2024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评九年级数学二试试题

绝密★启用前 2024-2025年度世界少年奥林匹克思维能力全国总测评 (2025年1月) 选手须知： 1、本卷共10题，共计140分。 2、答题前请将自己的地区、学校、姓名、试场、活动证号码写在规定的位置。 3、测评时不能使用计算工具。 4、测评完毕时试卷、答题纸和草稿纸将被收回。 题号 三 四 五 六 七 八 九 总分 核查人 得分 九年级试题（二试) (本试卷满分140分，考试时间90分钟) 1、已知：关于x的一元二次方程mx2-6x+9=0有两个不相等的实数根。如果m取符合条件 的最大整数，且一元二次方程x2+mx-6=0与x2-m+8=0有一个相同的根，求常数n的值。（本 小题12分) 知二次函数y=-产+4x+大图像上一点(x,川，当自变量x的范围满足1-子xS1 2 时，函数)y有最大值M和最小值N,令h=M一心，是否存在实数k,使得函数)的最大值等于 2 的最小值。若存在，求出k的值：若不存在，请说明理由。（本小题12分） 九年级二试试题卷第1页 3、任意一个四位正整数m=abcd,如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数 字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为十拿九稳数”。将m的千位与十位对调、 百位与个位对阔后的图位数记为m,其中F()=“为，若P回+4a+106为整数，求满足 条件的“十拿九稳数”m的最大值。（本小题14分) 4、如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O,AD平分∠CAE交于⊙O点D,连接CD,AB, 分别延长CD、AB相交于点E,且DE=AD。(本小题14分) (2)若⊙0的半径为4，求图中阴影部分的面积： (3)在(2)的条件下，过点A作AF⊥CE,以AF、FD为边作矩形AFDM,求矩形AFDM的面 积。 B 九年级二试试题卷第2页 5、如图，在RtaABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，点E为BC上的动点，将△BDE沿DE 翻折得到△FDE,EF与AC相交于点G,若AB=3AD,AC=3,BC=6,CG=0.8,求CE的值。 (本小题14分) D B 6、图1是一种折叠式晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支 脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾农臂支架HG=FE=6分 米，且H0=F0=4分米。（参考数据：√5≈1.73） 子 H M D水平地面 图1 图2 当OB从水平状态旋转到OB(在CO延长线上)时，点E绕点F随之旋转至OB上的点E处， 求BE'。(本小题14分) 九年级二试试题卷第3页 7、甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，如图为从侧面看乒乓球台的视图，MN为球 台，EF为球网，点E为MN中点，MN=28dm,EF=l.5dm,甲从M正上方的A处击中球完成发球， 球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P,乙再接球。以MN所在直线为x 轴，M为原点做平面直角坐标系，x(dm)表示球与M的水平距离，y(dm)表示球到球台的高度，将乒乓 球看成点，两次弹起的路径均为端物线。BC段抛物线的解析式为%=一刀-(-1-12)。设CP段抛 物微线的解折式为头一-b+k. y(dm) 甲A G H乙 N x(dm) (I)当球在球网EF正上方时到达最高点，求此时球与F的距离： (2)诺球第二次的落点C在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm,乙的球拍在N处正上方如线段 GH,GH=1.5dm,HN=0.8dm,将球拍向前水平推出ndm接球，如果接住了球，直接写出n的取值范 围。（本小题14分) 8、如图，在矩形ABCD中，AB=I2cm,BC=8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时 出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上 点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动。设移动开始后第1秒时，△EFG的面积为S(Cm)。 (1)写出S和1之间的函数解析式，并指出自变量1的取值范围： (2)若点F在矩形的边BC上移动，当I为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由。（本小题14分） A 九年级二试试题卷第4页 9、如图，抛物线y=2+br+c(a<0)与x轴交于点A(4,0)、C(1,0)两点，与y轴交于点B(0,3), 点M(m.O)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线1，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，连 接AE、BE。 E E B D A M 0 (I)当∠ABE=45°时，m的值为_： 备用图 (2)在x轴上有一点F,△ABF恰好是等腰三角形，请你直接写出点F的坐标。（本小题16分) 九年级二试试题卷第5页 10、在R1△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上中线，点E为AB上一点，连接DE。 E M E B 0 D 图 图 H 图3 (I)如图1，AB=4,AC=3,点E在BD中垂线上，过点D作DF⊥DE交AC于点F,求线段DF的 长。 (2)如图2，将线段DE绕点D旋转至DG,使∠EDG+2∠B=180°，过点G作GM∥BC交AB于点M, 作GN⊥GM交BA的延长线于点N,作GH⊥GE交ED的延长线于点H,连接CH,求证：MN=2CH. (3)如图3，AB=4,∠B=45°，EJ垂直平分BD于点J,点P是射线JE上的动点，连接DP,将线 段DP绕点P逆时针旋转6O°至线段PD',点Q是线段AC上的动点，连接AD,QD,当AD'最小时，将 △AD'Q沿QD所在直线翻浙至△ABC所在平面内得到△ADQ,连接AD,C,当AD最大时，请直 接写出△CD的面积。（本小题16分） 九年级二试试题卷第6页 2024-2025年度世界少年奥林匹克思维能力全国总测评 九年级第二试答案 1、解：根据题意得△=(-6)-4×m×9>0,且m≠0， 解得m<1且m≠0： ∴m的最大整数为-1，此时方程变形为x2-x-6=0, 解得无=3，x=2, 把x=3代入2-m+8=0,得：9-3n+8=0, 解得n= 3 把x=-2代入x2-m+8=0,得：4+2n+8=0, 解得n=-6, 2、解：存在实数k,使得函数y的最大值等于h的最小值，理由如下： y=-x2+4x+k=-(x-2)+4+k, 函数的对称轴为直线x=2,y的最大值为4+k, ①当231-时.用1号 时w=--4+,N=-+好j4+, h=t-2, 此时h的最小值为，则时4+太，解得长=-子： 3 ②当1+)≤2时，即1≤ 时N=--安w=-+分4， b2-l, 此时h的最小值为分则宁4+k,解得长=一子引 5 国当12251，即251 时N=-+分习+4kM=4, ◆的最小值为安 ③当1<2s1+分即1<2 时N=-t-分4kM=4t 沾的最小值为名 由题意可得 g4+6 品 8、 综上所述：的值为- 21 3、由题意知，m=1000a+100b+10c+d,m=1000c+100d+10g+b, F间j-100a+10o6+1ac+d-160c+10d+10+l1_g90g+96-9tc-9=10o+6-1c-dn20a+2h-109 99 99 .F(m)+4a+10b+1=20a+2b-109+4a+10b+l=24a+l2b-108=12(2a+b-9), ∴VF(m)+4a+10b+1=√2(2a+b-9=2√3(2a+b-9列， :VF(m)+4a+10b+1为整数， .2a+b-9=3或2a+b-9=12, 由题意知，当a值最大时，m的值最大， 当2a+b-9=3时，最大的a值为5，此时b=2,m的最大值为5257： 当2a+b-9=12时，最大的a值为9，此时b=3,m的最大值为9316： ,5257<9316, ∴.满足条件的十拿九稳数”m的最大值为9316， 4、2、(1)连接BD,OD,过点D作DH⊥AB, :AB为直径， .∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=a, ∴.∠CAE=2a,由(1)知：△CAD∽△CEA, ∴.∠ADC=∠CAE=2a, ,四边形ABDC是圆的内接四边形， ∴.∠CAB+∠CDB=180°， 即2a+2a+90°=180°， 解得：a=22.5°，即∠D4E=22.5°. .∠D0B=45°， OD=4, ∴.S8ooE= 45 x×42=2π， 360 DH=25, a5m号40-0m4x25-45. S=SEOD+SMOD =2+4. (2)解：根据题意作图如下： 、.OHB 由(2)可知，OH=DH=22, .BG=4-25, ÷BD2=BH2+DH2=(4-22y2+(22)2=32-16V5. ∠ADB=90°， AD=AB-BD2=(4+4-32+16N5=32+162, ,∠ADC=2∠DAE=45°，AF⊥CE, .△AFD是等腰直角三角形， ∴.AF=FD, AD:=2AF. AF=AD2=16+85. 2 AF=FD. ∴.AFDM是正方形， .S=AF2=16+85. 5、解：如图. 作DH⊥BC于点H,作DT⊥AC于点T,交EF于点R,作DQ⊥EF于点Q, ·.∠BIHD=∠CHD=90°， ∠ACB=90°，.∠ACB=∠BHD, △BHD∽△BCA,B=DH_BD BC AB=3MD,BD=径B,:B明=D4=名 63 3 BH=4,DH=2,∴CH=BC-BH=2,∴CH=DH, :∠ACB=∠DHC=∠DTC=90°，∴四边形DTCH是矩形，.矩形DTCH是正方形， ∴CT=DH=2,DT∥CH,TG=CT-CG=2- 46 3=5 ARTGECG. 6 器% 3 6 CE=2x.RT=3x..DR=DT+RT=2+3x.EH =CH-CE=2-2x. 由折叠得：∠BED=∠FED,DQ=DH=2,EQ=EH=2-2x, 'DT∥CH.·∠BED=∠RDE,∴∠FED=∠RDE, ∴E=DR=2+3x,·RQ=RE-E0=(2+3x)-(2-2x)=5x, 在RtaD2R中，Rg+DQ=DR, 6+2=2+3.-}高=0（含去.CB=2x= 6、过点F作FK⊥OC于K :OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°，