专题4 小题考法2 概率 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 一、单项选择题 1．已知P(A)＝0.4，P(A|)＝0.3，P(A|B)＝0.8，则P(B)＝(　　) A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 解析：选A.因为P(A)＝P(A|)P()＋P(A|B)P(B)， 所以0.4＝0.3×(1－P(B))＋0.8×P(B)，解得P(B)＝0.2. 2．为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件能够中奖的产品．若从一箱中随机抽出2件，能中奖的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.样本点总数为C＝15，符合条件的样本点有 C＋CC＝9(个)， 则能中奖的概率P＝＝. 3．(2025·肇庆二模)小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬互不影响，则小王被表扬的概率为(　　) A． B． C． D．1 解析：选C.记“小王受到爸爸表扬”为事件A，“小王受到妈妈表扬”为事件B，“小王受到表扬”为事件D， 则P(D)＝1－P()P()＝1－×＝. 4．(2025·唐山一模)已知随机变量X～N(μ，σ2)，σ＞0.若P(X＜μ＋σ)＝p，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝(　　) A．1－p B．2－2p C．p－ D．2p－1 解析：选D.因为X～N(μ，σ2)，σ＞0且P(X＜μ＋σ)＝p， 所以P(X≥μ＋σ)＝1－p， 根据正态曲线的对称性，可得P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)＝1－p， 所以P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝1－P(X≤μ－σ)－P(X≥μ＋σ)＝1－2(1－p)＝2p－1. 5．(2025·上饶一模)将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，共有A＝24种放法，4个凹槽与其放入小球编号互不相同的有C·C＝9种放法，所以至少有1个凹槽与其放入小球编号相同的概率是P＝1－＝. 6．(2025·南阳一模)已知袋中有除颜色外完全相同的5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)＝(　　) A．C()10×()2 B．C()9()2× C．C()9×()2 D．C()9×()2 解析：选B.当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝C()9()2×. 7．(2025·石家庄一模)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收到的信号为0”，则事件＝“发送的信号为1”，事件＝“接收到的信号为1”．由题意得P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.05，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475， P(|B)＝＝＝. 8．(2025·衡阳一模)某城市随机选取n个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%，则至少需要选取的人数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C.已知有12个生肖，按先后顺序选择n个人，每次选中的人的生肖有12种可能，由分步乘法计数原理共有12n种情况，若选取n个人中生肖均不相同，有A(2≤n≤12)种可能的情况，故选取n个人中生肖均不相同的概率Pn＝， 要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%，即Pn<50%， 当2≤n≤11时，＝＞1，即Pn随n的增大而减小， P4＝＝＝＞50%，P5＝＝×＝＜50%，故至少要选5个人． 二、多项选择题 9．(2025·永州一模)已知A，B，C为随机事件，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则下列说法正确的有(　　) A．若A，B相互独立，则P(AB)＝0.2 B．若A，B相互独立，则P(A∪B)＝0.9 C．若A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) D．若B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 解析：选AD.对于A，若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，故A正确；对于B，若A，B相互独立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)＝0.5＋0.4－0.2＝0.7，故B错误； 对于C，若A，B，C两两独立，由独立事件的乘法公式得，P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，无法确定P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，故C错误； 对于D，若B，C互斥， 则P(BC)＝0，P((B∪C)A)＝P(BA)＋P(AC)， 两边同时除以P(A)得，＝＋， 即P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，故D正确． 10．(2025·厦门一模)某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则(　　) A．P(AB)＝ B．P(B|A)＝ C．P(A)＝P(B) D．P(A∪B)＝ 解析：选BCD.对于A，由题意得，P(AB)＝＝＝，故A错误； 对于B，由题意得，P(A)＝＝＝， 所以P(B|A)＝＝，故B正确； 对于C，对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， 所以P(B)＝＝＝， 所以P(A)＝P(B)，故C正确； 对于D，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，故D正确． 11．(2025·淄博一模)已知随机变量X～N，令函数f(x)＝P(X≥x)，则下列选项正确的是(　　) A．f(1)＝ B．f(x)是增函数 C．f(x)是偶函数 D．f(x)的图象关于点中心对称 解析：选AD.对于A，因为X～N，所以f(1)＝P(X≥1)＝，故A正确； 对于B，若x＞1，当x增大时，函数f(x)＝P(X≥x)减小， 所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数，故B错误； 对于C，f(1)＝P(X≥1)＝，f(－1)＝P(X≥－1)＞，故C错误； 对于D，若f(x)的图象关于点中心对称，则f(x)＋f(2－x)＝1，因为X～N，所以正态曲线关于直线x＝1对称， 所以P(X≥x)＝P(X≤2－x)， 则f(x)＋f(2－x)＝P(X≥x)＋P(X≥2－x)＝P(X≤2－x)＋P(X≥2－x)＝1，故D正确． 三、填空题 12．(2025·江西一模)已知随机变量X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＋P(X≥4)＝0.6，则P(3≤X＜4)＝________． 解析：因为X～N(3，σ2)，P(X≤2)＋P(X≥4)＝0.6， 所以P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.3， 所以P(3≤X＜4)＝P(X≥3)－P(X≥4)＝0.5－0.3＝0.2. 答案：0.2 13．已知三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是________． 解析：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3， 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 不发生故障为事件(A2∪A3)A1，则不发生故障的概率为 P＝P((A2∪A3)A1)＝(1－P(2)P(3))P(A1) ＝[1－(1－P(A2))(1－P(A3))]P(A1) ＝×＝. 答案： 14．(2025·沈阳二模)2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动1个单位长度，共移动3次．则该机器人在有且仅有1次经过(含到达)点M(－1，0)位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________． 解析：设事件A＝“有且仅有1次经过(含到达)点M(－1，0)”，事件B＝“水平方向移动2次”， 按移动到点M(－1，0)的位置需要1次，3次分类讨论． 记L＝“向左移动一个单位长度”，R＝“向右移动一个单位长度”，U＝“向上移动一个单位长度”，D＝“向下移动一个单位长度”， ①若“移动1次到M(－1，0)”为事件A1，则满足要求的是LU(L或U或R)，LL(L或U或D)，LD(L或R或D)，LR(U或D或R)，所以P(A1)＝4×3×()3＝； ②若“移动3次到M(－1，0)”为事件A2，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL，所以P(A2)＝5×()3＝， 所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝. 满足AB的情况有：LU(L或R)，LD(L或R)，LL(U或D)， LR(U或D)，所以P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $