精品解析：安徽六安市独山中学2025-2026学年第二学期高三年级3月份月考数学试卷

六安市独山中学2025-2026学年度第二学期高三年级 3月份月考数学试卷 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为，其中为不超过的最大整数．该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状．如图，葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为，其上肚、下肚到轴心线（轴）的距离分别为3，2，若点E，F到轴心线的距离分别为，则点与的横坐标之差为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，部分对答部分分，多选或答错不得分总计18分） 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 11. 在长方体中，，为的中点，为线段上的动点，过点且与直线垂直的平面交于点，交于点为内的动点，四点均在球的表面上，则（） A. B. 三棱锥的体积是定值 C. 球与该长方体的公共部分的体积为 D. 的周长的最小值为 三、填空题（每题5分总计15分） 12. 截至到2025年8月中旬，2025年暑期档电影总票房突破100亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满.小明将这七部电影的宣传海报（各1份）分别赠予2名男生和5名女生，每人1份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，2名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为______. 13. 若，则的值为__________. 14. 若关于的不等式有解，则的取值范围是______. 四、解答题（共77分） 15. 已知分别是锐角三个内角的对边，且，． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 16. 如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． （1）求证：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． （1）求椭圆的方程． （2）已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 18. 已知某工厂有两个车间生产某种产品，该产品的售价（元）与产品月销量（万件）间的几组数据如下： 售价（元） 1 2 3 4 5 月销量（万件） 10.9 10.2 9.0 7.8 7.1 （1）若可用线性回归模型拟合与的关系，根据表格数据，求关于的线性回归方程 （2）当该产品的售价为6元时，请估计该产品的月销量； （3）若两个车间的月产量之比为，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有3名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自车间的件数为，求的分布列和数学期望. 附：参考数据：. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）设，若存在，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安市独山中学2025-2026学年度第二学期高三年级 3月份月考数学试卷 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性解集合，解一元二次不等式得集合，最后根据集合的交集的概念可得. 【详解】可化为，解得，故， 又，故. 故选：D 2. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的乘除运算计算，然后得到其共轭复数，进而得到其对应的点的坐标. 【详解】因为复数. 所以共轭复数. 所以共轭复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B. 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理结合函数的单调性判断. 【详解】因为与均在R上单调递增，所以在R上单调递增， 又，， 所以的唯一零点在内. 故选：B. 4. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 5. 已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥的轴截面是等腰直角三角形，设出底面圆半径，然后分别求出圆锥和其外接球的体积. 【详解】由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形，那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合， 不妨设底面直径为，则圆锥的高为，外接球的半径为， 外接球的体积是，圆锥的体积为， 于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为. 故选：D． 6. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 故选：D 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用线段长度关系可求得点的坐标，代入双曲线方程化简整理可求得离心率. 【详解】如下图： 易知，所以，且为的中点， 又，所以，因此可得, 代入双曲线方程可得，整理并化简可得，即， 解得或（舍）； 因为双曲线离心率，所以. 8. 葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为，其中为不超过的最大整数．该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状．如图，葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为，其上肚、下肚到轴心线（轴）的距离分别为3，2，若点E，F到轴心线的距离分别为，则点与的横坐标之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在曲线上得出参数进而得出解析式，再代入得出点的坐标计算求解. 【详解】由题意得，点和在曲线上， 则，解得， 所以． 当时，，令，则，得， 则，解得，即； 当时，，令，则，得， 则，解得，即， 所以点与的横坐标之差为． 故选:A． 二、多选题（每题6分，部分对答部分分，多选或答错不得分总计18分） 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，列等式求出实数的值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项． 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，故A正确； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B错误； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确． 故选：ACD． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质、残差的意义、相关系数的内涵以及百分位数的计算公式逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，，， 则，故选项A正确； ∵在残差的散点图中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确； ∵，且， ∴a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故选项C错误. ，所以一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为第8个数字和第9个数字的平均值，即，D正确； 故选：ABD. 11. 在长方体中，，为的中点，为线段上的动点，过点且与直线垂直的平面交于点，交于点为内的动点，四点均在球的表面上，则（） A. B. 三棱锥的体积是定值 C. 球与该长方体的公共部分的体积为 D. 的周长的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据条件建系，设，利用向量的坐标运算求得，由求出即可判断；对于B，通过证明平面，推得点到平面的距离为定值，结合为定值，即可判断；对于C，取的中点，证明，即得为经过 四点的球面的球心，结合点的位置可得该球与长方体公共部分的体积为球体积的，计算即可判断；对于D，根据，且，可得点与点关于平面对称，故有 ，要使的周长最小，只需使取最小值，由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可判断结论. 【详解】对于A，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知，则，. 可得， 设，则. 因为平面过点与直线垂直并交于点，所以， 又，则， 化简得：，解得，即，可得，故A错误； 对于B，在长方体中，易得，因，则平面， 又因，则点到平面的距离为定值，而点的位置固定，即的面积为定值，故三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C，由，则，又在平面上的射影为， 在正方形中，，故，即点为的交点， 下面证明的中点即经过 四点的球的球心. 如图，因是的中点，则，由上分析已得， 又，则，即， 故的中点即经过 四点的球面的球心， 由图知，该球与长方体公共部分的体积为球体积的，即，故C正确； 对于D，因的周长为，因为的中点，则， 于是，依题意，只需求的最小值. 由上分析知点与点关于平面对称，为平面内的动点，则，， 因点与点在平面的两侧，故当且仅当三点共线时，取得最小值为， 此时，的周长取得最小值.故D正确. 故选：BCD 三、填空题（每题5分总计15分） 12. 截至到2025年8月中旬，2025年暑期档电影总票房突破100亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满.小明将这七部电影的宣传海报（各1份）分别赠予2名男生和5名女生，每人1份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，2名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为______. 【答案】624 【解析】 【分析】分2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片，战争历史片和国产古装片，战争历史片和类型片，国产动画片和国产古装片，国产动画片和类型片，国产古装片和类型片6种情况，分别求出每种情况数，相加可得答案. 【详解】当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片，则有种情况， 又电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，故剩余的4个人与4张宣传海报进行全排列， 有种情况，故此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产古装片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和国产古装片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产古装片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 综上，共有种情况. 故答案为：624 13. 若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 14. 若关于的不等式有解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将给定不等式分离参数得，令并探讨单调性确定值域，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】不等式， 令，而函数在上都为增函数， 则在上单调递增，其值域为R， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 依题意，不等式有解，因此，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知分别是锐角三个内角的对边，且，． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【小问1详解】 在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， 【小问2详解】 由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 16. 如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． （1）求证：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，由勾股定理证明，由线面垂直的判定定理可得证； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量即可求解；（3）设，求出平面的法向量，根据两个平面的法向量求解即可. 【小问1详解】 由题知， 由余弦定理得， ∴，∴，∴， 又，平面，， ∴平面； 【小问2详解】 如图，过作的垂线，垂足为，则， ∵四边形为等腰梯形，∴. 由（1）知，平面， ∴，又，平面，， ∴平面，∴，∴两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 故与平面夹角的正弦值为； 【小问3详解】 存在. 假设存在，设， 则， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 由题知，解得. 综上，存在点符合，且． 17. 已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． （1）求椭圆的方程． （2）已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）2． 【解析】 【分析】（1）根据点以及焦点坐标，解方程可求得椭圆的方程； （2）（i）法一：设直线的方程为，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由可得直线的斜率； 法二：设直线的方程为，联立椭圆方程可解得，同理可得，化简可知直线的斜率； 法三：由，可设直线为，不同时为0，联立直线与椭圆方程化简得，可得，即直线的斜率为定值． （ii）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知 法一：易知，当时，的面积取最大值2． 法二：由弦长公式可知，又点到直线的距离，所以，当时，的面积取最大值2． 【小问1详解】 设椭圆的方程为， 显然， 将点代入椭圆方程，即，解得或（舍去） 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （i）法一： 设直线的方程为（由对称性知存在），如下图： 联立得，化简得， 由知，则， 因为，所以，即， 化简得，因为直线不过点，所以， 故． 法二： 设直线的方程为， 联立，得，化简， 得， 由知，即，则， 又，所以， 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 同理可得， 由此可知， 则直线的斜率， 故直线的斜率为定值． 法三： 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 因为为椭圆上异于的两点， 所以可设直线为，不同时为0， 联立与， 得， 等式两边同时除以，记， 化简得， 由于，所以，说明直线的斜率为定值． （ii）设直线为， 联立与，得， 因为，所以． 由韦达定理知 法一： 过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为， ，即， 化简得． 当且仅当时，的面积取最大值2． 法二： 易知， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，的面积取最大值2． 18. 已知某工厂有两个车间生产某种产品，该产品的售价（元）与产品月销量（万件）间的几组数据如下： 售价（元） 1 2 3 4 5 月销量（万件） 10.9 10.2 9.0 7.8 7.1 （1）若可用线性回归模型拟合与的关系，根据表格数据，求关于的线性回归方程 （2）当该产品的售价为6元时，请估计该产品的月销量； （3）若两个车间的月产量之比为，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有3名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自车间的件数为，求的分布列和数学期望. 附：参考数据：. 【答案】（1） （2）6万件 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先计算和，再代入公式求出回归系数和截距，从而得到线性回归方程； （2）将代入已求得的回归方程，计算的值，得到月销量的估计值； （3）根据A、B车间产量占比确定单件产品来自A车间的概率，判断X服从二项分布，进而求出其分布列与数学期望. 【小问1详解】 由题意，可得， 则， . 故线性回归方程为 . 【小问2详解】 令，可得，所以当该产品的售价为6元时，估计该产品的月销量为6万件. 【小问3详解】 因为两个车间月产量之比为，所以每一件产品来自车间的概率为， 依题意，，的可能取值为，可得的分布列为 0 1 2 3 . 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）设，若存在，使得，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为和 （2）证明：设， 则， 因为，则，所以， 所以， 所以在上单调递增，又，所以当时，， 所以当时，， 所以，即． （3）证明：由，得， 则， 即． 由（2）知，在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以， 设，则， 所以在上单调递增，则，即， 又，所以，即． 又，所以，所以． 【解析】 【分析】（1）先对求导，再分析导数在内的正负区间，进而得到单调区间， （2）设，，再通过求导判断的单调性，结合端点值证明， （3）先对已知等式变形，结合（2）可得，再利用导数证明，由此可得，再证明结论. 【小问1详解】 由，得， 令，解得；令，解得，或， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 证明：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $