精品解析：黑龙江佳木斯市第一中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

佳一中2025-2026学年度高一学年开学考试 数学试题 时间：120分钟，总分150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题(本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的基本运算进行求解. 【详解】因为， 所以或， 所以， 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，因为函数在上单调递增，所以当时，有； 又因为，所以，同理，即，充分性成立； 当时，例如取，此时， 满足，但不满足，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 命题p：，为假命题，则实数m取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特称命题的否定，二次函数恒成立问题，掌握特称命题与全称命题的否定关系是解题的关键． 先求命题为真时的范围，再取补集得假命题时的范围，或直接转化为全称命题的恒成立问题，用判别式求解． 【详解】解：若命题p：，为真命题，则，解得， 所以当命题p：，为假命题时，． 故选：B． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，再结合的范围确定和的符号即可求解. 【详解】由二倍角公式可知，，， 从而， 又因为，所以，， 从而. 故选：D. 5. 已知函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和二次函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】由在单调递增，应满足，当时，为增函数，则， 当时，为增函数，则，且， 综上所述，解得， 故选：B． 6. 若偶函数和奇函数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再由偶函数的性质计算可得. 【详解】因为偶函数和奇函数满足, 所以，又， 所以. 故选：A 7. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负确定. 【详解】函数， 令，为奇函数， 为偶函数，所以函数为奇函数，排除选项AB， ，，， 所以，排除选项C， 故选：D. 8. 已知，，，，则，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数，指数函数，幂函数单调性，换底公式，基本不等式可比较大小. 【详解】注意到，则，从而； ，因，，则， 注意到， 又，从而； ，因， ，则， 从而； 综上可得：. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（且）过定点，若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】对ABC选项可由基本不等式判断得出，对于D则可用二次函数的配方求得最小值. 【详解】因为函数（且）过定点，所以，，. 又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以A正确； 由，得，当且仅当时等号成立，所以B不正确； 由基本不等式， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 由，得，所以， 当且仅当时等号成立，所以D不正确. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在单调递减 D. 将函数的图象向右平移个单位可得的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象可知，，，进而求出，结合三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】由图像可知函数的最小值为，A正确； 由图象可知，，即， 所以，又， 可得，即， 又因为，所以，所以， 当时，，满足正弦函数的对称轴，B错误； 当时，则，函数不单调，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位可得的图象，D正确； 故选：AD. 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 方程仅有6个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用奇偶函数的性质以及题干中的函数解析式，可得其正误；对于B，由函数的奇偶性可得函数的周期性，即可得其正误；对于C，根据函数解析式可得单调性，结合函数的对称性，可得其正误；对于D，根据方程与函数的关系，结合图象，可得其正误. 【详解】对于A，为偶函数，故， 令，得， 为奇函数，故， 令，得，其中， 所以，故A正确； 对于B，因为为奇函数，则，得， 又为偶函数，则，得， 所以，则， 即，则， 即，所以8为函数的一个周期．故， 所以， 从而为奇函数，故B正确； 对于C，在区间上是增函数，在区间上是减函数，且的图象关于点对称， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，又周期为8， 故在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，作出与的大致图象，如图所示， 其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点， 故方程仅有6个实数解，故D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共三道小题，每小题5分，共15分. 12. 设为锐角，若，则的值为____________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：锐角， 考点：三角函数公式 点评：本题中用到的三角函数公式主要有， 13. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的解，且， 所以，所以， 所以等价于，等价于， 解得或，所以不等式的解集为. 14. 如图，现有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形.先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.则符合要求的矩形的面积为___________，五边形的面积为___________. 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】设得到，利用先求矩形面积的最大值，接着设得到，再利用梯形面积公式结合换元法即可分析计算求解所求五边形的面积. 详解】 设，则， 当，即时，. 此时. 在此前提下，过点作垂足为S， 设. 在中，有，则， . 令，则， 此时，则， 所以当即时，的最大值为. 所以符合要求的五边形面积为. 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中15题13分，16题15分，17题15分，18题和19题各17分. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）2；（2）4 【解析】 【详解】（1） . （2） 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）， （3）当时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）化简得，根据周期公式求解即可； （2）令，，求解即可； （3）令，结合三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为 ， ∴最小正周期为. 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，. 【小问3详解】 因为， 令， ，则， 因为， 的单调递增区间是，单调递减区间是 所以当时，即时， 取到最大值， 所以. 17. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【小问1详解】 若，则，令，得， 故的定义域为． 【小问2详解】 令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. 【小问3详解】 因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 18. “天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 （1）的解析式； （2）甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ （3）游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，由题意可求周期，进而可求函数解析式； （2）代入，即可求解． （3）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 设摩天轮转动分钟时游客的高度为， 设函数解析式为， 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以， 由题意可得，， 所以，解得， 当时，，即，可取， 所以， 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 【小问3详解】 甲、乙两人的位置分别用点、表示，则， 经过后，乙距离地面的高度，     点相对于始终落后， 甲距离地面的高度为， 令，， 即，， 由，可得：， 经验证符合， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等. 19. 已知函数具有以下性质：①定义域均为，且在上单调递增；②其中一个是奇函数，另外一个是偶函数：③. （1）求函数与的解析式； （2）关于的方程在有解，求实数的取值范围. （3）试探究：是否存在正实数使得函数在区间上的值域为，若存在，求的取值范围，并证明此时；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，，证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用函数奇偶性列式计算求解解析式； （2）应用换元法令，结合二次函数单调性求解值域得出参数范围； （3）结合指数函数值域及基本不等式，再分类讨论应用单调性计算求解参数，应用指数运算律及指数函数单调性计算证明. 【小问1详解】 因为偶函数关于轴对称，且在轴两侧的单调性不同，所以是奇函数，是偶函数. 所以. 因为，所以. 所以. 【小问2详解】 由题设，又，令， 结合（2）知单调递增，故，又， 所以在上有解，又在上单调递增，故， 所以，可得. 【小问3详解】 存在，理由如下： 假设存在正实数使得函数在区间上的值域为， 则由题可知函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为. 所以. 所以是方程的两个正根，即与的图象有两个交点. 令， 当且仅当时，等号成立. 因为单调递增，所以时，. 令，则， 即，解得. 当，即时，单调递减， 当，即时，单调递增. 所以的取值范围是. 此时，，即. 因为，所以，即. 所以，因为不相等， ， 所以， 所以或. 因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳一中2025-2026学年度高一学年开学考试 数学试题 时间：120分钟，总分150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题(本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题p：，为假命题，则实数m的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若偶函数和奇函数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（且）过定点，若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 10. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在单调递减 D. 将函数的图象向右平移个单位可得的图象 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 方程仅有6个实数解 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共三道小题，每小题5分，共15分. 12. 设为锐角，若，则值为____________ 13. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________. 14. 如图，现有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形.先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.则符合要求的矩形的面积为___________，五边形的面积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中15题13分，16题15分，17题15分，18题和19题各17分. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值. 17. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 18. “天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 （1）的解析式； （2）甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ （3）游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 19. 已知函数具有以下性质：①定义域均为，且在上单调递增；②其中一个是奇函数，另外一个是偶函数：③. （1）求函数与解析式； （2）关于的方程在有解，求实数的取值范围. （3）试探究：是否存在正实数使得函数在区间上的值域为，若存在，求的取值范围，并证明此时；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $