专题6.6 平面向量的基本定理及坐标表示导学案-2025-2026学年高一数学同步知识填空与考点专练（人教A版必修第二册）

专题6.6 平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 专题6.6 平面向量的基本定理及坐标表示 一、知识填空 1.基底 若_______，则_______叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面的任一向量，有且只有一对实数，使. 3.常用结论： (1)三点 ． (2)若，则三点共线⇔ .　 (3)设向量与是平面内两个不共线的向量，若，则 . 4.平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量作 . 5. 平面向量的坐标表示： （1）在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，对平面中的任一向量，有，我们把有序数对 叫做向量的坐标表示，其中叫做向量在轴上的坐标，叫做向量在轴上的坐标，记为. （2）若为坐标原点，，则向量的坐标就是终点的坐标. 6.平面向量运算的坐标表示： （1）已知，则；. （2）若，则. （3）已知，则. （4）设，则 . （5）设，则 . 7.向量共线定理的坐标形式：若，其中，则共线的充要条件为 . 8.中点坐标公式： 线段的端点的坐标分别为，点是线段中点，则的坐标为 . 9．向量的坐标运算常用的公式和结论： （1），则 . （2）若，为的夹角，则 . 自检自纠： 1.不共线 2.不共线 3.（1）共线 （2） （3） 4. 正交分解 5. 6. （1） （2） （3） （4） （5） 7. 8. 9. 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量基本定理的应用 【经典例题】 1．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 3．在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（   ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，为的中点，为的中点，且，若，则__________. 【变式训练】 1．在正方形中，为的中点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 3．平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 4．已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 5．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 6．在扇形中，，P是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 7．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【巩固练习】 1．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 2．在等腰梯形中，．M为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）   A． B． C． D． 4．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 5．如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则_______ 8．在中，，，点满足，若，则的值为______． 【经典例题】地 城 考点02 平面向量线性运算的坐标表示 1．若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，若，，对角线的交点为O，则（   ） A． B． C． D． 4．已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D．2 6．一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，，则实数（   ） A． B．1 C． D．2 3．已知向量，，，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 4．已知向量满足，且，则实数（    ） A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或 5．已知，，则____________． 6．已知平行四边形中，，则点的坐标为___________. 7．已知的三个顶点的坐标分别为，，，且在点、、处分别放置质量为1kg､2kg､1kg的物体，则此时重心的坐标为___________. 8．已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ） A． B． C． D． 11．在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）   A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【巩固练习】 1．已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 2．已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则____________．． 4．已知，，，，且，则______，_______． 5．已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）设点，，若点P在直线上，且，则点P的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 9．在中，顶点的坐标为，边的中点的坐标为，则的重心坐标为______． 【经典例题】地 城 考点02 平面向量中的共线问题 1．已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 2．（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 4．已知,则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．正方形或菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 5．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式训练】 1．（多选）已知向量，，且，则可能的有（   ） A．1 B．5 C． D． 2．已知是平面内的一个基底，若向量与共线，则__________． 3．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A、B、C、D为顶点的凸四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．不能构成平行四边形 4．一个平行四边形的三个顶点坐标分别是、、，则第四个顶点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，与相交于点P，若，则________，________． 【巩固练习】 1．已知，， （，是同一平面内的两个不共线向量），则为___________（用，表示） 2．设平面向量，，.则使得向量与共线的一组实数x，y的值为______，______. 3．顺次连接点，，，所构成的图形是（    ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 4．（多选）设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【经典例题】地 城 考点03 平面向量中的最值与范围问题 1．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【变式训练】 1．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 4．已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为________. 【巩固练习】 1．在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 2．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______. 3．矩形ABCD中，，，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则的取值范围是________． 4．已知平面直角坐标系内的两个向量，若平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围是______. 5．（多选）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 【经典例题】地 城 考点04 解答题 1．已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， (1)用，表示向量，； (2)若，求实数的值． 2．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 3．在平行四边形中，. (1)求点的坐标； (2)若为的中点，向量，且，求的值. 4．在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 5．在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【变式训练】 1．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 2．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示；(2)求的值. 3．如图所示，中，，分别为，边上的点且，，连接，，记，求． 4．在矩形中，，，E为边的中点，P为线段上的动点，设向量，求的最大值． 5．如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． (1)求的值； (2)求的最小值． 6．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【巩固练习】 1．如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 2．已知向量不共线，，，其中． (1)若三点共线，求的值； (2)当时，若，用基底表示． 3．如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 4．已知坐标平面内三点，，． (1)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 三、达标检测 《平面向量的基本定理及坐标表示》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量， ，若，则(    ) A．-1或2 B．-2或1 C．1或2 D．-1或-2 3．设，向量，，，则（      ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，则（    ） A．3 B． C．1 D． 6．已知向量，，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知向量，向量在方向上的投影为-4，若，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D． 8．已知矩形中，，，，分别为边，上的动点（包含端点），且满足，则的最小值是 A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 10．以，，三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 11．已知，若为直角三角形，则k可取的值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，则__________. 13．若等边三角形的边长为，平面内一点满足，则的面积为________． 14．在中，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为 A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 一、知识填空 1.基底 若，e, ,则 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底， 2.平面向量基本定理 如果e,e,是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面的任一向量，有且只有一对实数，乃2， 使a= 3.常用结论： (1)AP=tAB→A,B,P三点」 (2)若OP=2OA+OB,则A,B,P三点共线台 (3)设向量a与i是平面内两个不共线的向量，若xa+yb=x,a+y,b,则 4平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量作」 5.平面向量的坐标表示： (1)在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,),取，}作为基底，对平 面中的任一向量a,有a=xi+yj,我们把有序数对叫做向量a的坐标表示，其中x叫做向量a在x 轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标，记为a= (2)若O为坐标原点，OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标. 6平面向量运算的坐标表示： (1)已知a=xi+yj,b=x,i+y,j,则a+b ;a-b= (2)若A(x1,),B(x2,y2),则AB= (3)已知a=(,y),则a=一 (4)设a=(x,y),b=(x2,y),则a.五= (5)设a=(x,),b=(x2,),则a1b⊙ 7.向量共线定理的坐标形式：若a=(x,y),b=(x2,y,),其中≠0，则a,b共线的充要条件为 1/18 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 8.中点坐标公式： 线段卫的端点，乃的坐标分别为(，)，(x2,y),点P是线段卫中点，则P的坐标为 9.向量的坐标运算常用的公式和结论： (1)a=(s,) 则a (2)若a=(,y),6=(x2),日为d,b的夹角，则c0s8= 自检自纠： X1=X2 1.不共线 {e,e} 2.不共线2日，+2，已23.(1)共线(2)1+u=1(3) y=y2 4.正交分解 5.(cy)(x,y)6.(1)(x+x)i+(y+y2)j(x-x)i+(y-y2)j (2)AB=(x-x,⅓-y)(3)(2x,y）(4)5+%(5)+y-0 7.xy2-xy=0 8. +x2出+y2 x2yV2 22 9.+贤 +好√+贤 二、考点专练 目目 考点01 平面向量基本定理的应用 【经典例题】 1.如图，在△ABC中，BD=2DC,则AD=() A.+34C B.AC C.24B+AC D. 4 4 4 4 3 3 3 2.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，且BD=DA,AE=3EC,点F为DE中点，则BF=() D Ac B. 8 a+acc.ai-ac 8 D.丽+C 8 4 2/18 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 3.在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=3AB,点E在对角线AC上，且AE=EC,则DE=() A而而B.丽而c.而}而D.丽而 4.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦 图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图中，若 BE=2EF,则EF=()F A-厨Bc+厨Cc+厨Dc+品厨 13 13 5.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，P为CD的中点，且BG=B丽，若AG=AB+AD,则 = 【变式训练】 1.在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=() A.34B+AD B.4B+3AD C.3+ D.4B+AD 2.如图，在平行四边形ABCD中，F为CD的中点，BC=3BE,则EF=() D B E A.BC-T B.BC-AG C.BC 6 D.BC+AC 6 3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,AB=a,AD=b.若用a,b表示AO,则AO=() A.3a+b)B.a-6列 C.a+B D.a-b 3/18 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 4.已知O,A,B三点不共线，设OA=ā，OB=b,且P为靠近A点的线段AB的一个三等分点，则OP 等于() 4a6 3 B.3a+0 c.a+36 4 D. 4 5.已知点P为△4BC所在平面内-点，若亚=AB+3AC,则g=《) 3 2 4 A.3 B. c D.} 6.在扇形40B中，∠Ao8-于，P是AB上一点，且O师-5aA+rO丽，则x=《) 2 A. R C.② 2 D.3 2 7.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的 头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现 代哲学中的矛盾对立统一规律.如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形ABCDEFGH,其中心为O,若 H OG=xOi+yOF,则x+y=() A.√2 C.2 D.3V2 2 【巩固练习】 1.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD,则() A.而-丽+和B而-而-c.D-}西+cD.而-}证-c 2.在等腰梯形ABCD中，AB=-2CD.M为BC的中点，则AM=() A.0+号0B.丽+DC.孤+4而D.号+40 4 3.如图，平行四边形ABCD中，AE=2EB,DF=FC,若CB=,CE=b,则AF=() A.zat38 B.3d-38 c.a-6 D.+ 4.已知点G为△ABC的重心，若BG=元BC+uAG,则1-L=() A.0 B.1 c D.3 4/18 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 5.如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D的三等分点，G为EF的中点， 记AG=AB+AD,则元+4=（ A.17 13 B. 12 12 6.(多选)如图，点D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a,CA=b,则下列 结论正确的是() A而-5-8B丽=a+c.所a+5D.取 2 2 7.如图 D为等边△ABC的重心，E为BC边上靠近C的四等分点，若DE=AB-LAC, B 则元+=】 8.在△ABC中，AB=c,AC=五，点M满足BM=BC(0<1<1),若AM=五+：，则2的值为 33 目目 者点02 平面向量线性运算的坐标表示 【经典例题】 1.若AB=1,1),AD=(2,0),BO+OD=(m,n),则-n=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知在平面直角坐标系中，点A,B,C,D如图所示，则2AB+CD=() B A C 12345 A.(7,5) B.(1,5) C.(5,7) D.(5,1) 5/18 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 3.在ABCD中，若AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线的交点为O,则CO=() A.〔)B.（c.3D. 4.已知点O(0,0),向量OA=(2,3),OB=(8,-3),点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标 为() A.(-4,-1)B.(4,1) C.(2,-2) D.（-2,2) 5.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(0,1),若a1(⑥+)，则=() A B. C.-2 D.2 6.一个物体在三个力F1=(2,3),E=(-1,-4),E的作用下，处于静止状态，则瓦=() A.(0,1) B.（-1,0) C.(0,-1) D.（-1,1) 【变式训练】 1.己知a-13=1,2》,a+b=4,-10),则a等于() A.(-2,-2) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2) 2.已知平面向量a=(1,2),b=(1-元，2)，a1五，则实数=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.已知向量a=1,2),万=(0，-2)，c=(（1,),若(2a-)1c,则2=() A.3 B. C.2 D. 4.已知向量a,五满足a=(1,2),b+2a=1,-3),且a1i,则实数=() A.1或号 B.1或 c.1或号 D.1政号 6/18 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 5.已知AB=(1,2),CB=（3,-4),则AC= 6.已知平行四边形ABCD中，A1,1),B(-2,3),C(0-4),则点D的坐标为 7.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(4,3),且在点A、B、C处分别放置质量为 1kg、2kg、1kg的物体，则此时△ABC重心G的坐标为 8.已知点M(-2,7),N(10,-2),点P是线段N上的点，且PN=-2PM,则点P的坐标为() A.(2,4)B.(-14,16) c.(6,1) D.(22,-11) 9.在△ABC中，已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),BC边的中线为AD,若P为AD上靠近A的三等分点， 则点P的坐标为() A.3) c到 10.若，E是一组基底，向量y=xa+yB(x,y∈R),则称(x,y)为向量y在基底a,币下的坐标.现 已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2)，则ā在另一组基底m=(1,1),1=(1,2)下的坐 标为() A.(2,0) B.(0,-2) C.(0,2) D.(-2,0) 11.在直角△ABC中，∠C是直角，CA=4,CB=3,△ABC的内切圆交CA,CB于点D,E,点P是图中阴影区 域内的一点（不包含边界）若C严=xCD+yCE,则x+y的值可以是() A.1 B.2.5 C.4 D.5.5 【巩固练习】 1.已知向量a=(-1,2),五=1,0)，那么向量36-a的坐标是 2.已知向量a=(x,1),b=(1,x),若(a+b)Lb,则x=() A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.在△ABC中，点P在BC上，且BP=2PC,点Q是AC的中点，若PA=(4,3),P2=(1,5),则 BC= 4.已知A(-1,-2),B(2,3),C(2,0),D(x,y),且AC=2BD,则x=,y= 5.已知P(2,3),B(-14),且-2P2,点P在线段RD的延长线上，则P点的坐标为() 7/18 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 A.13-s1 C.(4,-5) D.（-4,5) 6.（多选)设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上，且AB=2AP1,则点P的坐标可以为() A.(3,1) B.1,-1) C.(3,-1) D.(-1,1) 7.(多选)已知在平面直角坐标系中，点(0,1)，P(4,4).当P是线段？2的一个三等分点时，点P的坐 标为() B. C.(2,3) D. 8.已知梯形ABCD,其中AB∥DC,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标 为 9.在△ABC中，顶点A的坐标为(3,1)，边BC的中点D的坐标为(-3,1)，则△ABC的重心坐标为 目目 考点02 平面向量中的共线问题 【经典例题】 1.已知向量e,e,不共线，且(2，-E)/13,+2e,),则实数元=() A.3 B.-3 c 2.（多选)设，e,是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是() A日店和g-站B.可+运和利+8C女怎和6-gD百+@和G+ 3.设向量g,e,e不共面，已知AB=-3-e,+2g,BC=-e+2,-6,CD=46+2e+8e,若A, C,D三点共线，则1=() A.1 B.0 C.3 D.2 4.已知A(-3,0),B(-1,2),C(1,1),D(-2,-2),则四边形ABCD的形状为() A.平行四边形B.正方形或菱形C.直角梯形D.等腰梯形 8/18 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 5.如图，在△4BC中，A=2NC,P是BN上一点，若A亚=tAB+AC,则实数t的值为() A.5 B. C. 6.已知O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点，动点P满足O=[2-2)OD+1+2A)OC1eR), 则点P的轨迹一定过△ABC的() A.内心 B.外心y C.垂心 D.重心 【变式训练】 1.（多选)己知向量ā=(2，+1)，b=(m+3,4),且（ā+b)W(a-b),则可能的m有(） A.1 B.5 C.-1 D.-5 2.已知，2}是平面内的一个基底，若向量=4-2与b=-2+2共线，则1= 3.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A、B、C、D为顶点的凸四边形是（) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.不能构成平行四边形 4.一个平行四边形的三个项点坐标分别是(5,7)、(-3,5)、(3,4)，则第四个顶点的坐标不可能是() A.（-1,8) B.(-5,2) C.(11,6) D.(5,2) 5.如图，在△ABC中，AD=2DB,AB=C,BB与CD相交于点P,若P=xB+AC(,yER), 则x= V= 【巩固练习】 1.已知ā=g+e,b=22-e2,c=-22,+4e(e,e,是同一平面内的两个不共线向量)，则c为 (用a,b表示) 9/18 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 2.设平面向量a=(-1,2),b=(-2,1),c=(xy).则使得向量a与b-c共线的一组实数x,y的值为x=, y= 3.顺次连接点A(1,1),B(2,3),C(4,0),D(3,-2)所构成的图形是（) A.等腰梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 4.（多选)设，e,是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是（) A.e-e2和e2-e B.3e-4e,和6e-8e,C.g+2e2和2g+e2 D.g,和e+e2 目目 考点03 平面向量中的最值与范围问题 【经典例题】 1.在△ABC中，点P满足BP=3PC,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若AM=AB, AN=AC(2>0,L>0),则元+u的最小值为() A5+ B.V3 3 5 2 21 C. 0 2 2.在直角梯形ABCD中，ABAD=0,∠B=30°，AB=2√5，BC=2,点E为BC边上一点，且 AE=xAB+yAD,则y的取值范围是() A.0. 3.在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，点G在线段EF上.若AG=1AB+LAD,则2+u 的最大值为() A. 3 B.1 C. 2 D.2 10/18专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 一、知识填空 1.基底 若，e, ,则 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底， 2.平面向量基本定理 如果e,e,是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面的任一向量，有且只有一对实数，乃2， 使a= 3.常用结论： (1)AP=tAB→A,B,P三点」 (2)若OP=2OA+OB,则A,B,P三点共线台 (3)设向量a与i是平面内两个不共线的向量，若xa+yb=x,a+y,b,则 4平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量作」 5.平面向量的坐标表示： (1)在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,),取，}作为基底，对平 面中的任一向量a,有a=xi+yj,我们把有序数对叫做向量a的坐标表示，其中x叫做向量a在x 轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标，记为a= (2)若O为坐标原点，OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标. 6平面向量运算的坐标表示： (1)已知a=xi+yj,b=x,i+y,j,则a+b ;a-b= (2)若A(x1,),B(x2,y2),则AB= (3)已知a=(,y),则a=一 (4)设a=(x,y),b=(x2,y),则a.五= (5)设a=(x,),b=(x2,),则a1b⊙ 7.向量共线定理的坐标形式：若a=(x,y),b=(x2,y,),其中≠0，则a,b共线的充要条件为 1/37 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 8.中点坐标公式： 线段卫的端点，乃的坐标分别为(，)，(x2,y),点P是线段卫中点，则P的坐标为 9.向量的坐标运算常用的公式和结论： (1)a=(s,) 则a4 (2)若a=(,y),6=(x,),0为a,b的夹角，则c0s6= 自检自纠： X1=X2 1.不共线 {e,e,} 2.不共线2已，+元，3.(1)共线(2)元+u=1(3) y=y2 4.正交分解 5.(cy)(x,y)6.(1)(x+x)i+(y+y2)j(x-x2)i+(y-y2)j (2)AB=(x-5,⅓-)(3)（2x,元y）(4)5x+(5)x+-0 7.xy2-xy=0 ￥+x2丛+y2 9.+ x2+y2 8 2 2 +好√+贤 二、考点专练 目目 考点01 平面向量基本定理的应用 【经典例题】 1.如图，在△ABC中，BD=2DC,则AD=() A.+3AcB.3+4Cc.2+4cD. 4 4 4 4 3 3 【答案】D 【详解】由D=2Dc,可得而-c-(c-), 所以D-而+D=西+c-四)-西+C选：D 2.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，且BD=DA,A正=3EC,点F为DE中点，则BF=() A.-1BA+3BC B.3BA+IBC C. BA+3BC 3 D. 3BA+3BC 8 8 4 2 8 8 4 2/37 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 【答案】C 【详解】由点下为DB中点得：B丽=BD+BE,因为BD=DA,所以D=BA, 因为丽-c+丽-c}4c-c(c-网)+c, 4 4 所以丽-号8D+亚-}斑+c+网A+8c放选：c 8 3.在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=3AB,点E在对角线AC上，且AE=二EC,则DE=() A丽而B.丽而c.2而}0D.}丽而 【答案】A 【详解根据题意，作图如下所示，由题意得，DE=0A+证=A+号4C=DA+aD+Dc)-子40+证 故选：A D 4.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅弦图给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦 图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图中，若 BE=2EF,则EF=(） BC+BA B. A. 13 13 C.D. 13 3 13 【答案】B 【详解】因为在“赵爽弦图中，若BB=2EF，所以 历-即-c+网-c网c号4写c屈网-c+引a42. 所以BF-}8C+弓-亚，所以号丽-C+号孤，所以歌BC+名A故选：B 9 130 13 5.在平行四边形ABCD中，B为8C的中点，F为CD的中点，且G-}丽，若AG=丽+AD,则 = 【答案1) 【详解】结合题设易知EF1/BD且EF=】BD,则AG=A正+G=正+B丽+丽=B+C+丽=B+C+BD 6 3/37 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 =而+西+西-列西+号而，所以名公子则弘号故浴案为 5 2 3 【变式训练】 1.在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=() 4加而。洒五 A. 1AB+AD D. 4 4 2 【答案】C 【详解】因为E为AB的中点，F为CE的中点， D 所以4-〔a证+4C)长34+西+40-B+4D放选：c 2.如图，在平行四边形ABCD中，F为CD的中点，BC=3BE,则EF=() D B E A.BC-AC B.7BC-LAC 6 21 6 c.2ac+5ac D.BC+LAC 21 6 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用BC,AC将向量EF表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形ABCD中，F为CD的中点，BC=3BE, 所以丽-C+CP-c+A-子BcBC+C列-名Bc-号4C枚选：B 3 2 3 6 2 3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,AB=ā，AD=b.若用a,b表示AO,则AO=() A.a+6) B.3(a-6) C.a+b D.a-b 【答案】A 【昨解】A5cD是平行四边形，点0是对角线的交点：D=BC,40号4C,:AC=亚+c, D A0-号4C-a6+BC)a+6),故A正确.故适：A 4.已知O,A,B三点不共线，设OA=a,OB=b,且P为靠近A点的线段AB的一个三等分点，则OP 等于() 4/37 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 B. 3 - c.a+6 D. 44 【答案】B 【详解】亚-丽+亚-丽+亚-死-网号+丽-a+5放选：B 2 5.已知点P为△4BC所在平面内一点，若AP=)AB+3AC,则=《) 3- 2 4 c D3 1 A.3 【答案】B 【详解】过点A作正=号丽，丽-4C,则亚=亚+C=正+亚，以4伍，A加为邻边作平行四边 形AEPF,所以SABP=2SABP=2SAP,SFP=3SPFc,可得SAP=6SPe,S.ACP=4S.rC，所以 S42=6S= S.ACP 4S.PFC 2故选：B 6.在扇形40B中，408=受，P是AB上一点，且O=Y5OA+O丽，则x=《) 2 A. B3 C.② D.3 2 2 【答案】C 【详解】以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x,y轴，建立坐标系，设扇形半径为1，∠AOP=日，则 P(cos8.sim8),且A1,0),B0,1),于是，OP=(cosa,sin0,0A=L,0O元=Q1),因为0=Y5a+rOB, 所以 cose=v2 ，由m0+0=分1，解得x=，(=号合去)散随：C 2 sin=x 2 7.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的 头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现 代哲学中的矛盾对立统一规律.如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形ABCDEFGH,其中心为O,若 H OG=xOH+yOF,则x+y=( A.2 B. 3 C.2 D.3V2 2 【答案】A 5/37 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 2ππ 【详解】法一：如图①，过点G作GM⊥OH,GN⊥OF,垂足分别是M,N,因为∠HOG=∠FOG= 84 所以@=aw,又∠MON=号所以四边形GMoN为正方形，所以oM=ON-号oG.又OH-OR=0G, 2 所以o-o-瓜-o丽-o丽，则x=y=号，故xy 2 2 图① 图② 法二：以OE,OG所在直线分别为x,y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，设OB=OG=2,则G(0,2), 因为∠H10G=∠F0G=2匹=，所以r(2,2),H(2.),由0G=xO丽+0n,得 V2x+V2y=0 84 √2x+V2y=2 解得x=y=5,故x+y=V5故选：A 2 【巩固练习】 1.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD,则() A.丽=丽+B.0-西-含证C.0-西+}cD.AD-青涵-4c 2 【答案】A 【详解】由8C=3CD得AC-B=3AD-AC),即3AD=-AB+44C,所以AD=丽+4C.故选：A 2.在等腰梯形ABCD中，AB=-2CD.M为BC的中点，则AM=() A. 孤+而B.西+0c.西+而D.丽+而 4 【答案】B 【详解】取AD中点N,连接MN,AB=-2CD,∴.AB∥CD,AB=2CD.又M是BC的中点，∴MN∥AB, 且N=4B+D）=hB,M=4+7-AD+AB,故选：B. 4 3.如图，平行四边形ABCD中，AE=2EB,DF=FC,若CB=a,CE=b,则AF=() 1a+36 2 B.3 a-16 22 c.a-6 D.+ 3 -a+-b 【答案】C 【详解】取AB中点G,连接CG,因为ABCD是平行四边形，F是CD中点，则AG/1CF且AG=CF, 6/37 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 所以AFCG是平行四边形，所以AF=-CG,又AE=2BE,则BE=2EG, G-0m+G-c吸+亚西远-两=s+c,所以亚-西-号西--6 2 2 2 故选：C 4.已知点G为△ABC的重心，若BG=BC+LAG,则2-u=() A.0 B.1 D.3 【答案】B 【详解】如下图所示，延长AG交BC于点D,易知D为BC的中点，且AG=2GD,又 BG=BD+DG=}BC-AG,因为BG=BC+LAG,且BC,AG不共线，所以可知元= 2 21 2s、 2 因此元-4=1.故选：B 5.如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D的三等分点，G为EF的中点， 记AG=1AB+AD,则元+L=(】 A.7 13 B. 1 12 12 C.12 D音 【答案】A 【详解】由题意可得AF=AB+AD,A正=AB+】AD,因为G为EF的中点，所以 G亚兮亚-0+名沥0+西洒+而，则a=号4子所以公子品 3412 故选：A 6.(多选)如图，点D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a,CA=b,则下列 结论正确的是() A而告-8B.丽=a5cT-a+5 D.EF=a 2 2 【答案】ABC 7/37 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 【详解】在AABc中，=c+而=CBc-6-,故A正确：丽=C+历-ā+五，故B 正确：厅-西+=C+C+五，故C正商：-河-，故D不正确 2 2 2 22 2 故选：ABC 7.如图 D为等边△ABC的重心，E为BC边上靠近C的四等分点，若DE=1AB-LAC, 则九+= 【容案】月 【详解】由题意，设AB=i,AC=c,取BC中点M,则AM=(6+c),重心D在中线AM上， 且AD,DM=21,故40--6-)6+小，会为BC边上近c的酒等分点 即历C,而8cc6:所以丽-5+兼-列=+ DE证0-：96+0+居=b+品由E=亚ac,每： B 8.在△ABC中，AB=c,AC=-i,点M满足BM=BC(0<1<1),若AM=1万+2c,则2的值为 【答案】 【详解】AM=AB+BM=AB+BC=AB+AC-ABAC+(11HB=乃+L1©， 1 1 2 因为AM=二b+二c,所以 3 2 解得2=1 故答案为： 1-= 3 目目 考点02 平面向量线性运算的坐标表示 【经典例题】 1.若AB=1,1),AD=(2,0),B0+OD=(m,n),则m-n=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】D 8/37 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 【详解】因为BO+OD=BD=AD-AB=(2,0)(（1,1上(1，-1)，所以m-n=2.故选：D 2.已知在平面直角坐标系中，点A,B,C,D如图所示，则2AB+CD=() 2 B A 可12345 A.(7,5) B.(1,5) C.(5,7) D.(5,1) 【答案】C 【详解】由图可得A1,0),B(5,2),C(4,1),D1,4),所以AB=(4,2),CD=(3,3),则2AB+CD=(5,7).故选C 3.在口ABCD中，若AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线的交点为O,则CO=() A.()B.（ D.2 【答案】B 【详解】co-54c-号a0+4)-510-35故选：B 4.已知点O(0,0),向量OA=(2,3),OB=(8,-3),点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标 为() A.（-4,-1) B.(4,1) C.(2,-2) D.（-2,2) 【答案】B 【详解】由愿意得亚-}亚，所以O丽-O-(o丽-o网，即0丽-O1+0丽，设P(x川，则 (化)-2,3)+8-3)-4，所以P4)故选：B 5.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(0,1),若ā1(b+),则1=() B.分 C.-2 D.2 【答案】A 【详解】由6=(L0),G=(0.,得万+c=0,),由a1石+©，得1+2-0，所以元=号 故选：A 6.一个物体在三个力F=(2,3),耳=(-1，-4)，耳的作用下，处于静止状态，则耳=() A.(0,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.（-1,1) 【答案】D 9/37 专题6.6平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 【详解】由题意可得F+E+E=0,所以F,=-(区+F,)=-F-E=-(2,3（1,4（1,1)故选D 【变式训练】 1.已知a-1五=，2)，a+i=4,-10),则a等于() A.(-2,-2) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2) 【答案】D 【详解】因为a-五=1,2》，所以2a-6=(2,4),又a+6=4-10), 所以2a-b+a+b=2,4)+4,-10)=6,-6),所以3a=(6,-6)，a=(2,-2).故选：D. 2.已知平面向量a=(1,2),b=(1-2,2),a1b,则实数1=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】A 【详解】因为a=(1,2),b=(1-元，2)，a⊥i,所以a.b=1×(1-)+2×1=0,解得2=-1，故选：A 3.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(1,),若(2a-)1c,则2=() A.3 B.} C.2 D. 【答案】B 【详解】因为a=(1,2),b=(0,-2),所以2a-i=(2,4)-(0,-2)=(2,6),因为(2a-)1c,c=（-1,2), 所似(2a-)c=-2+62=0,解得入=子故选：B 4.已知向量a,b满足a=(1,2),b+2a=1,-3),且a1b,则实数1=() A.1或 B.1或 c,1或号 D1或号 【答案】D 【详解】a=(1,),b+2a=1,-3),所以b=(1,-3)-2(1,)=(-1,-3-2,因为a1i, 所以a6=-1x1-(3+2)2=0.解得及-1或-故选：D 5.已知AB=(1,2),CB=(3,-4),则4C= 【答案】(4,6) 【详解】AC=AB-CB=(1,2)-(-3,4)=(4,6.故答案为：(4,6) 6.已知平行四边形ABCD中，A1,1),B(-2,3),C(Q-4),则点D的坐标为 10/37专题6.6 平面向量的基本定理及坐标表示 高中数学导学案 专题6.6 平面向量的基本定理及坐标表示 一、知识填空 1.基底 若_______，则_______叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面的任一向量，有且只有一对实数，使. 3.常用结论： (1)三点 ． (2)若，则三点共线⇔ .　 (3)设向量与是平面内两个不共线的向量，若，则 . 4.平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量作 . 5. 平面向量的坐标表示： （1）在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，对平面中的任一向量，有，我们把有序数对 叫做向量的坐标表示，其中叫做向量在轴上的坐标，叫做向量在轴上的坐标，记为. （2）若为坐标原点，，则向量的坐标就是终点的坐标. 6.平面向量运算的坐标表示： （1）已知，则；. （2）若，则. （3）已知，则. （4）设，则 . （5）设，则 . 7.向量共线定理的坐标形式：若，其中，则共线的充要条件为 . 8.中点坐标公式： 线段的端点的坐标分别为，点是线段中点，则的坐标为 . 9．向量的坐标运算常用的公式和结论： （1），则 . （2）若，为的夹角，则 . 自检自纠： 1.不共线 2.不共线 3.（1）共线 （2） （3） 4. 正交分解 5. 6. （1） （2） （3） （4） （5） 7. 8. 9. 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量基本定理的应用 【经典例题】 1．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 所以.选：D. 2．如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点为中点得：，因为，所以， 因为， 所以.故选：C 3．在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，作图如下所示，由题意得，.故选：A. 4．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在“赵爽弦图”中，若，所以， 所以，所以，所以.故选：B. 5．在平行四边形中，为的中点，为的中点，且，若，则__________. 【答案】 【详解】结合题设易知且，则 ，  所以，则.故答案为： 【变式训练】 1．在正方形中，为的中点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以.故选：C. 2．如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以.故选：B. 3．平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是平行四边形，点是对角线的交点，，，，故A正确．故选：A． 4．已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B 5．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作，则，以为邻边作平行四边形，所以，，可得，所以.故选：B. 6．在扇形中，，P是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立坐标系，设扇形半径为1，，则，且，于是，，因为，所以，由，解得，（舍去）.故选：C 7．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】法一：如图①，过点作，，垂足分别是，，因为，所以，又，所以四边形为正方形，所以，又，所以，则，故； 法二：以，所在直线分别为，轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，设，则， 因为，所以，，由，得，解得，故.故选：A 【巩固练习】 1．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，即，所以．故选：A 2．在等腰梯形中，．M为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点N，连接，∵，∴，．又M是的中点，∴，且，∴， 故选：B． 3．如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点，连接，因为是平行四边形，是中点，则且，所以是平行四边形，所以，又，则，，所以. 故选：C．   4．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】如下图所示，延长交于点，易知为的中点，且，又，因为，且不共线，所以可知； 因此.故选：B 5．如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，因为为的中点，所以，则，所以. 故选：A 6．（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】在中，，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确． 故选：ABC． 7．如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则_______ 【答案】 【详解】由题意，设 ，， 取 中点 ，则 ，重心 在中线 上，且 ，故， 为 边上靠近 的四等分点， 即 ，而 ，所以，由，得：因此故答案为： 8．在中，，，点满足，若，则的值为______． 【答案】 【详解】， 因为，所以，解得.故答案为：. 【经典例题】地 城 考点02 平面向量线性运算的坐标表示 1．若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以.故选：D 2．已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可得，所以，则.故选C 3．在中，若，，对角线的交点为O，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选：B 4．已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，所以，即，设，则，所以.故选：B 5．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由，，得，由，得，所以. 故选：A 6．一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，所以.故选D 【变式训练】 1．已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又， 所以，所以.故选：D. 2．已知平面向量，，，则实数（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，，，所以，解得，故选：A 3．已知向量，，，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，因为，， 所以，解得，故选：B 4．已知向量满足，且，则实数（    ） A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或 【答案】D 【详解】，所以，因为， 所以，解得或，故选：D. 5．已知，，则____________． 【答案】 【详解】．故答案为： 6．已知平行四边形中，，则点的坐标为___________. 【答案】 【详解】因为平行四边形中，所以，又，设，则，所以，则，解得，所以点的坐标为.故答案为：. 7．已知的三个顶点的坐标分别为，，，且在点、、处分别放置质量为1kg､2kg､1kg的物体，则此时重心的坐标为___________. 【答案】 【详解】设重心的坐标为，的中点为，连接，因为是的重心，所以，因为，所以，所以， 所以，可得，所以重心的坐标为，故答案为：. 8．已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，由，解得，即.故选：A. 9．在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，因为边的中线为，所以，因为P为上靠近A的三等分点，所以，所以点P的坐标为.故选：B. 10．若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，，可知，又因为向量在基底，下的坐标为，则，所以在基底， 下的坐标为.故选：C. 11．在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）   A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【详解】在中，，则，设内切圆半径为r，则，可得，以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.   可得，令，则点P在直线上，因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点.由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确.故选：B. 【巩固练习】 1．已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 【答案】 【详解】已知向量，，所以.故答案为：. 2．已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】易知，由可得，即，解得.故选：C 3．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则____________．． 【答案】 【详解】，因为点是的中点，所以，所以．因为，所以． 故答案为： 4．已知，，，，且，则______，_______． 【答案】 4 【详解】，，又，即，解得故答案为：，. 5．已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点在线段的延长线上，又，设,则，.故选：D. 6．（多选）设点，，若点P在直线上，且，则点P的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为点，，所以，设，所以，因为，且因为点P在直线上，所以或，故或,即或，计算得或，故P点坐标为或.故选：AB. 7．（多选）已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设，则，当点P靠近点时，，则，解得，所以，当点P靠近点时，，则， 解得，所以，故选：AD 8．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 【答案】(2，4) 【详解】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴,设点D的坐标为(x，y)，则，，∴，∴，解得，∴点D的坐标为(2，4). 故答案为：(2，4). 9．在中，顶点的坐标为，边的中点的坐标为，则的重心坐标为______． 【答案】 【详解】设的重心为，则，因为，，所以，即，解得，即，即的重心坐标为.故答案为： 【经典例题】地 城 考点02 平面向量中的共线问题 1．已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，存在，使得，因不共线，则有，解得.故选：D. 2．（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解，故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 3．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为，，，所以，因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即，即，解得：.故选：B. 4．已知,则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．正方形或菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】D 【详解】因为，所以且，则，且，则四边形的形状为梯形；又，所以，则四边形为等腰梯形.故选：D. 5．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，，是线段上一点，三点共线，， 解得.故选A. 6．已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【详解】为所在平面上一点，是的中点，动点满足，∵的表达式中和的系数之和为，，，三点共线，又∵是的中点，∴为的边的中线，点的轨迹一定过的重心．故选：D． 【变式训练】 1．（多选）已知向量，，且，则可能的有（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】AD 【详解】因为向量，,所以，．因为，所以，即，解得或． 故选：AD. 2．已知是平面内的一个基底，若向量与共线，则__________． 【答案】1 【详解】 因为与共线，所以存在实数t，使，即，所以，解得．故答案为：1. 3．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A、B、C、D为顶点的凸四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．不能构成平行四边形 【答案】B 【详解】∵＝(－4，3)，＝(8，0)，＝(4，－3)，＝(－8，0)，∴，∴四边形ABCD为平行四边形．故选：B 4．一个平行四边形的三个顶点坐标分别是、、，则第四个顶点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点、、，设第四个顶点为，分以下三种情况讨论： ①若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，此时，点的坐标为； ②若四边形是平行四边形，则，则， 即，解得，此时，点的坐标为； ③若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，此时，点的坐标为. 综上所述，第四个顶点的坐标为或或，所以不可能是，故选：D. 5．如图，在中，，，与相交于点P，若，则________，________． 【答案】 【详解】，P，C三点共线，故设，同理可设，由题可知，又，所以可得，解得，故，所以，．故答案为：； 【巩固练习】 1．已知，， （，是同一平面内的两个不共线向量），则为___________（用，表示） 【答案】 【详解】由题可得.故答案为： 2．设平面向量，，.则使得向量与共线的一组实数x，y的值为______，______. 【答案】 （不唯一） （不唯一） 【详解】因为向量，， ，所以，又因为，且向量与共线，所以，即，故答案为：（不唯一） 3．顺次连接点，，，所构成的图形是（    ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【详解】因为，，，,所以，，∴，且,与不垂直，所以四边形是平行四边形.故选：B. 4．（多选）设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【详解】因为，所以与共线，不能作为基，故A正确；因为，所以和共线，不能作为基，故B正确；设存在实数使得，则，无解，所以和不共线，能作为基，故C错误； 设存在实数使得，则，无解，所以和不共线，能作为基，故D错误；故选：AB 【经典例题】地 城 考点03 平面向量中的最值与范围问题 1．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，，，，，，，三点共线，则.，当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B. 2．在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的直角坐标系，过点C作，垂足为F，因为， 所以有, 设，，因此有 因为，所以有,而，所以，当时，有最大值，当有最小值0，所以的取值范围为，故选：A 3．在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出符合题意的图形，因为，分别是，的中点，所以，， 则，因为点在线段上，设，则，若，则，，所以，当时，有最大值为.故选：C 4．如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】以所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示直角坐标系：设，则根据三角函数定义，，且，同时，由可得： ，也即，，则，， 则，，则，，故，也即的最大值为.故选：A. 【变式训练】 1．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】根据题意，如图，连接，设与交于点，过点作于点，过点作于点，若面积是面积的2倍，即，根据相似三角形的性质可知，，，设，，即，即， ，当且仅当，即时取等号，的最小值为1.故选：A. 2．梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系，设，由， 所以， 则， 所以，令，则 所以，当时，有.故选：B 3．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，，所以. 因为点共线，所以设.所以，化简得.即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以 .所以D错误. 故选：D 4．已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】以点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则 , ,不妨设, , , ,的取值范围为：.故答案为：   【巩固练习】 1．在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则.则，因为， 所以，设，则.所以，所以.因为，所以，即的取值范围是.故答案为：.   2．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______. 【答案】5 【详解】由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则 ，当取得最小值.故答案为：5 3．矩形ABCD中，，，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意，取中点为，则有，，如图所示，当点与点或者点重合时，取最大值，当点与点重合时，取最小值0 故答案为： 4．已知平面直角坐标系内的两个向量，若平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据平面向量基本定理可知，不共线，故，解得.即的取值范围是.故答案为：. 5．（多选）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 【答案】BC 【详解】因为，则，又，，共线，所以，A错误； 由，则，则，当且仅当时取等号，B正确；由，当时，的最小值为，C正确；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9，D错误.故选：BC 【经典例题】地 城 考点04 解答题 1．已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， (1)用，表示向量，； (2)若，求实数的值． 【详解】（1）为中点，，． ． （2），． 与共线，∴存在实数m，使得， 即，即． ，不共线，，解得． 2．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 【详解】（1）因为是的中点，是线段上靠近点的三等分点，所以，， 因为，，所以， （2）证明：因为，所以， 由（1）知，，所以，所以与平行， 又与有公共点，所以，，三点共线. 3．在平行四边形中，. (1)求点的坐标； (2)若为的中点，向量，且，求的值. 【详解】（1）如图所示：   因为，所以，设，则， 因为四边形是平行四边形，所以，所以， 所以点D的坐标为. （2）因为为的中点，所以， 由，且， 所以，所以， 因为，所以，解得. 4．在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【详解】（1）设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，，； （2）由（1）知，、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． 5．在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【详解】（1）因为，所以① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② （1）因为，即 设，代入①则有，因为E，P，F三点共线，     所以，解得，所以. （2）由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 【变式训练】 1．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【详解】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设，则 ， 又， 由平面向量基本定理得所以，解得. 2．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示；(2)求的值. 【详解】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线，所以，则， 所以，故. 3．如图所示，中，，分别为，边上的点且，，连接，，记，求． 【答案】 【详解】设，则． 又，，三点共线， 所以存在使 ． 所以，解得，，所以，故． 4．在矩形中，，，E为边的中点，P为线段上的动点，设向量，求的最大值． 【详解】以A为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图．则，，，设，，，，，， ，．， ，故当，即点P与点E重合时，取得最大值为2． 5．如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． (1)求的值； (2)求的最小值． 【详解】（1）设，因为，所以， 可知， 当时，解得，即，所以. （2）由得， 在中，，所以， 所以， 可知，当且仅当时，即时取等号， 可得，即，所以的最小值为. 6．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【详解】（1）由题， . （2）设·， 因为三点共线，所以，所以； 设， 因为三点共线，所以，所以. （3）由题， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值13. 【巩固练习】 1．如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 2．已知向量不共线，，，其中． (1)若三点共线，求的值； (2)当时，若，用基底表示． 【详解】（1）因为三点共线，则，设， 则有，即， 所以，且，得． （2）当时，，， 因为，；所以 ， 得到，所以． 3．如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 【详解】（1）由向量的减法可得：， 由向量的加法可得：， 因为在平行四边形中，是的中点，所以， 同理：； （2）由， 则，所以，即三点共线. 4．已知坐标平面内三点，，． (1)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【详解】（1）设（），依题意可得， 又，，，所以，， 所以，解得，即. （2）设，， 则，所以，则， 所以， 因为，所以当时取最小值， 当时取最大值， 所以的取值范围为. 三、达标检测 《平面向量的基本定理及坐标表示》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量，，所以.故选：B. 2．已知向量， ，若，则(    ) A．-1或2 B．-2或1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【详解】∵， ， ，∴，∴或，故选：A. 3．设，向量，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，，，则，解得，即， 所以.故选：A 4．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，， 所以在上的投影向量为.故选：. 5．已知向量，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得，所以，故选：B 6．已知向量，，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】将，两式分别平方，得，，两式相减得到，即.故选：D. 7．已知向量，向量在方向上的投影为-4，若，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可知，则，∵在方向上的投影为，∴，则，又，∴，即，即，则，解得：.故选：B. 8．已知矩形中，，，，分别为边，上的动点（包含端点），且满足，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点，以所在直线为轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设M（3，）， ，N，， 则，因为，代入 ，所以，所以 , 因为,所以最小值为.故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A：零向量与任意向量共线，所以向量与共线，不能作为基底，故A不符合题意； B：由，得与不共线，能作为基底，故B符合题意； C：由，得与不共线，能作为基底，故C符合题意； D：由，得与不共线，能作为基底，故D符合题意； 故选：BCD． 10．以，，三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设，若，则，即，解得，即； 若，则，即，解得，即； 若，则，即，解得，即； 故选：AB 11．已知，若为直角三角形，则k可取的值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】AD 【详解】因为，所以， 当为直角时，，所以，所以， 当为直角时，，所以，所以， 当为直角时，，所以，此时无解， 故选：AD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，则__________. 【答案】 【详解】由题知，，所以，故答案为 13．若等边三角形的边长为，平面内一点满足，则的面积为________． 【答案】 【详解】根据题意，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，则，且设，得，，，由于满足，则，即，解得：，则，所以，即的面积为. 故答案为：. 14．在中，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， ，所以，则，令，则，由于对称轴为， 故， 即的取值范围为，故选：D． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $