精品解析：湖北随州市2026届高三三月（二模）统考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由及 ， 得：. 2. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以向量对应的复数为． 3. 一批零件共有10个，其中有4个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从10个零件中随机抽取3个零件的试验有个基本事件， 恰好有1件不合格的事件有个基本事件，所以. 4. 已知等差数列前n项和为，若，则＝（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，，则. 5. 在的展开式中的系数为（ ） A. 280 B. 300 C. 320 D. 360 【答案】A 【解析】 【详解】含的项为， 所以的系数为. 6. 已知函数，其中，3为的极大值点．若在内有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据可得函数的单调区间，再根据3为的极大值点可确定的值，然后由极小值点在区间内，可求的取值范围. 【详解】，由于，则， 所以由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 故是的极大值点，故， 是的极小值点. 若在内有最小值， 只需即可，解得，因此选D． 7. 已知抛物线E：，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的四边形的面积为（ ） A. 43 B. C. D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】可知焦点为，直线，直线，分别与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线定义求出，即可得四边形面积. 【详解】由题意可知：抛物线E：的焦点为， 由题意可知：直线，直线， 联立方程，消去y可得， 则，可得； 联立方程，消去y可得， 则，可得； 所以四边形的面积为． 8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】小球与圆锥容器侧面和底面的接触面分别为圆台的侧面和圆，求出圆台半径和母线以及圆的半径，结合圆台的侧面积公式求出. 【详解】设小球的半径为r，所以小球的表面积为，所以， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示，其中分别为切点， 因为小球的半径，， 所以， 又△AFE，△AGD都是等边三角形，所以， 则圆台的上、下底面圆的半径分别为， 母线长，所以圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为， 其面积为， 综上，圆锥内壁上小球能接触到的总面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，则（ ） A. 点关于点O的对称点为 B. A，B两点间的距离为 C. 若向量平行于向量，则的值为0 D. 若C为线段AB上靠近点A的三等分点，则点C的广义坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解判断A；根据向量的数量积求解判断B；按照或是，和与都不为两种情况讨论，利用向量的线性运算求解判断C；结合题干新定义，利用向量的线性运算求解判断D. 【详解】对于A，，设关于点O的对称点为， 则，因为不共线，所以，A正确； 对于B，因为， 所以， 当向量是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为， 否则距离不为，B错误； 对于C，当或是时，；当与都不为时， 设，有， 即，所以，C正确； 对于D，， 所以线段AB上靠近点A的三等分点C的广义坐标为，D错误． 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，若，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】从面积条件出发，结合正弦定理、余弦定理及三角恒等变换，推导出边角关系，进而逐一验证各选项即可. 【详解】对于A，由题意得，即， 由正弦定理可得，即，故A正确． 对于B，因为，且，即， 则， 两边同时乘以2得， 即， 由正弦定理可得，故B正确； 对于C，，，因为， 则当时，取得最大值为1， 但是由，即，则， 此时，不满足题意，故C错误； 对于D，由余弦定理得，且， 则有， 所以， 其中，则可得的最大值为，故D正确． 11. P为椭圆（a＞b＞0）上一点，为的左、右焦点，在△中，若，则（ ） A. 的离心率为 B. 若△为直角三角形，则这样的P点有8个 C. 延长交于点Q，若，则与的内切圆半径之比为 D. △的内心为I，直线PI与x轴相交于点M，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根据正弦定理进行边角转化，结合椭圆离心率公式进行求解判断即可；B：根据椭圆中张角最大值性质进行判断即可；C：根据三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、三角形面积公式进行运算判断即可；D：根据三角形内角平分线性质，结合分式的性质进行运算判断即可. 【详解】A：在△中，由 ， 由正弦定理得，A正确； B：当P为上下顶点时，由上可知，所以此时为等边三角形， 所以有最大值，故这样点P有4个，使得为直角三角形，B错误； C：设和的内切圆半径分别为， ，， 因为，所以 所以与的内切圆的半径之比为，C正确； D：由角平分线性质定理， ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】将展开，将切化弦，然后联立方程组求解. 【详解】已知，则． 因为，则， 所以， 代入上式可得， 解得，， 则． 13. 已知圆O：，直线，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算得出点的轨迹方程，再求圆上动点到定直线的距离的最值即可. 【详解】设，由有， 所以得， 又点P在圆O上，所以，即， 所以点Q在以为圆心，5为半径的圆上， 因为圆心到直线的距离为， 所以点Q到直线的距离的最大值为：． 14. 定义集合，例如：若，则，，．把集合中满足条件元素组成的集合记为，即．已知集合，则中的元素个数为______． 【答案】56 【解析】 【分析】将问题转化为方程的正整数解的个数问题，再利用“隔板法”求解. 【详解】由题中的元素满足，且， 利用组合数公式，将问题转化为将9个相同的小球放入6个不同的盒子中，每个盒子中球的个数分别是，因，则任意的最大值为， 该解集中的均满足,因此问题可等价转化为方程的正整数解的个数问题， 应用隔板法，即有种分法,即中有个元素. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2024年中央一号文件提出“发展乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道”．某山区县依托生态资源，大力发展高山云雾茶种植．该县农业农村局统计了2023年1月至12月某品牌高山茶的月销售量（单位：吨），数据如下： 月份（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月销售（吨） 4.0 5.2 6.5 7.8 9.0 10.3 11.5 12.8 13.0 12.5 11.0 9.5 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数判断与是否具有较强的线性相关关系（结果精确到）（若，则认为与的线性相关性很强）； （2）求关于的线性回归方程（结果精确到0.1）． 参考数据：， 参考公式： 【答案】（1）与具有较强的线性相关性 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件代入公式计算相关系数，判断相关性；（2）代入计算，，求回归方程. 【小问1详解】 根据已知得， 因为， 所以y与x具有较强的线性相关性． 【小问2详解】 ， ， 故线性回归方程为： 16. 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，确定函数的单调区间. （2）①问题转化为在上有变号零点，再结合零点的存在性判断定理求的取值范围. ②方法一：先判断是在上的极小值点，由证明结论； 方法二：先得，设，结合在上的单调性证明结论. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得． 即在上单调递增，上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点． 令，即在上有变号零点． 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时，上恒成立， 所以在上单调递增， 令，解得， ②此时在上有唯一零点． 在上单调递增， 故当时，，即； 当时，，即， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点. 方法一： 由上分析，，又，故． 方法二： 因，由，可得， 则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 17. 在三棱锥中，，，D为CA中点，点E在DB上，． （1）若二面角的余弦值为，，求证：平面； （2）若，平面．设点B到的距离为a，到平面的距离为b，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知二面角的平面角为，利用余弦定理整理可得，进而可证平面，可得，进而可证平面； （2）设，，建系并交点，利用空间向量求，进而可得，结合不等式性质运算求解即可. 【小问1详解】 因为，D为AC的中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得：， 由勾股定理可得，则， 且，平面，则平面， 又因平面，则， 且，平面，所以平面． 【小问2详解】 设，， 以S为原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 所以， 整理可得； 又因为，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则 可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 18. 中心在原点，焦点在轴上的等轴双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1．过轴正半轴上一点且斜率存在的直线交双曲线的右支于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若为双曲线的右焦点，且，且，求直线的斜率的取值范围； （3）直线分别和双曲线的两条渐近线交于两点，且在直线上从上到下顺次排列．设为坐标原点，若，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程求解，进而得到双曲线标准方程； （2）设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，因为直线交双曲线右支于两点，所以利用韦达定理得到两根之和与两根之积，同时结合判别式大于0、两根都大于0的条件列出不等式组，由，结合线段长度的坐标表示，得到与的关系，再根据求解直线l的斜率的取值范围； （3）由 及三角形内角关系推出，由及垂直得，设直线 ，联立双曲线与渐近线，得与中点相同，从而 ，在直角中，由及渐近线垂直，得，结合长度关系得，直线的倾斜角为，故得答案. 【小问1详解】 设等轴双曲线C的标准方程为， 顶点为，渐近线方程为，顶点到一条渐近线的距离， 解得，故所求双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 设直线， 又，所以，，且， 由题意知，解得， ，， 由，则，故， 即，又，解得， 又直线l的斜率，则，故． 【小问3详解】 依题意作图如下： 由， 知．又，所以． 设直线，， ，联立得， 即，再将直线与直线及直线分别联立， 得，．所以， 因此线段有相同的中点，故． 因为，故由射影定理，有， 所以．于是直线的斜率． 19. 已知数列和，为数列的前n项和，，且，． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由和解出对应的，再代入即可； （2）利用得出，化简得，则有为等比数列，进而可得到通项公式； （3）构造函数证明在上成立，以此放缩为等比数列，再求和即可得到所求不等式. 【小问1详解】 由，，得，故， 由，，得，故 【小问2详解】 由， 得，又， 所以 两边同时乘以得， 由得，即， 于是，又得， 所以，所以， 经验证也符合，所以； 【小问3详解】 构造函数，则， 所以在单调递减，且，， 由零点存在定理，存在唯一的，使得， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以 所以当时，， 所以当时，， 所以当时，， 当时，． 当n＝1，n＝2时，不等式成立； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 3. 一批零件共有10个，其中有4个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列前n项和为，若，则＝（ ） A. B. C. 1 D. 5. 在的展开式中的系数为（ ） A 280 B. 300 C. 320 D. 360 6. 已知函数，其中，3为的极大值点．若在内有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线E：，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的四边形的面积为（ ） A. 43 B. C. D. 42 8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，则（ ） A. 点关于点O的对称点为 B. A，B两点间的距离为 C. 若向量平行于向量，则的值为0 D. 若C为线段AB上靠近点A的三等分点，则点C的广义坐标为 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，若，则（ ） A. B. C. 最大值为1 D. 的最大值为 11. P为椭圆（a＞b＞0）上一点，为的左、右焦点，在△中，若，则（ ） A. 的离心率为 B. 若△为直角三角形，则这样的P点有8个 C. 延长交于点Q，若，则与的内切圆半径之比为 D. △的内心为I，直线PI与x轴相交于点M，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则＝______． 13. 已知圆O：，直线，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为______． 14. 定义集合，例如：若，则，，．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即．已知集合，则中的元素个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2024年中央一号文件提出“发展乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道”．某山区县依托生态资源，大力发展高山云雾茶种植．该县农业农村局统计了2023年1月至12月某品牌高山茶的月销售量（单位：吨），数据如下： 月份（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月销售（吨） 4.0 5.2 6.5 7.8 9.0 10.3 115 12.8 13.0 12.5 11.0 9.5 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与关系，请用相关系数判断与是否具有较强的线性相关关系（结果精确到）（若，则认为与的线性相关性很强）； （2）求关于的线性回归方程（结果精确到0.1）． 参考数据：， 参考公式： 16. 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 17. 在三棱锥中，，，DCA中点，点E在DB上，． （1）若二面角的余弦值为，，求证：平面； （2）若，平面．设点B到的距离为a，到平面的距离为b，求的取值范围． 18. 中心在原点，焦点在轴上的等轴双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1．过轴正半轴上一点且斜率存在的直线交双曲线的右支于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若为双曲线的右焦点，且，且，求直线的斜率的取值范围； （3）直线分别和双曲线的两条渐近线交于两点，且在直线上从上到下顺次排列．设为坐标原点，若，求直线的斜率． 19. 已知数列和，为数列的前n项和，，且，． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $