专题4 高分进阶1 体育比赛与闯关问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

　　此类问题主要涉及体育比赛或闯关问题中的2n－1局n胜制(n≥2，n∈N*)、连胜制及比分差距制等，考查题型既有选择题、填空题也有解答题，难度中等偏上． 类型一　2n－1局n胜制(n≥2，n∈N*) [例1]　某种体育比赛采用五局三胜制，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，则该方获胜且比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲、乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以3∶1获胜的概率； (2)如果还有三局两胜制可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【解】　(1)若甲以3∶1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2∶1， 所以所求概率P＝C×()2××＝. (2)采用五局三胜制，甲会以3∶0，3∶1，3∶2获胜，所以采用五局三胜制甲获胜的概率为 P1＝()3＋＋C×()2×()2×＝. 采用三局两胜制，甲会以2∶0，2∶1获胜，所以采用三局两胜制甲获胜的概率为 P2＝()2＋C×××＝＝， 因为＞，所以五局三胜制对甲更有利． (1)一旦某方获得n次胜利即终止比赛，若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到n胜． (2)若甲每局获胜的概率为p，则2n－1局n胜制问题可以看成n重伯努利试验，利用二项分布的公式求解：P(甲胜)＝pn＋Cpn(1－p)＋Cpn(1－p)2＋…＋Cpn(1－p)r+1＋…＋Cpn(1－p)n-1. 类型二　连胜制 [例2]　甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)用X表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量X的分布列和均值． 【解】　用事件Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3，4，5. (1)用事件A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝()2＋×()2＋××()2＝. (2)X的所有可能取值为2，3，4，5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋ P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 连胜制的规则特点是：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有达到m场某方连胜． 类型三　比分差距制 [例3]　甲、乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲、乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛．比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束(不管该轮比赛有没有完成).已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为p.第一轮投篮后甲、乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲、乙两人的投篮总次数为n(n＞2且n∈N*). (1)求p； (2)求在n＝3的情况下，乙获胜的概率； (3)求甲在3轮比赛之内(含3轮)获胜的概率． 【解】　(1)由题意可知×p＝，所以p＝. (2)当n＝3时，甲、乙两人共投篮3次， 由于比赛结束，故有一人投篮2次全进，另一人投篮1次未进， 设事件A＝“当n＝3时，比赛结束”，B＝“乙获胜”， P(A)＝×××＋×××＝， P(AB)＝×××＝，P(B|A)＝＝＝. 故在n＝3的情况下，乙获胜的概率为. (3)若甲在3轮比赛之内(含3轮)获胜，则两人可能的投篮总次数为3，4，5，6， 设事件C＝“甲获胜”，Ai＝“n＝i时比赛结束”，i＝3，4，5，6. 当n＝3时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：甲进，乙不进，甲进， 所以P(A3C)＝×××＝. 当n＝4时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：乙不进，甲进，乙不进，甲进，则P(A4C)＝××××＝. 当n＝5时，若甲胜，则甲先投篮，两人的投篮情况可能为： 甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进， 所以P(A5C)＝×××××＋×××××＋×××××＝. 当n＝6时，若甲胜，则乙先投篮，两人的投篮情况可能为： 乙不进，甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 乙不进，甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 乙不进，甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进； 乙进，甲进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 所以P(A6C)＝××××××＋××××××＋××××××＋××××××＝.所以甲在3轮比赛之内(含3轮)获胜的概率为P＝＋＋＋＝. (1)规定某方比对方多m分即终止比赛． (2)根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m. (3)实例：如乒乓球和羽毛球的小局比赛． 1．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲、乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为约定连胜两场者赢得比赛，所以比赛6场后甲赢得比赛的情况为：第一场甲胜，第二场乙胜，第三场甲胜，第四场乙胜，第五场甲胜，第六场甲胜，所以所求概率为×××××＝. 2．甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛(每两个球队都要比赛一场)，每场比赛的计分方法是：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分．全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分．则(　　) A．甲胜乙 B．乙胜丙 C．乙平丁 D．丙平丁 解析：选C.甲、乙、丙、丁四支足球队总比赛场次为6场，总得分为6＋5＋4＋1＝16(分)，由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，可知在6场比赛中有2场比赛是平局，即3×4＋2×2＝16，丁得1分，即1＋0＋0＝1，所以丁在3场比赛中有1场是平局；丙得4分，即3＋1＋0＝4，所以丙在3场比赛中有1场是平局；而乙得5分，即3＋1＋1＝5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙胜甲，乙平丙，乙平丁，丙胜丁． 3．(2025·南宁三模)甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主(不包含初始擂主)时，比赛立即结束，该选手获得胜利． (1)若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率； (2)已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率． 解：(1)甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：甲连胜两局，概率为0.6×0.6＝0.36， 乙连胜两局，概率为0.4×0.6＝0.24， 甲胜第一局乙连胜后两局，概率为0.6×0.4×0.6＝0.144， 乙胜第一局甲连胜后两局，概率为0.4×0.4×0.6＝0.096， 设事件A为“比赛在前三局内结束”，则P(A)＝0.36＋0.24＋0.144＋0.096＝0.84，则比赛在前三局内结束的概率为0.84. (2)设事件B为“比赛在第四局结束”，设事件C为“甲最终获胜”，设事件D为“乙最终获胜”． 则比赛在第四局结束且甲最终获胜，只可能是甲胜第一局，乙胜第二局，甲连胜后两局，故P(BC)＝0.6×0.4×0.4×0.6＝0.057 6. 比赛在第四局结束且乙最终获胜，只可能是乙胜第一局，甲胜第二局，乙连胜后两局，则其概率为P(BD)＝0.4×0.4×0.4×0.6＝0.038 4，故P(B)＝P(BC)＋P(BD)＝0.057 6＋0.038 4＝0.096， 故比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率为P(C|B)＝＝＝0.6. 学科网（北京）股份有限公司 $