第七讲向量的概念与运算寒假讲义-2024年上海市高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

第七讲 向量的概念和线性运算 【学习目标】 1. 掌握平面向量基本概念； 2. 掌握向量的加法、减法三角形法则和平行四边形法则； 3. 掌握向量线性运算相关运算律 4. 掌握向量基本定理及其应用 知识内容与典型例题 【难度系数：★★ 参考时间：60 min】 一、向量的概念 平面向量的基本概念： 向量：既有大小又有方向的量，用有向线段来表示，记作或者(为起点，为终点)； 向量的模：向量的大小，如向量的模记为 零向量：其模为0，其方向是任意的 单位向量：模为1的向量 平行向量：方向相同或相反的向量，若两个非零向量所在的直线平行或者重合，则称 （1） （2） （3） （4） 相等向量：方向相同、模相等的向量 负向量：方向相反、模相等的向量，如 例1 如图所示，、、依次是正的边、、的中点，分别写出图中 ①与相等的向量___________________ ②与平行的向量___________________ ③与互为负向量___________________ 例2 下列命题中正确的有_____________ ①若，则；②所有的单位向量都相等；③若，，则； ④平行四边形两对边所在的向量是相等向量或负向量；⑤相等向量一定是平行向量； ⑥平行向量一定是相等向量或负向量；⑦平行的单位向量都相等. 二、向量的加法和减法 向量加法的平行四边形法则和三角形法则： 共起点的平行四边形法则： 首尾相接的三角形法则： 向量的减法可以转化为向量的加法： 例3 填空： ； ； ； ； ； ． 例4 如图，已知平行四边形，对角线与相交于点．设，，试用、表示下列向量： _____________，____________，______________， _____________，____________，_______________． 例5 已知任意四边形中，分别是的中点，求证：． 三、实数与向量的乘法 （1）实数与向量相乘的运算 实数与向量的乘积是一个向量，记作.它的模；当时，的方向与相同；当时，的方向与相反.特别地，当或时，. （2）实数与向量相乘的运算律 设，为实数，则 ①； ②； ③． （3）平行向量定理 向量与非零向量平行的充要条件是：存在实数，使得. （4）单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量，记作． 由实数与向量的乘积可知：，即 向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算.从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合.例如，就是向量，，的一个线性组合. 例6 已知，，其中，那么向量与是否平行？ 例7 在平行四边形中，两条对角线的交点是，设，.试用，的线性组合分别表示，，与. 四、向量基本定理 如果与是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，都可以唯一地表示为与的线性组合，即存在唯一的一对实数与，使得 例8 如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，已知，，试用、表示和． A组 双基过关 【难度系数：★   参考时间：20 min】 1. 已知向量的方向是东南方向，且，那么向量的方向是 ； 2. 下列结论中，正确的个数是（ ） ①零向量是没有方向的向量； ②若是单位向量，则不是单位向量 ③一个向量与零相乘，乘积为零 ④在四边形中， A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 如图，已知点、分别在的边、上，，，，则=___. 4. 已知向量，，则的最大值是_______，的最小值是_______. 5. 下列说法中错误的是（ ） A．如果向量与向量平行，那么存在唯一的实数使得； B．如果，为实数，那么； C．如果，为实数，那么； D．如果为实数，那么． 6. 已知，，，则 ． 7. 若，其中、、为已知向量，求未知向量． 8. 已知中，点在上，点在上，，．求证： 9. 已知点是的重心，则________. B组 巩固提高 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 如果，，那么的取值范围是 ． 2. 已知向量、不平行，、是实数，且，则_____，____. 3. 若，分别为向量，的单位向量，则“”是“”的_________条件 4. 若是所在平面内一点，且满足，则的形状为________． 5. 如图，在中，是边的中点，是延长线上一点，且． （1）用、表示向量； （2）用、表示向量． 6. 若正方形的边长为1，记，，，则____ 7. 如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，.若（），求的值. 8. 在中，已知是的中点，是的重心.设向量，向量.试用向量，分别表示向量，，. 9. 如图，已知、分别是的边、上的中线，且，，则（ ） A. B. C. D. ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲 向量的概念和线性运算 【学习目标】 1. 掌握平面向量基本概念； 2. 掌握向量的加法、减法三角形法则和平行四边形法则； 3. 掌握向量线性运算相关运算律 4. 掌握向量基本定理及其应用 知识内容与典型例题 【难度系数：★★ 参考时间：60 min】 一、向量的概念 平面向量的基本概念： 向量：既有大小又有方向的量，用有向线段来表示，记作或者(为起点，为终点)； 向量的模：向量的大小，如向量的模记为 零向量：其模为0，其方向是任意的 单位向量：模为1的向量 平行向量：方向相同或相反的向量，若两个非零向量所在的直线平行或者重合，则称 （1） （2） （3） （4） 相等向量：方向相同、模相等的向量 负向量：方向相反、模相等的向量，如 例1 如图所示，、、依次是正的边、、的中点，分别写出图中 ①与相等的向量___________________ ②与平行的向量___________________ ③与互为负向量___________________ 【答案】①、；②、、、、、、；③、、 例2 下列命题中正确的有_____________ ①若，则；②所有的单位向量都相等；③若，，则； ④平行四边形两对边所在的向量是相等向量或负向量；⑤相等向量一定是平行向量； ⑥平行向量一定是相等向量或负向量；⑦平行的单位向量都相等. 【答案】④⑤ 二、向量的加法和减法 向量加法的平行四边形法则和三角形法则： 共起点的平行四边形法则： 首尾相接的三角形法则： 向量的减法可以转化为向量的加法： 例3 填空： ； ； ； ； ； ． 【答案】；；；；；． 例4 如图，已知平行四边形，对角线与相交于点．设，，试用、表示下列向量： _____________，____________，______________， _____________，____________，_______________． 【答案】． 例5 已知任意四边形中，分别是的中点，求证：． 【答案】略 三、实数与向量的乘法 （1）实数与向量相乘的运算 实数与向量的乘积是一个向量，记作.它的模；当时，的方向与相同；当时，的方向与相反.特别地，当或时，. （2）实数与向量相乘的运算律 设，为实数，则 ①； ②； ③． （3）平行向量定理 向量与非零向量平行的充要条件是：存在实数，使得. （4）单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量，记作． 由实数与向量的乘积可知：，即 向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算.从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合.例如，就是向量，，的一个线性组合. 例6 已知，，其中，那么向量与是否平行？ 【答案】平行．联立方程组：，解得，所以，向量与平行． 例7 在平行四边形中，两条对角线的交点是，设，.试用，的线性组合分别表示，，与. 【答案】，，， 四、向量基本定理 如果与是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，都可以唯一地表示为与的线性组合，即存在唯一的一对实数与，使得 例8 如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，已知，，试用、表示和． 【答案】 A组 双基过关 【难度系数：★   参考时间：20 min】 1. 已知向量的方向是东南方向，且，那么向量的方向是 ； 【答案】西北方向，10 2. 下列结论中，正确的个数是（ ） ①零向量是没有方向的向量； ②若是单位向量，则不是单位向量 ③一个向量与零相乘，乘积为零 ④在四边形中， A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 3. 如图，已知点、分别在的边、上，，，，则=___. 【答案】 4. 已知向量，，则的最大值是_______，的最小值是_______. 【答案】， 5. 下列说法中错误的是（ ） A．如果向量与向量平行，那么存在唯一的实数使得； B．如果，为实数，那么； C．如果，为实数，那么； D．如果为实数，那么． 【答案】A 6. 已知，，，则 ． 【答案】 7. 若，其中、、为已知向量，求未知向量． 【答案】 8. 已知中，点在上，点在上，，．求证： 【答案】略 9. 已知点是的重心，则________. 【答案】 B组 巩固提高 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 如果，，那么的取值范围是 ．【答案】 2. 已知向量、不平行，、是实数，且，则_____，____.【答案】 3. 若，分别为向量，的单位向量，则“”是“”的___________条件 【答案】必要不充分 4. 若是所在平面内一点，且满足，则的形状为________． 【答案】直角三角形 5. 如图，在中，是边的中点，是延长线上一点，且． （1）用、表示向量； （2）用、表示向量． 【答案】（1）（2）. 6. 若正方形的边长为1，记，，，则____ 【答案】 7. 如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，.若（），求的值. 【答案】6 8. 在中，已知是的中点，是的重心.设向量，向量.试用向量，分别表示向量，，. 【答案】；；. 9. 如图，已知、分别是的边、上的中线，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$