广东东莞·一模）二元一次方程组的解为 ． 6．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 7．（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ． 8．（2025·广东广州·二模）解方程组：． 9．（2025·广东清远·一模）2024年北京冬（残）奥运会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受广大观众朋友的喜爱，欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元． (1)求两种纪念品的单价． (2)某旅行团准备花12000元购买 “冰墩墩”和“雪容融”共250件，最多可以购买多少件“冰墩墩”． 课后练习（二） 1．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 2．（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ． 3．（2025·广东东莞·模拟预测）年月日是第个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品已知同类图书中每本书价格相同，购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过元，那么科技类图书最多能买多少本？ 4．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 5．（2024·广东揭阳·模拟预测）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $