微专题：对平面向量的理解之“单位向量及其应用”（十一种题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

【原卷版】 对平面向量的理解之“单位向量及其应用” 单位向量是模长（长度）等于的向量，记为：，满足：；它不改变向量的方向，只保障长度信息，是描述空间方向的标准工具。任意非零向量，都可通过除以自身模长化为同方向的单位向量：，这一过程叫单位化。 它的核心价值是在多领域广泛应用：几何中，用于求直线、平面的法向与夹角，简化投影、距离计算；物理里，描述力、速度、电场的方向，分离方向与大小；计算机领域，3D 建模、光照计算、游戏渲染依赖它确定视角、法线和光线方向；工程上，导航、机器人运动、结构受力分析，都用它精准标定方向。 单位向量用简洁形式统一了方向表达，是数学、物理、计算机图形学、工程技术中基础且核心的数学工具。 【沪教版】（2020版）高中数学教科书，数学必修第二册第8章平面向量中 单位向量：模为1的向量，叫做单位向量； 【说明】对单位向量的理解与相关性质： 1、单位向量的关键是长度都是一个单位长度； 2、单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同； 3、单位向量不一定相等； 4、与非零向量共线的单位向量为：；非零向量与的关系：向量是同方向的单位向量； 5、若是单位向量，则； 题型1 求非零向量的单位向量 例1、已知，，则与方向相同的单位向量是（     ） A． B． C． D． 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】； 例2、如图，已知，设向量是与向量垂直的单位向量. （1）求单位向量的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的模； （3）求的面积. 题型2 用单位向量表示向量 例3、如图，，为互相垂直的单位向量，则向量可表示为（     ） A． B． C． D． 例4、如图，、为互相垂直的单位向量，向量可表示为（     ） A． B． C． D． 题型3 利用单位向量判断命题 例5、设为单位向量，有下列命题：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．其中假命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 例6、已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4单位向量与向量投影的交汇 例7、已知，为单位向量，，记是与方向相同的单位向量，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 例8、已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（     ） A． B． C．4 D．-4 题型5 借助单位向量求向量模的最值 例9、已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（     ） A．2 B．4 C．3 D．1 例10、已知单位向量，满足，则的最小值为 题型6 借助单位向量求两向量模的夹角 例11、单位向量满足，则与的夹角为 例12、在平行四边形中，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型7 借助单位向量解决几何三点共线问题 例13、已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，， 则（     ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 例14、已知两个不共线的单位向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型8 借助单位向量拓展正交分解 例17、如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，在此坐标系下，假设，，，则下列命题不正确的是（     ） A． B． C． D． 例18、如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在此斜坐标系中，已知，， 夹角为，则______． 题型9 单位向量与解三角形的交汇 例17、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（     ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例18、若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型10 与单位向量相关的新定义 例19、定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（   ） A．该运算满足交换律，即 B．若向量，共线，则 C．的值等于以，为邻边的平行四边形的面积 D．对任意向量，有 例20、定义一种向量运算“”：（，是任意的两个向量）．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论： ①； ②； ③； ④若是单位向量，则． 以上结论一定正确的是_________．（填写所有正确结论的序号） 题型11 与单位向量相关的综合题 例21、平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为__________． 例22、已知单位向量，，…，，则|＋＋…＋|的最大值是________，最小值是________ 单位向量是模长为 1、只表示方向的向量，记作，满足。解题核心规律是先单位化、再用方向简化运算。对非零向量，单位化公式为同方向的单位向量​，这是最常用入手步骤。 在向量运算题中，单位向量常用来分离方向与长度：求夹角、投影、垂直、平行关系时，只需用单位向量比较方向，可大幅降低计算量。若题目给出 “同方向单位向量”“单位法向量”，优先写出单位化公式。 在以后的平面与空间解析几何里，直线方向向量、平面法向量取单位化后，点到直线或平面距离、线面夹角、面面角公式更简洁。遇到法向量、方向余弦问题，直接把向量单位化，余弦值就是方向坐标。 物理与几何综合题中，力、速度、加速度、电场强度等矢量，常分解为大小 × 单位方向向量，便于合成与分解。求投影时，向量在某方向上的投影等于向量与该方向单位向量的数量积。 解题通用思路：先判断是否只需方向，若是则单位化；再利用单位向量模长为 1、数量积直接表示夹角余弦的性质简化式子；最后结合垂直、平行、距离、夹角模型求解。熟练掌握单位化与方向分解，是快速解决向量几何、立体几何、物理矢量题的关键。 1．下列说法中正确的是（     ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 2．已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（     ） A． B． C． D． 3．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（     ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 4．已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 5．设为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为 6．已知平面向量均为单位向量，若，则 7．已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则 8．已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为 9．已知单位向量，的夹角为60°，与垂直，则k的值为________． 10．平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为_____． 11．若向量，满足，，且对任意的单位向量满足，求的最大值和最小值． 12．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求与向量方向相同的单位向量； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的最大值． 【解析版】 对平面向量的理解之“单位向量及其应用” 单位向量是模长（长度）等于的向量，记为：，满足：；它不改变向量的方向，只保障长度信息，是描述空间方向的标准工具。任意非零向量，都可通过除以自身模长化为同方向的单位向量：，这一过程叫单位化。 它的核心价值是在多领域广泛应用：几何中，用于求直线、平面的法向与夹角，简化投影、距离计算；物理里，描述力、速度、电场的方向，分离方向与大小；计算机领域，3D 建模、光照计算、游戏渲染依赖它确定视角、法线和光线方向；工程上，导航、机器人运动、结构受力分析，都用它精准标定方向。 单位向量用简洁形式统一了方向表达，是数学、物理、计算机图形学、工程技术中基础且核心的数学工具。 【沪教版】（2020版）高中数学教科书，数学必修第二册第8章平面向量中 单位向量：模为1的向量，叫做单位向量； 【说明】对单位向量的理解与相关性质： 1、单位向量的关键是长度都是一个单位长度； 2、单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同； 3、单位向量不一定相等； 4、与非零向量共线的单位向量为：；非零向量与的关系：向量是同方向的单位向量； 5、若是单位向量，则； 题型1 求非零向量的单位向量 例1、已知，，则与方向相同的单位向量是（     ） A． B． C． D． 【提示】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解； 【答案】C； 【解析】因为，， 所以，， 所以，, 所以，的单位向量为，故C正确． 故选：C； 【说明】本题考查了利用坐标求向量的模、用坐标表示平面向量、零向量与单位向量； 例2、如图，已知，设向量是与向量垂直的单位向量. （1）求单位向量的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的模； （3）求的面积. 【提示】（1）设出向量坐标，根据模长为1，以及与向量垂直，列方程组求解即可； （2）计算出向量的坐标，再根据（1）中所求，利用投影计算公式即可求得； （3）由（2）可知三角形的高，再利用向量的坐标求得底边长，即可求面积； 【答案】（1）或；（2）；（3）； 【解析】（1）设，根据题意可得 又因为与垂直，即可得 故可得： 解得，或 所以或. （2）设向量与单位向量的夹角为，在上的投影向量为， 则； 又因为，故当时，； 当时，. 所以向量在向量上的投影向量的模为. （3）由（1）可知：，由（2）可知， 故. 【说明】本题考查了数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示；综合考查向量的坐标运算，涉及模长的求解，投影的求解； 题型2 用单位向量表示向量 例3、如图，，为互相垂直的单位向量，则向量可表示为（     ） A． B． C． D． 【提示】由向量的加减法及平面向量的基底可求解； 【答案】A； 【解析】由图及向量的加法、减法法则可知，， 故选：A； 【说明】本题考查了用基底表示向量、向量减法的法则、向量加法的法则； 例4、如图，、为互相垂直的单位向量，向量可表示为（     ） A． B． C． D． 【提示】先根据图得到，再根据平面向量的线性运算求解即可； 【答案】D； 【解析】由题意， 所以. 故选：D； 【说明】本题考查了向量加法法则的几何应用； 题型3 利用单位向量判断命题 例5、设为单位向量，有下列命题：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．其中假命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【提示】由向量的概念一一判定即可； 【答案】D； 【解析】向量是既有大小又有方向的量，与的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，故②③也是假命题． 综上所述，假命题的个数是3． 故选：D； 【说明】本题综合考查了平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量； 例6、已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】利用向量加法的三角形不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得； 【答案】A； 【解析】平面向量，，均为单位向量，则，当且仅当同向共线时取等号， 则当时，与共线，反之，与共线并且方向相反时，， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件，A正确. 故选：A； 【说明】本题借助单位向量综合考查了判断命题的充分不必要条件、平行向量（共线向量）、向量加法的法则； 题型4单位向量与向量投影的交汇 例7、已知，为单位向量，，记是与方向相同的单位向量，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【提示】利用向量投影的定义求解； 【答案】C； 【解析】由题设可得，即，则， 设与的夹角为，则. 又，故, 因为是与方向相同的单位向量，所以在方向上的投影向量为. 故选: C 【说明】本题考查了已知模求数量积、数量积的运算律、平面向量数量积的几何意义； 例8、已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（     ） A． B． C．4 D．-4 【提示】利用平面向量数量积的几何意义求解； 【答案】C； 【解析】. 故选：C 【说明】本题考查了用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义； 题型5 借助单位向量求向量模的最值 例9、已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（     ） A．2 B．4 C．3 D．1 【提示】设，由，可得点在以为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得的最大值； 【答案】B； 【解析】设，因为， 即，即， 所以点在以为圆心，3为半径的圆上， 又是单位向量，则， 故最大值为，即的最大值为4. 故选：B. 【说明】本题借助单位向量考查了向量与几何最值、向量减法法则的几何应用、向量的模； 例10、已知单位向量，满足，则的最小值为 【提示】由已知得，进而两边平方得，故或（舍），故，进而得答案； 【答案】； 【解析】由，得，两边平方，得， 即，整理得， 所以或 因为，所以，所以， 所以. 【说明】本题考查了单位向量与已知数量积求模的交汇；解题的关键在于根据已知将问题转化为关于的方程，进而得，最后结合向量模与二次函数性质求最值即可. 题型6 借助单位向量求两向量模的夹角 例11、单位向量满足，则与的夹角为 【提示】由题意知，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角； 【答案】； 【解析】由题意，， 则， 解得，即， 又，所以的夹角为， 【说明】本题考查了借助单位向量求向量夹角的计算； 例12、在平行四边形中，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【提示】根据向量的运算律及数量积定义计算即可； 【答案】A； 【解析】设与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，与同方向的单位向量， 由题意，所以， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，即. 故选：A； 【说明】本题主要考查了向量的线性运算的几何应用、向量夹角的计算； 题型7 借助单位向量解决几何三点共线问题 例13、已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，， 则（     ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【提示】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解； 【答案】C； 【解析】对A，因为，则、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，则、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，则、、三点共线，则C正确； 对D，，因为，则、、三点不共线. 故选：C． 【说明】本题主要考考了平面向量共线定理证明点共线问题； 例14、已知两个不共线的单位向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【提示】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【答案】D； 【解析】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D； 【说明】本题由向量共线（平行）求参数 题型8 借助单位向量拓展正交分解 例17、如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，在此坐标系下，假设，，，则下列命题不正确的是（     ） A． B． C． D． 【提示】利用定义判断A；利用数量积公式判断B；根据向量共线定理判断C；利用数量积是否为0可判断故D； 【答案】B； 【解析】，故A正确； ，故B错误； ，，，所以， ，所以，故C正确； ，，所以，所以，故D正确. 故选：B； 【说明】本题考查了向量新定义、向量垂直的坐标表示、向量模的坐标表示、由坐标判断向量是否共线； 例18、如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在此斜坐标系中，已知，， 夹角为，则______． 【提示】由题意,,,分别求出,,,进而利用数量积求出夹角即可 【答案】； 【解析】由题,,, 所以 ,则, ,则, 所以,则 故答案为：； 【说明】本题考查了向量夹角的计算、用基底表示向量； 题型9 单位向量与解三角形的交汇 例17、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（     ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【提示】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解； 【答案】B； 【解析】， 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 【说明】本题考查了向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用； 例18、若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【提示】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断； 【答案】B； 【解析】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 【说明】本题考查了向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示； 题型10 与单位向量相关的新定义 例19、定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（   ） A．该运算满足交换律，即 B．若向量，共线，则 C．的值等于以，为邻边的平行四边形的面积 D．对任意向量，有 【提示】根据新定义逐项计算判断即可； 【答案】D； 【解析】对于A，根据定义，，故A一定成立； 对于B，若向量，共线，则或，则，所以，故B一定成立； 对于C，以，为邻边的平行四边形的面积为，故C一定成立； 对于D，若且与不共线，则，但，故D不一定成立. 故选：D； 【说明】本题主要考查了与单位向量相关的向量新定义； 例20、定义一种向量运算“”：（，是任意的两个向量）．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论： ①； ②； ③； ④若是单位向量，则． 以上结论一定正确的是_________．（填写所有正确结论的序号） 【提示】根据新定义的内容逐个选项计算分析即可； 【答案】①④； 【解析】当,共线时,,当,不共线时, ,故①是正确的； 当时,,,故②是错误的； 当与共线时,则存在,与不共线,,,显然,故③是错误的； 当与不共线时,,当与共线时,,故④是正确的. 故答案为：①④ 【说明】本题考查了与单位向量相关的运算法则的类比；解答本题的关键是需要根据题意列出对应的向量表达式,再化简分析是否正确即可； 题型11 与单位向量相关的综合题 例21、平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为__________． 【提示】根据给定的不等式，结合数量积的运算律求出，再利用数量积的运算律结合二次函数性质求出最小值； 【答案】； 【解析】由，得， 整理得，依题意，，不等式恒成立， 则，因此， 于是，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为：； 【说明】本题综合考查了数量积的运算律、已知数量积求模、一元二次不等式在实数集上恒成立问题； 例22、已知单位向量，，…，，则|＋＋…＋|的最大值是________，最小值是________ 【提示】注意：单位向量的方向的不确定性； 【答案】2026；0； 【解析】当单位向量，，…，方向相同时， |＋＋…＋|取得最大值|＋＋…＋|max＝|＋||＋…＋|＝2 026； 当单位向量，，…，满足，，…，＝时，|＋＋…＋|的最小值为0； 单位向量是模长为 1、只表示方向的向量，记作，满足。解题核心规律是先单位化、再用方向简化运算。对非零向量，单位化公式为同方向的单位向量​，这是最常用入手步骤。 在向量运算题中，单位向量常用来分离方向与长度：求夹角、投影、垂直、平行关系时，只需用单位向量比较方向，可大幅降低计算量。若题目给出 “同方向单位向量”“单位法向量”，优先写出单位化公式。 在以后的平面与空间解析几何里，直线方向向量、平面法向量取单位化后，点到直线或平面距离、线面夹角、面面角公式更简洁。遇到法向量、方向余弦问题，直接把向量单位化，余弦值就是方向坐标。 物理与几何综合题中，力、速度、加速度、电场强度等矢量，常分解为大小 × 单位方向向量，便于合成与分解。求投影时，向量在某方向上的投影等于向量与该方向单位向量的数量积。 解题通用思路：先判断是否只需方向，若是则单位化；再利用单位向量模长为 1、数量积直接表示夹角余弦的性质简化式子；最后结合垂直、平行、距离、夹角模型求解。熟练掌握单位化与方向分解，是快速解决向量几何、立体几何、物理矢量题的关键。 1．下列说法中正确的是（     ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 【答案】A； 【解析】对于A，只有零向量的模为，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，但零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C错误； 对于D，与非零向量共线的单位向量有两个，与方向相同的是，与方向相反的是，故D错误． 故选：A． 2．已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（     ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】与方向相同的单位向量为. 故选：C. 3．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（     ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C； 【解析】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 4．已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】将向量的起点平移到原点，设向量，，的终点分别为， 则，， 由得，得， 则点在以为直径的圆上， 因为均为单位向量，且夹角为，不妨设，， 则，，所以以为直径的圆的圆心，半径为， 又，所以， 即的最大值为. 故选：D 5．设为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为 【答案】； 【详解】如图，设，四边形为平行四边形， 则，， 因为为夹角是锐角的单位向量，所以四边形为菱形，故， 所以，则与的夹角为． 6．已知平面向量均为单位向量，若，则 【答案】； 【解析】因为，且， 则， 即，可得， 又因为，则 则， 所以. 7．已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则 【答案】； 【解析】设， 因为， 又，即， 解得， 所以， 所以， 8．已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为 【答案】 【解析】由题意，所以， 从而与向量同方向的单位向量为. 9．已知单位向量，的夹角为60°，与垂直，则k的值为________． 【答案】 【解析】根据题意，单位向量，的夹角为60°，则， 若与垂直，则， 解可得：； 故答案为：． 10．平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为_____． 【答案】 【解析】由条件，且， 知， 结合三角不等式知． 当时，即，取到最大值2． 结合三角不等式知， 当时，即，取到最小值． 因此的最大值与最小值之和为． 故答案为：. 11．若向量，满足，，且对任意的单位向量满足，求的最大值和最小值． 【提示】根据向量三角形不等式的关系及数量积的应用进行计算即可得到结果. 【答案】最大值为，最小值为 【解析】先求最大值． 由题意知， 则恒成立，从而，所以． 平方得，所以． 再求最小值． 易得， 则，从而，所以． 平方得，所以． 综上知的最大值为，最小值为． 12．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求与向量方向相同的单位向量； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的最大值． 【提示】（1）将化为形式，由“源向量”与“伴随函数”概念求解即可. （2）（ⅰ）由余弦定理得，利用基本不等式求解的最大值即可 （ⅱ）利用模长公式，结合基本不等式求解即可 【答案】（1）；（2）（ⅰ），（ⅱ）16 【解析】（1）因为 所以 所以与向量方向相同的单位向量为 （2）（ⅰ）由于函数的“源向量”为，所以， 又因为，所以，又因为，所以 在中，，由余弦定理得： 即 又由基本不等式得： 所以，即 所以，当且仅当时取等号. 所以， 所以周长的最大值为 （ⅱ）， 又，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 即的最大值为16. 第24页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $