2.1 一元一次方程与二元一次方程(组)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（人教版）

(2)2-b2-8a+12b-20 -d2-8a+16-(b2-12b+36) =(a-4)2-(b-6)2 =(a-4+b-6)(a-4-b+6) =(a+b-10)(a-b+2) :已知a+b=10+V2,a-b=V2-2 .原式=(a+b-10)(a-b+2)=V2×V2=2. 2)解：合8学石 (2)解：猜想第n个等式是 1 n+1(n+2)2-1× (n+2)(n+3)-n+2 n. n+1 (3)证明：等式左边= n+3 3 (n+1)(n+3)(n+1)(n+3) ×n+2)(+3)=,n+3-3,、xn+2)n+3)-n+2=右边 (n+1)(n+3) n+l “.左边=右边， .等式成立 23.解：(1)由图2知，阴影部分正方形的边长 为a-b,故答案为a-b. (2)大正方形的面积为(a+b)2, 小正方形的面积为(a-b)2, 长方形的面积为ab, 由图2，可知大正方形的面积减去4个长方形的 面积等于小正方形的面积， ∴.(a+b)2-(a-b)2=4ab, 故答案为(a+b)2-(a-b)2=4ab. (3)由(2)可得(x+y)2-(x-y)2=4y, (x+y)2=28,xy=3,28-(x-y)2=4x3,∴(x-y2=16, .x>y,.x-y>0,.x-y=4, 故答案为4. (4)设A0=0B=a,D0=0C=b, :AC=20,.a+b=20,∴.(a+b)2=400, 即a2+b2+2ab=400, .AC⊥BD,·.∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°， :无人机和机器人表演区域的面积和为84m2, b+3b-h=84,2ab=168. 1 ∵.2+b2=400-168=232 主舞台和观众区的面积和为+号》广号(G+的) 2 =116(m2). 35 参考答案 专题二方程与不等式 .1一元一次方程与二元一次方程（组） 【例】解：(1)2-1_-2=1， 36 去分母，得2(2x-1)-(x-2)=6, 去括号，得4x-2-x+2=6, 合并同类项，得3x=6, 解得x=2. (2) x-y=1,① 2x+3y=7,② 由①x3+②，得5x=10,解得x=2. 将x=2代人①，得2-y=1,解得y=1. x=2, .原方程组的解为 y=1. 一、选择题 1.D2.B3.C4.D5.D6.C7.B8.C 9.D10.C 二、填空题 11.412.y=2x-313.214.-115.3 三、解答题 16.解：(1)2x+3(x-1)=2, 去括号，得2+3x-3=2, 合并同类项，得5x=5, 解得=1. (2)-2=1-2x-1 4 3 去分母，得3(-2)=12-4(2-1)， 去括号，得3x-6=12-8+4, 合并同类项，得11x=22,解得=2. 17.解：(1) [y=2x-4,① x+y=5.② 把①代人②，得+(2x-4)=5,x=3. 把=3代人①，得y=2×3-4,=2. x=3, .这个方程组的解是 y=2. 4x+y=15,① (2) -4x+3y=13,② ①+②，得4y=28,解得y=7, 将y=7代入①，得4x+7=15,解得x=2, x=2, .这个方程组的解是 y=7. 18解：（山方程组化简，得+2=1，① 2x+y=13.② 数学 九年级下册（人教版） ①x2,得2x+4y=22.③ ③-②，得4y-y=22-13,=3. 把y=3代人①，得x+6=11,=5. ! x=5, .这个方程组的解是 y=3. (2)方程组化简，得 |5x+y=36,① -x+9y=2.② ②x5,得-5x+45y=10.③ ①+③，得46y=46,y=1. 把y=1代入①，得5x+1=36,=7. ÷这个方程组的解是=7， y=1. 19.解：(1)加减；一元一次方程。 (2)由①，得x=11-y,③ 把③代入②，得2(11-y)-y=7,解得=5， 将y=5代入③，得x=11-5=6. .该方程组的解为 x=6, y=5. 20.解：解方程2-3=1-2x,得x=1. :方程2x-3=1-2x与关于x的方程5k-+多=2的 123 解相同， 将1代入号行+管2中，得 分了2，解得=号的值是号 21.解：(1)x※y=x2-2xy, .1※(-3)=12-2×1×(-3)=1-(-6)=1+6=7. (2)2※(t+1)=8,22-2x2(t+1)=8, 解得t仁-2， ∴.(1-t)※t =[1-(-2)]※(-2) =3※(-2) =32-2×3×(-2) =21. 22解：把3.代人②，得-12-b=-1,解得 =-1 b=-1, 把5代人①.得5+20=15，解得a=-1. ly=4 ∴d22+(-b)20-=(-1)22+120m-1+1=2. 23.解：(1)当x=1时，1-y=-1,即y=2≠-1； 当x=-1时，-1-y=-1,即y=0: 36 当x=3时，3-y=-1,即y=4≠2， 点F(-1,0)在方程x-y=-1的图象上. 故答案为F (2)①观察图象，可知两条直线的交点为(1,2)， 2x+y=4, [x=1, ·.二元一次方程组 的解是 x-y=-1 y=2 x=1, 故答案为 y=2. ②存在.理由：如图，有5a2x2-2x1x1-号× 2-2x12=号，Samr3×21M=AM. 5amr2am,AM=2x号-3. A(2,0) .点M的坐标为(-1,0)或(5,0). -4-3引-2i11 1 23 第23题答图 3x+2y=m+1, (3)关于x,y的方程组 的解为坐标 2x+y=m-1 点在方程x-y=2的图象上， 3x+2y=m+1, 解 得-3， 2x+y=m-1, y=-m+5 ∴x-y=m-3-(-m+5)=2m-8=2,解得m=5.故答案为5. 2.2分式方程 【例】解：2x+1=3 x2+2-x 方程两边同时乘(x-2),得2x-1=3(x-2). 去括号，得2x-1=3x-6,解得x=5, 检验，把x=5代入x-2≠0， .分式方程的解为=5. 一、选择题 1.B2.D3.C4.C5.D6.D7.A8.A口数学 九年级下册（人教版） 专题二 方程与不等式 学习路径回顾 设未知数，根据相等关系或不等 关系列方程（组）或不等式（组） 实际问题 方程（组）或 不等式（组） 抽象为数学模型 解方程（组） 或不等式（组） 回归于实际问题 实际问题的答案 检验 解或解集 2.1 一元一次方程与二元一次方程（组） 例题点拨Q素养导向 s多s 【例】（02名=1：2) x-y=1, 2x+3y=7. 【点拨】(1)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求出解.(2)本 题既可用带入消元法，也可用加减消元法 专项测试坤拓展提升 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.下列各式中，是方程的是() A.1+2t B.2x<5 C.4+3=7 D.1-2m=0 36 方程与不等式 专题二 2.下列各式中是一元一次方程的是() A.2x-3y=4 B.4x-8=0 C.2=6 D.3x2-7x=11 3.下列变形中，错误的是() A.由x=y,得x+5=y+5 B.由m=n,得m-2=n-2 C.由mx=my,得x=y D由=6，得 4.解方程}兮1时，去分母正确的是（) A.1-(x-1)=1 B.3-2(x-1)=1 C.2-3(x-1)=6 D.3-2(x-1)=6 5.对于方程2(2x-1)-(x-3)=1,去括号正确的是() A.4x-1-x-3=1B.4x-1-x+3=1C.4x-2-x-3=1 D.4x-2-x+3=1 6.下列各式是二元一次方程的是() A.x2-2y=3 B.x-2=3 C.5x+y=3 D.x+2y 7.已知x=-1是方程-2x+y=5的解，那么y=() A.-2 B.3 C.-3 D.7 x+y=-2 8.二元一次方程组 的解是（) 2x-y=2 x=0, 1x=2, x=0, x=-2, A. C. D. y=2 y=0 y=-2 y=0 9.给出下面四个方程及其变形：①4(x+2)=0变形为x+2=0:②x+7=5-3x变形为4x=-2; ③子-3变形为2x=15:④8x=7变形为x多其中变形正确的是( A.①③④ B.①②④ C.③④② D.①②3 10.《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程 (组)解的问题.例如：方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地，方程2x+3y=21的 正整数解的个数是(） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.若关于x的方程x+a=5的解为x=1,则a= 12.把代数式2x-y=3改写成用含x的式子表示y的形式是 2x+y=7, 13.已知方程组 则x-y的值是 x+2y=5, 14.已知m-n-2+(m+n)2=0,则mn= 37 口数学 九年级下册（人教版） 15.幻方，中国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”.如图所示的 幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 5 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤 第15题图 或推理过程)》 16.(8分)解方程： (1)2x+3(x-1)=2; (2)-2=1-2x-1 4 3 17.(8分)按要求解方程组： y=2x-4, 4x+y=15, (1)(用代入法) (2) (用加减法) x+y=5; -4x+3y=13. 18.(10分)解方程组： (1) (2) 梦+写=6，① 2(x-1)=13-(y+2); 4(x+y)-5(x-y)=2.② 38 方程与不等式 专题二 x+y=11,① 19.(8分)课堂上老师布置了一道题目：解方程组 2x-y=7.② (1)小组讨论时，发现有同学这么做： ①+②，得3x=18,解得x=6. 把x=6代入①， 该同学解这个方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化 为 (2)请你用另一种方法解这个方程组. 20.(8分)已知k是常数，如果方程2x-3=1-2x与关于x的方程5k七+x=2的解相同， 12 3 求k的值. 21.(8分)规定一种运算法则：x※y=x2-2xy. 例如：(-2)※1=(-2)2-2×(-2)x1=8. (1)求1※(-3)的值. (2)若2※(t+1)=8,求(1-t)※t的值： 39 口数学 九年级下册（人教版） ax+5y=15,① 22.(12分)甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a解得 4x+by=-11,② x=-3, 乙看错了方程②中的6，解得：=5 求a22+(-b)223的值. y=-1, y=4, 23.(13分)【教材再现】 人教版七年级下册教材P115中曾探究过“以方程x-y=0的解为坐标(x的值为横坐标， y的值为纵坐标)的点的特性”.一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做 这个方程的图象.在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线： 如图，我们在画方程2x+y=4的图象时，可以取点A(2,0)和B(0,4)作出直线AB. 在画方程x-y=-1的图象时，可以取点C(0,1)和D(1,2)作出直线CD. 【解决问题】 (1)已知点E(1,-1),F(-1,0),G(3,2),则在方程x-y=-1的图象上的点是 (填“E”,“F”或“G”) (2)请根据这两个二元一次方程的图象，回答下列问题. 2x+y=4, ①二元一次方程组 的解是 x-y=-1 ②在x轴上是否存在点M,使以A,D,M三点为顶点的三角形的面积为△ACD面积的 2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【拓展延伸】 3x+2y=m+1, (3)以关于x,y的方程组 的解为坐标的点在方程x-y=2的图象上.则 2x+y=m-1 m= 5432410 345 第23题图 40