精品解析：浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期寒假开学数学练习卷（二）

高二数学寒假开学练习卷（二） 出题：余敏杰 一、单选题 1. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可. 【详解】即，故渐近线方程. 故选：A 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义对函数求导代入计算即可. 【详解】易知， 所以. 故选：A. 3. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设数列的公比为，由已知可得，进而计算，得解. 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以. 故选：D. 4. 已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，两式作差，运用平方差公式和直线的斜率公式，以及中点坐标公式，可得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程． 【详解】由题意得：设，都在抛物线上 ，直线还经过， 所以直线方程为 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的方程的运用和点差法求直线方程，考查直线的斜率公式和中点坐标公式的运用，化简运算能力，属于中档题． 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 6. 已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D. 7. 过点可作函数，的三条切线，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点得到，令，，依题意与在上有三个交点，求出函数的导函数，分、、、、五种情况讨论，说明函数的单调性，求出函数的极值，即可得到需满足的条件，从而得解. 【详解】设切点为，又，所以，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，即， 令，，依题意与在上有三个交点， 又， 当，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则与在上不可能有三个交点，故舍去； 同理可得当时与在上不可能有三个交点，故舍去； 当时恒成立，则在上单调递增， 与在上不可能有三个交点，故舍去； 当时，令，解得或， 当或时，当时, 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以且； 当时，令，解得或， 当或时，当时, 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又， ，，， 所以且. 综上可得，可能成立的只有. 故选：C 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 8. 定义若数列的前n项和，数列满足，，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，结合，且恒成立，得到，或者，列出不等式，即可求得取值范围． 【详解】解：因为， 当时，， 当时，，满足上式， 故 因为， 所以即， 所以，即 因为，且恒成立， 所以，或者， 即或者， 解得或者， 所以 故选：B. 二、多选题 9. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示圆 B. 若，则曲线表示抛物线 C. 若，则曲线表示椭圆 D. 若，则曲线表示双曲线 【答案】AD 【解析】 【分析】分，，，，多种情况分别对进行变形，对照圆、抛物线、椭圆、双曲线的方程即可做出判断. 【详解】若，，表示以为圆心，半径为的圆,故A正确，但C不正确； 若，则，时，表示两条直线，时不表示任何图形；若，则，时，表示两条直线，时不表示任何图形.故B不正确； 若，则表示焦点在轴上的双曲线；若，则表示焦点在轴上的双曲线.故D正确. 故选：AD. 10. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆，恒有公共点 B. 圆，至多有三条公切线 C. 若圆平分圆的周长，则 D. 若圆平分圆的周长，则的最小值为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两圆方程的常数项都为0，可知两圆都过原点，且知两圆一定不外离，由此判断A、B；由题中条件，得到公共弦所在直线过点，求出公共弦所在直线方程并代入点列出方程即可判断C；利用C中得到的的关系将转化为二次函数即可求解判断D. 【详解】解：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 对于A，圆和圆都一定过原点，则圆，恒有公共点，故A正确； 对于B，由选项A可得两圆一定不外离，所以公切线至多有三条，所以B正确; 对于C，圆平分圆的周长，则两圆的公共弦必过圆的圆心， 联立，整理可得， 所以，即，所以C不正确; 对于D，由C可得，即， 所以， 当时的最小值为9，所以D正确. 故选：ABD. 11. 设函数，则（） A B. 当时， C. 当时， D. 当，时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先确定的范围，结合对数函数性质判断A，判断函数的单调性，结合单调性判断B，举反例判断C，分别在，条件下结合函数单调性，幂函数性质证明，判断D. 【详解】对于A，由有意义可得， 所以，， 所以， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 若，则，， 所以， 所以，B正确； 取，， ， 所以，故，C错误； 当时，. 当时，不妨设， ①当时，， 所以， 设，， 则，设，， 则， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 所以， ②当时，， ， 设，， 则，所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以，，， 所以，即， 所以， ③当时， 若，则， 由②知，， 所以，故， 若，则， 由①知，， 所以，故， 若，则， ，，所以 综上可知，，都有，D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：选项D的判断的关键在于将命题转化为命题的判断，再通过分区间同理，结合幂函数的性质判断结论. 三、填空题 12. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点面距公式求得正确答案. 【详解】, 到平面的距离为. 故答案为： 13. 已知数列满足，，则的前20项和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式分别计算各项求解前20项和即可. 【详解】数列满足，， 则 . 故答案为：. 14. 若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，当时，，可得必过第一、第三、四象限，问题转化为只需不经过第二象限，即当时，恒成立，分和讨论求解. 【详解】因为，，当时，，故必过第一、第三、四象限， 所以只需不经过第二象限， 当时，，由，可得恒成立， 当时，上式成立， 当时，取，不合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列满足：，其前项和为． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解； （2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明. 【小问1详解】 由题意每一项都不为零．由得， 又， 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故； 【小问2详解】 对于任意的正整数，因为，所以， 求和得到． 16. 已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. （1）求实数的取值范围； （2）直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数的取值范围； （2）根据成立，得出，结合韦达定理计算求参. 【小问1详解】 由，得， 由，得成立. 设，则， 因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点， 所以，即， 所以，综上得， 解得. 小问2详解】 令得，依题意， 因为，且， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，计算得，又因为， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，分别在棱上，为线段的中点. （1）若是的中点，求与平面所成角的正弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【小问1详解】 因为底面是正方形，为线段的中点，侧棱底面， 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系； 则， 由题意，是的中点，则， 故， 设平面的法向量为，则， 令，得； 记与平面所成角为，则， 故与平面所成角正弦值为. 【小问2详解】 ，故， 故；又平面， 平面，故平面， 故平面的法向量， 平面的法向量， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知为实数，函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）函数在上单调递减，在单调递增 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）设，求导得，令，分和讨论，验证； （3）由（2），当时，，令，可得，得，求和得证. 【小问1详解】 由， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 设，， 则，，令， ①当即时，令，故在上单调递增， 故，所以在上单调递增，故，符合题意； ②当即时，当时，，即单调递减， 故，单调递减，故，不符合题意； 综上，. 【小问3详解】 由（2），当时，，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以， 即. 19. 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. （1）求抛物线的方程； （2）设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由题意求出即可得解； （2）①①设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出点的坐标，将用替换，可得点的坐标，再根据斜率公式化简即可得证； ②联立直线与圆的方程，求出点的坐标，即可求出，将用替换，可得，再根据四边形的面积化简整理即可得解. 【小问1详解】 由题意可得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 ①设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得，解得或， 所以， 将用替换，可得， ， 则，， 所以， 所以为定值； ②联立，消得， 解得或， 所以， 所以， 将用替换，可得， 故四边形的面积 ， 令， 则， 所以， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为， 所以四边形面积最小值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学寒假开学练习卷（二） 出题：余敏杰 一、单选题 1. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A. 7 B. C. D. 4. 已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（ ） A B. C. D. 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ） A B. C. D. 1 6. 已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 7. 过点可作函数，的三条切线，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 定义若数列的前n项和，数列满足，，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示圆 B. 若，则曲线表示抛物线 C. 若，则曲线表示椭圆 D. 若，则曲线表示双曲线 10. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A 圆，恒有公共点 B. 圆，至多有三条公切线 C. 若圆平分圆的周长，则 D. 若圆平分圆周长，则的最小值为9 11. 设函数，则（） A. B. 当时， C. 当时， D. 当，时， 三、填空题 12. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为 _____． 13. 已知数列满足，，则的前20项和为__________. 14. 若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是___________． 四、解答题 15. 已知数列满足：，其前项和为． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）证明：． 16. 已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. （1）求实数的取值范围； （2）直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，分别在棱上，为线段的中点. （1）若是的中点，求与平面所成角的正弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知实数，函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 19. 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. （1）求抛物线的方程； （2）设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $