精品解析：广西钦州市第四中学2026年春季学期高一年级第一周考试数学试卷

广西钦州市第四中学2026年春季学期高一年级第一周考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 假定现在时间是12时整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则（ ） A. B. C. D. 2. 探索下图所呈现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 已知定义在R上的函数满足，，且当时，，若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（ ） A. ，（） B. ，（） C. ，（） D. ，（） 5. 挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 6. 已知是定义在上周期为2的函数，且的图象关于对称．当时，，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. －1 D. －3 8. 已知函数满足，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 2024 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若的定义域为，是奇函数，且是偶函数，则必有（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期为4的函数 C. D. 的图象关于点对称 11. 设函数满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 13. 已知奇函数的定义域为，且函数满足，当时，，则__________. 14. 已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有________． ① ② ③ ④ 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？ 16. 函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？ 17. 古希腊数学家毕达哥拉斯的故事：一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(分别标记为)，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个，才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束处罚吗？ 18. 讨论函数，画出它的图象，并观察其性质. 19. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）若时，，求当时，的解析式； （2）若函数在上单调递增，判断函数在上单调递增还是单调递减，并证明； （3）若函数的图象还关于直线对称，求证：函数是一个周期函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市第四中学2026年春季学期高一年级第一周考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 假定现在时间是12时整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由时针1小时转过30°，分针每分钟转过6°求解. 【详解】解：时针1小时转过30°，t小时转过； 分针每分钟转过6°，t小时转过， 所以， 解得． 故选：A 2. 探索下图所呈现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据探索图所呈现的规律，找出探索图的周期，进而即得. 【详解】观察题图可知每增加4个数字就重复相同的位置，而， 则2 015 至2 017箭头的方向与3至5箭头的方向是相同的. 故选：D. 3. 已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，由此证明函数的周期性，确定其周期，再利用周期性的性质确定. 【详解】函数的图象关于直线对称， 函数的图象关于直线对称， ， 取可得， ∴ 又对有， 取可得， 所以.，， ， ，即， 的周期. 故选：D. 4. 已知定义在R上的函数满足，，且当时，，若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（ ） A. ，（） B. ，（） C. ，（） D. ，（） 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与周期性作出函数图像，数形结合解决交点问题. 【详解】函数满足，，所以函数为偶函数且周期为2， 当时，，则函数图像如图所示： 若直线斜率为1，在轴上截距为，当直线过点时，， 时，当直线与曲线相切，设切点坐标为， 由，，，切点坐标为，此时， 由图像可知，时，直线与曲线恰有三个公共点， 由函数周期为2，实数a的取值的集合为，（） 故选：A 5. 挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据分针与时针的特点求解即可. 【详解】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时， 根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内， 因此从1时开始，1时到2时之间重合一次，2时到3时之间重合一次 10时到11时之间重合一次，11时到13时之间重合一次（12时），13时到14时之间重合一次. 每个小时分针与时针会重合1次， 所以一共会重合12次. 故选：B. 6. 已知是定义在上周期为2的函数，且的图象关于对称．当时，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图象关于对称，得到，再利用周期为得到，故. 【详解】因为函数的图象关于对称，所以； 令，得到 又因为是定义在上周期为的函数， 所以，所以. 故选：D. 7. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. －1 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】由变形可知原函数是周期的周期函数，利用周期化简结合函数已知的解析式即可求解. 【详解】, ,且， ，且， 又可得, ，是周期的周期函数, ,, , 故选：D 8. 已知函数满足，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出是的一个周期，利用周期性求解答案. 【详解】，， ，所以是的一个周期， 又，，， 所以. . 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据条件判断是的一个周期，再求出，，利用周期性求解. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若的定义域为，是奇函数，且是偶函数，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意得到关于中心对称，关于轴对称，点关于对称的点为可判断B正确；通过中心对称和轴对称得到可证明可判断C正确；通过的周期得到关于中心对称可判断D正确. 【详解】因为是奇函数，所以， 用替换得，所以关于中心对称， 因为是偶函数，所以， 用替换得，所以关于轴对称， 点关于对称的点为，所以，故B正确；无法确定A一定正确； 因为，，所以， 用替换得，所以， 用替换得，所以C正确； 因为的周期，由关于中心对称得关于中心对称， 因为，所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期为4的函数 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性及周期函数的求和求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且. 因为为偶函数，所以. 选项A：由，令，则， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确. 选项B：因为，即, 所以， ， 所以是周期为4的函数，故B正确. 选项C：因为函数的图象关于直线对称，所以. 因为是周期为4的奇函数，所以，. 所以一个周期内的和. 所以，故C正确. 选项D：奇函数的定义域为R，且，因此的图象关于点不对称，故D错误. 11. 设函数满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质. 【详解】令，得到，解得，故选项A正确； 令，得到，所以， 可得函数是一个偶函数，故选项B错误； 令，可得， 即， 令，则，可得是函数的一个周期， 当，可得， 即 ① 令时，可得 ② 由①+②得到， 因为，所以， 代入②得到，解得， 令，得到 即，即 又因为； 即，所以函数关于点 中心对称； 因为是函数的一个周期，所以也是函数的对称中心，故选项C错误； 由前面分析得到，所以， 所以， 因为是函数的一个周期且 所以 ，故选项D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据已知条件求出的周期，结合特殊值法，即可求解. 【详解】因为，所以，即， 又为偶函数，所以，所以， 所以，即， 综上，，即，故是以4为周期的周期函数. 由，令，得，即，所以. 由，令，得. 所以. 故答案为：0. 13. 已知奇函数的定义域为，且函数满足，当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由得到函数对称轴为，结合函数为奇函数，得到函数的最小正周期为8，所以. 【详解】因为，所以函数对称轴为， 所以，又因为函数为奇函数，所以 所以，即函数的周期为8 所以 ， 又因为函数对称轴为，所以 所以； 故答案为： 14. 已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有________． ① ② ③ ④ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用对称性、奇偶性和周期性的性质，结合与之间的关系，逐项判断即可． 【详解】因为，所以； 又因为，所以； 所以，所以④正确； 因为的图像关于直线对称， 所以，所以， 用替换可得， 所以， 所以的周期为 ，所以，所以②正确； 因为的图像关于直线对称, 所以，所以，所以是偶函数； 因为，所以； 所以，是偶函数， 所以，所以①错误； 因为，所以，所以； 因为是偶函数，所以； 因为的周期为，所以； 因为，所以； 所以，所以③正确； 故答案为：②③④. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？ 【答案】1920升 【解析】 【分析】先判断出水车转到的周期，即可计算出1小时内最多盛水量. 【详解】因为1小时分钟分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水（升，）所以水车1小时内最多盛水（升）． 16. 函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？ 【答案】不是 【解析】 【分析】根据函数周期性的定义可得出结论. 【详解】解：根据题意，函数满足， 但对于且，， 故函数不是以为周期的函数. 17. 古希腊数学家毕达哥拉斯的故事：一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(分别标记为)，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个，才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束处罚吗？ 【答案】第1 999个数的那根柱子标号为 【解析】 【分析】通过所给的数据找出周期，根据周期推理即可. 【详解】 易知从“A”开始数，周期为12，而， 所以标号为G的柱子就是数到第1 999个数的那根柱子， 故答案为：第1 999个数的那根柱子标号为. 18. 讨论函数，画出它的图象，并观察其性质. 【答案】 函数是指一个数减去不超过这个数的最大整数. 由于，所以，它的图象如图： 观察图，可以得到，对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变. 这种变化是重复进行的，所以该函数变化也是一种周期变化， 故函数为定义域为R且周期为1的函数，值域为，在区间上为增函数， 这个函数是物理中很有用的锯齿波函数. 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，观察图象即可得到周期性等. 【详解】略. 19. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）若时，，求当时，的解析式； （2）若函数在上单调递增，判断函数在上单调递增还是单调递减，并证明； （3）若函数的图象还关于直线对称，求证：函数是一个周期函数. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 证明：设，则， 由函数在上单调递增，有， 所以， 因此，函数在上单调递增. （3） 证明：因为函数是奇函数， 所以对于任意，都有， 又图象关于直线对称，可得，即， 则 ，所以， 因此函数为周期函数，周期为12. 【解析】 【分析】（1）先求出的解析式，再利用奇偶性写出即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. （3）结合函数的奇偶性、对称性求解即可. 【小问1详解】 解：因为函数是定义域为的奇函数， 设，则， 则 即当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $