专题1 小题考法1 三角恒等变换、平面向量 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 一、单项选择题 1．(2025·永州三模)已知tan α＝，则sin 2α＝(　　) A．－　 　 B．－　 C．　 　 D． 解析：选C.因为tan α＝，所以sin 2α＝＝＝＝＝. 2．(2025·聊城一模)已知角α∈(0，π)，向量a＝(1，)，b＝(cosα，sin α)，若a∥b，则α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，由a∥b， 得sin α＝cos α＞0，可得tan α＝，故α＝. 3．(2025·江西一模)化简tan 35°＋tan 100°＋tan 35°tan 80°＝(　　) A．tan 65° B．－tan 65° C．1 D．－1 解析：选D.由两角和的正切公式得tan 35°＋tan 100°＝tan (100°＋35°)(1－tan 35°tan 100°) ＝tan 135°(1－tan 35°tan 100°)＝－1×(1－tan 35°tan 100°) ＝tan 35°tan 100°－1， 由诱导公式得tan 80°＝tan (180°－100°)＝－tan 100°， 则原式可化为tan 35°tan 100°－1－tan 35°tan 100°＝－1. 4．(2025·临沂一模)在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若＝λ＋，则λ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意知点D是AB的中点，所以＝＋，又＝λ＋，所以＋＝λ(＋)＋，所以＝＋λ， 又点P在CD上，所以存在实数μ，使得＝μ ， 所以＝，解得λ＝. 5．(2025·福建一模)若sin x＝sin cos x，且x∈(0，π)，则x＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.当x＝时，等式两边不成立，故x≠.对等式进行变形可得tan x＝＝＝tan， 因为函数y＝tan x在和上单调递增， 故x＝. 6．(2025·齐齐哈尔一模)在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，建立如图所示的平面直角坐标系，且A(0，3)，C(3，0)，B(0，0)，＝，＝，则·＝(　　) A．3 B．1 C．2 D．4 解析：选C.设M(x，y)，因为＝，所以(x，y－3)＝(3－x，－y)，解得所以M(1，2)， 又＝＝(1，2)，所以D(2，4)，所以＝(1，－4)，＝(－2，－1)， 所以·＝(－2)×1＋(－1)×(－4)＝2. 7．(2025·杭州一模)已知－＝4，则λ＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选C.由－＝4，可得λ＝cos 10°＝＝＝＝＝. 8．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则欧几里得距离D(A，B)＝；曼哈顿距离d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|；余弦距离e(A，B)＝1－cos (A，B)，其中cos (A，B)＝cos〈，〉(O为坐标原点).若点M(2，1)，d(M，N)＝1，则e(M，N)的最大值为(　　) A．1－ B．1－ C．1－ D．1－ 解析：选C.设N(x，y)，则d(M，N)＝|2－x|＋|1－y|＝1，即|x－2|＋|y－1|＝1，可知|x－2|＋|y－1|＝1表示的图形是以M(2，1)为中心的正方形ABCD，其中A(2，0)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，1)，即点N在正方形ABCD的边上运动， ＝(2，1)，＝(x，y)，由图可知， 当cos (M，N)＝cos 〈，〉取得最小值，即〈，〉最大时，e(M，N)取得最大值． 点N有如下两种可能： ①点N为点A，则＝(2，0)，可得cos (M，N)＝cos 〈，〉＝＝； ②点N在线段CD上运动时，与同向，不妨取＝(1，1)， 则cos (M，N)＝cos 〈，〉＝＝. 因为＞，所以cos (M，N)的最小值为，可得e(M，N)的最大值为1－. 二、多项选择题 9．(2025·黑龙江一模)已知cos αcos β＝，cos (α－β)＝，则(　　) A．sin αsin β＝ B．cos (α＋β)＝－ C．tan αtan β＝14 D．sin 2αsin 2β＝ 解析：选AC.对于A，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋sin αsin β＝，所以sin αsin β＝，故A正确； 对于B，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－，故B错误； 对于C，tan αtan β＝＝＝14，故C正确； 对于D，sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin β·(cos αcos β)＝4××＝，故D错误． 10．在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，·＝－1，E为CD的中点，＝2，则(　　) A．cos ∠DAB＝－ B．＝－ C．||＝ D．AF⊥BF 解析：选BCD.对于A，cos ∠DAB＝cos 〈，〉＝＝－，故A错误；对于B，＝＝(＋)＝＋，＝－＝－，故B正确；对于C，||＝×＝＝ ×＝，故C正确；对于D，·＝(2＋)·(－)＝(22－2－·)＝×(2×22－32＋1)＝0，则⊥，即AF⊥BF，故D正确． 11．(2025·河南模拟)已知O为坐标原点，点P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，A(1，1)，则下列说法正确的是(　　) A．·＝cos (α－β) B．若＝，则||＝|| C．△AOP和△AOQ的面积之和的最大值为1 D．若∠PAO＝，则·＝||2 解析：选ABD.对于A，由题意得，·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)，故A正确；对于B，若＝，则||＝1，又Q(cos β，sin β)，所以Q(1，0)或Q(0，1).若Q(1，0)，则P(0，1)，此时||＝||＝；若Q(0，1)，则P(1，0)，此时||＝||＝，故B正确；对于C，AO＝＝，OP＝＝1，OQ＝＝1，所以S△AOP＋S△AOQ＝AO·OP·sin∠AOP＋AO·OQ·sin ∠AOQ，整理得(sin ∠AOP＋sin ∠AOQ)≤×2＝，当且仅当∠AOP＝∠AOQ＝90°时，等号成立，所以△AOP和△AOQ的面积之和的最大值为，故C错误； 对于D，若∠PAO＝，因为P(cos α，sin α)在单位圆上，当且仅当PA与单位圆相切时，∠PAO取最大值，此时恰为，故△AOP为以OA为斜边的等腰直角三角形，所以·＝×1×＝1＝||2，故D正确． 三、填空题 12．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x).若a⊥(a－b)，则|a|＝________． 解析：方法一：由题意得a－b＝(1，1－2x)，由a⊥(a－b)， 得a·(a－b)＝0，即x＋1－2x＝0，所以x＝1，所以a＝(1，1)，故|a|＝. 方法二：由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即a2＝a·b，将a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)代入，得x2＋1＝x(x－1)＋2x，解得x＝1，所以a＝(1，1)，故|a|＝. 答案： 13．(2025·辽宁一模)已知tan (α＋β)＝3tan β，sin (α＋2β)＝，则sin α＝________． 解析：由tan (α＋β)＝3tan β，可得＝， 所以sin (α＋β)cos β＝3cos (α＋β)sin β， 所以sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝2cos (α＋β)sin β， 因为sin (α＋2β)＝sin [(α＋β)＋β]＝sin (α＋β)cos β＋ cos (α＋β)sin β＝4cos (α＋β)sin β＝， 所以cos (α＋β)sin β＝， 所以sin α＝2×＝. 答案： 14．(2025·黄山二模)已知α，β都是锐角，2α＋β＝，tan αtan ＝2－，则α＝________． 解析：由2α＋β＝，可得α＋＝， 故tan ＝＝， 因为tan αtan ＝2－，代入解得tan α＋tan ＝(－1)， 可将tan α，tan 看成方程t2－(－1)t＋2－＝0的两根，解得t＝2－或t＝1. 因为α，β都是锐角，且2α＋β＝，由 解得＜α＜， 而tan ＝tan ＝＝2－， 故tan α＝1，则α＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $