精品解析：浙江浙南名校联盟2025-2026学年高二下学期返校数学练习试题

高二数学练习 考生须知： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，那么（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的性质和计算公式，直接计算即可求解. 【详解】由，得，即， 整理得，解得或（舍去）. 故选：C 2. 已知，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由已知 ， 解得. 3. 若展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合常数项的意义即可求解. 【详解】对于，第项为： ， 其中，， 根据题意可知的指数为，即，得，所以必须是的正整数倍， 对比选项： 选项中只有满足，故C正确. 4. 若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的性质即可求解. 【详解】由双曲线方程为 ，可得 ， 由题意焦距 ，得 ， 根据双曲线性质 ，代入得 ，解得 ，即 ， 焦点在轴的双曲线渐近线方程为 ，整理得 . 5. 已知等比数列的前n项和为，且首项，公比为q，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式进行计算，结合作差法即可得到判断. 【详解】由于等比数列的公比 对于A，，指数是偶数，故，结合得，故A正确； 对于B，若，不等式等价于： ， 由，解得， 故取反例，满足，此时， 即不等式不成立，故B错误。 对于C，当时，；当时，， 若，分子分母均负，负负得正；若，分子分母均为正，结果为正； 若，分子分母均为正，结果为正；因此恒成立，故C正确； 对于D，作差得：， 因为，所以，结合，可得，即，故D正确. 6. 有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（ ） A. 90 B. 120 C. 270 D. 720 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数乘法原理来求解即可. 【详解】先给第1列选2人，从6人中选2人后，仅需把矮的放前排、高的放后排，只有1种符合要求的排法，共种选法， 再给第2列从剩余4人中选2人，同理也只有1种排法，共种选法， 最后剩余2人自动为第3列，仅1种排法，即， 即总站法数为： . 7. 已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 8. 函数在区间上极大值点个数为（ ） A. 49 B. 50 C. 99 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法可将问题转化为在上的极小值点的个数，利用导数结合正切函数的图像可得后者极值点的个数. 【详解】令，故在区间上极大值点个数即为在上的极小值点的个数. 而 ，令，则， 故，故极值点的个数即为方程在上的变号零点的个数. 令，方程在上的变号零点的个数即为在上变号零点的个数， 考虑在上交点个数， 因为当时，，故在上无交点， 如图，在， 在上无零点， 故在上共有不同的变号零点 所以方程在上共有不同的变号零点， 设它们为，则，， 当，其中，， 此时，故，故此时, 当，其中， 此时，而，故此时, 故为的极大值点，共49个， 所以在区间上极大值点个数为49个. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 10. 如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（ ） A. 存在x，y，使得P在直线上 B. 当时，P平面内 C. 当时，平面 D. 存在x，y，使得平面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基底来表示空间向量，结合向量的线性运算和空间向量共面定理，即可作出推断. 【详解】 设， 则， 所以， 要使得P在直线上，则， 则满足，解得， 这与已知条件相矛盾，故A错误； 当时，，则， 要使得P在平面内，则满足， 因为则， 所以，解得，即存在满足，故B正确； 当时，， 所以共面，且它们有公共点，即可得平面， 又因为平面平面，所以平面，故C正确； 要使得平面，则只需要证明平面， 即假设存在使得：， 又因为，所以， 因为，即不存在x，y，使得平面，故D错误. 11. 已知正项数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用数列的单调性，结合不等式的放缩思想即可化归求解并作判断. 【详解】由可知：，故单调递减，A正确； 由A知，故当时， ，即，B错误； 由A知，故，即， 进而，C正确； 由条件可得， 故，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求得函数y的导数，可得x＝1处切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】y＝x3的导数为y′＝3x2， 即有曲线在x＝1处的切线的斜率为5， 切线方程为y+1＝5（x﹣1）， 即为5x﹣y﹣6＝0， 故答案为5x﹣y﹣6＝0． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的应用，考查运算能力，属于基础题． 13. 已知过点的直线与过点的直线相交于点M，若的斜率与的斜率的差是2，则M到坐标原点O的距离的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用设交点坐标来求轨迹方程，然后利用两点间距离公式，消元转化为二次型函数求最小值. 【详解】设交点，则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，代入可得：  ， 即的轨迹为抛物线（）, 由点到原点的距离， 将代入得：  ， 令，则，这是开口向上的二次函数，对称轴为， 在处取最小值：  ，因此， 此时由，符合定义域要求，即为所求最小值. 14. 某校高一年级甲、乙、丙三位同学从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术共七门学科中选择三门作为高考选考科目，若其中任何两人恰有一门选考科目相同，则共有_______（用数字作答）种不同的选科方法． 【答案】5670 【解析】 【分析】利用分步分类计数原理来计数即可. 【详解】第一步：甲从7门学科中选3门，共  种选法； 第二步：因为乙和甲恰有1门相同，因此从甲3门中选1门，再从甲没选的4门中选2门，共  种选法； 第三步：最后选丙的3门选科，要分两类计数， 设甲乙共同选的科目为，甲除外的两门为，乙除外的两门为，这5个科目互不相同，还剩余2个科目， 情况1：丙也选了公共科目 ，此时丙不能再与甲、乙有其他重复科目，只能从剩余2门科目中选，共  种选法； 情况2：丙不选公共科目 ，则丙需要和甲共1门（从中选）、和乙共1门（从中选），第三门从剩余2个科目中选，共  种选法； 因此丙共有  种选法； 根据分步计数乘法原理可得：总方法数 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，圆． （1）求经过点M且斜率为1的直线被圆C截得的弦AB的长； （2）求经过点M且与圆C相切于点的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，直线AB方程为， 又圆， 则圆心，所以圆心C到直线AB距离为， 故弦长． 【小问2详解】 设所求圆心为点D，由两圆相内切于点，可知D是线段MN的中垂线与直线CN的交点， 由，，可得线段MN中垂线的方程为： ， 由，，可得直线的方程为： ， 联立两方程求解得：，即点D的坐标为， 则， 故所求圆的方程为． 16. 如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，，E，F分别是棱，的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线EF与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法来求点到线的距离即可； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 取BC中点O，由，结合菱形，可知，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面ABC， 由于底面是等边三角形，所以， 则建立如图空间直角坐标系， 根据已知条件可知：，， 所以，， 所以点到直线EF的距离为． 【小问2详解】 根据已知条件可知： 则， 设是平面的法向量， 则， 令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线EF与平面所成角的正弦值为． 17. 已知数列的前n项和为分别为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）利用前项和与通项公式的关系，转化为通项公式方程组求解，并检验首项即可； （2）利用错位相减法来求和即可. 【小问1详解】 由，得． 两式相减得，① 又，② ①+②得，②-①得， 又，所以,满足上两式， 故的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 令③ 所以．④ 由④-③得， ， 所以. 18. 已知点为抛物线的焦点，过点F且斜率不为0的直线l交抛物线于A，B两点，过点A与l垂直的直线与抛物线的另一交点为M，过点B与l垂直的直线与抛物线的另一交点为N． （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）证明：M和N位于直线l的同侧； （3）设直线l与直线MN的交点为T，试问点T是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1），准线方程为 （2）证明见解析 （3）T在定直线上 【解析】 【分析】（1）利用抛物线方程即可求解； （2）利用直线与抛物线联立求交点坐标，然后转化为证明即可； （3）利用直线与直线联立求交点坐标，即可判断交点在直线上. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，故， 所以抛物线标准方程为，抛物线的准线方程为． 【小问2详解】 设A，B坐标分别为，直线l的方程为， 联立l与抛物线方程，可得， 设， 直线的方程为与抛物线方程联立得， 同理，设，可得， 要证M，N位于l的同侧，即证， 而， 故M，N位于l的同侧． 【小问3详解】 直线MN的方程为，即， 代入与得， 再代入韦达定理知该直线方程为， 与l的方程联立， 解得， ， 即点在定直线上． 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）若实数，设函数． ①证明：函数有唯一极值点； ②设是的极值点，且是的最小零点，为的导函数，证明：． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用求导来判断单调性可求最小值； （2）①利用函数极值点等价于导数的零点，再对导函数构造函数求导分析单调性，即可证明； ②把要证明不等式等价转化为，从而构造函数证明单调性即可. 【小问1详解】 求导得：， 当时，，当时，， 故在时单调递减，在时单调递增， 所以的最小值为． 【小问2详解】 ①由题意得，， 所以 令， 则， 由（1）知，则，故在时单调递增， 由于，则， 故存在唯一的正实数，使得，即， 且由的单调性知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 故是的唯一极小值点，即函数有唯一极值点得证． ②令， 则 由，可知，故在时单调递增， 而当时，由（1）知 ， 又有，故， 由的单调性知， 所以， 又， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学练习 考生须知： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，那么（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 3. 若展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的前n项和为，且首项，公比为q，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D 若，则 6. 有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（ ） A. 90 B. 120 C. 270 D. 720 7. 已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 函数在区间上极大值点个数为（ ） A. 49 B. 50 C. 99 D. 100 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 2 10. 如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（ ） A. 存在x，y，使得P在直线上 B. 当时，P在平面内 C. 当时，平面 D. 存在x，y，使得平面 11. 已知正项数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 13. 已知过点的直线与过点的直线相交于点M，若的斜率与的斜率的差是2，则M到坐标原点O的距离的最小值为_______． 14. 某校高一年级甲、乙、丙三位同学从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术共七门学科中选择三门作为高考选考科目，若其中任何两人恰有一门选考科目相同，则共有_______（用数字作答）种不同的选科方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，圆． （1）求经过点M且斜率为1的直线被圆C截得的弦AB的长； （2）求经过点M且与圆C相切于点的圆的方程． 16. 如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，，E，F分别是棱，的中点． （1）求点到直线距离； （2）求直线EF与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列前n项和为分别为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知点为抛物线的焦点，过点F且斜率不为0的直线l交抛物线于A，B两点，过点A与l垂直的直线与抛物线的另一交点为M，过点B与l垂直的直线与抛物线的另一交点为N． （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）证明：M和N位于直线l的同侧； （3）设直线l与直线MN的交点为T，试问点T是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）若实数，设函数． ①证明：函数有唯一极值点； ②设是的极值点，且是的最小零点，为的导函数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $