专题2 小题考法 数列的基本运算 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 一、单项选择题 1．(2025·潍坊一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a3＋a9＝24，则S6＝(　　) A．12 B．14 C．42 D．84 解析：选C.因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a9＝2a6，所以a6＝12. 所以S6＝＝＝42. 2．(2025·济宁二模)已知{an}为等比数列，且a1＝1，则“a5＝2”是“a9＝4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.因为{an}为等比数列，所以a＝a1·a9＝a9. 当a5＝2时，a9＝4，故充分性成立； 当a9＝4时，a5＝±2， 又a1，a5，a9同号，所以a5＝2，故必要性成立． 所以“a5＝2”是“a9＝4”的充要条件． 3．(2025·武汉二模)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为(　　) A．－9 B．－7 C．－3 D．－19 解析：选D.令an＝2n－11<0，因为n∈N*，所以n＝1，2，3， 所以数列{an}的前3项为负数，从第4项起为正数， 所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝－19. 4．(2025·天津一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且4a1，a3，3a2成等差数列，则的值是(　　) A． B． C．9 D．16 解析：选A.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由4a1，a3，3a2成等差数列， 可得2×a3＝4a1＋3a2， 即a1q2＝4a1＋3a1q， 所以q2＝4＋3q， 解得q＝－1(舍去)或q＝4， 所以＝＝＝. 5．(2025·厦门一模)记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a3＋a18>0，S19<0，则(　　) A．S20<0 B．a6＋a17<0 C．a11>0 D．∈(－9，－8) 解析：选C.因为{an}为等差数列，所以a1＋a20＝a3＋a18>0，所以S20＝＝10(a1＋a20)>0，故A错误； 由S19<0得，S19＝＝＝19a10<0，所以a10<0，又a10＋a11＝a3＋a18>0，所以a11>0，故C正确； 因为a10<0，a11＝a10＋d>0，所以d>0，所以a6＋a17＝a11＋a12>0，故B错误； 由解得－10<<－9，故D错误． 6．(2025·昆明二模)已知等差数列{an}，公差为d，a1≠0，前n项和为Sn，记集合M＝{k|ak＝Sk}，若M中有2个元素，则a1，d的关系可以为(　　) A．2a1＋3d＝0 B．2a1－3d＝0 C．3a1＋2d＝0 D．3a1－2d＝0 解析：选A.由ak＝Sk，得a1＋(k－1)d＝ka1＋d， 则(k－1)[2a1＋(k－2)d]＝0， 由M中有2个元素且a1≠0，得关于k的方程2a1＋(k－2)d＝0有大于2的整数解， 方程2a1＋(k－2)d＝0中a1的系数为2，d的系数k－2是正整数， 选项A符合要求，选项B，C，D不符合要求． 7．(2025·临沂一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn>0.99时，n的最小值为(　　) A．49 B．50 C．99 D．100 解析：选D.因为Sn＋nan＝1， 所以当n＝1时，2a1＝1，即a1＝， 当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋(n－1)an－1， 所以(n＋1)an＝(n－1)an－1， 即＝，此时an＝×××…×××a1 ＝×××…×××＝，当n＝1时a1＝也满足该式， 故an＝(n∈N*)，Sn＝1－nan＝1－， 若Sn＝1－>0.99，解得n>99，又n∈N*，所以nmin＝100. 8．已知{an}，{bn}均为正项等差数列，a1＝b1，∀n∈N*，有a1＋a2＋…＋an＝b，若数列{a－kbn}中第3项为最小项，则k的取值范围是(　　) A．[12，24] B．[16，24] C．[12，28] D．[16，28] 解析：选B.设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2， 当n＝1时，a1＝b，又a1＝b1，且a1，b1>0，所以a1＝b1＝1， 当n＝2时，a1＋a2＝b，即1＋1＋d1＝(1＋d2)2，① 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝b，即1＋1＋d1＋1＋2d1＝(1＋2d2)2，② 由①②得d1＝2，d2＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝1＋(n－1)×1＝n. 令cn＝a－kbn＝(2n－1)2－kn＝4n2－(4＋k)n＋1， 因为数列{a－kbn}中第3项为最小项，cn是关于n的二次函数， 其对称轴方程为n＝，根据二次函数性质，对称轴方程应满足≤≤，解得16≤k≤24. 二、多项选择题 9．已知数列{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则(　　) A．q＝2 B．a1＝ C．Sn＝ D．a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12＝1 023 解析：选ABD.根据题意，a1＋a2＋a3＝1，(a1＋a2＋a3)q＝2，两式相除得q＝2，A正确； 又a1＋a1q＋a1q2＝1，即a1＋2a1＋4a1＝1，可得a1＝，B正确； Sn＝＝，C错误； 根据A，可知a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…为首项为1，公比为2的等比数列， 所以a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12 ＝(a1＋a2＋a3)＋(a2＋a3＋a4)＋(a3＋a4＋a5)＋…＋(a10＋a11＋a12) ＝1＋2＋22＋…＋29＝＝1 023，D正确． 10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，…，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a7＝13 B．S8＝97 C．a＋a＋…＋a＝a2 024a2 025 D．a1＋a3＋a5＋…＋a199＝a200 解析：选AD.对于A，由题意，数列的前7项为1，1，2，3，5，8，13，故a7＝13，故A正确； 对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B错误； 对于C，由题意a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，所以an＋1＝an＋2－an， a＝a1a2，a＝a2(a3－a1)＝a2a3－a1a2，a＝a3(a4－a2)＝a3a4－a2a3，…，a＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－an－1an， 所以a＋a＋…＋a＝a1a2＋(a2a3－a1a2)＋(a3a4－a2a3)＋…＋(a2 025a2 026－a2 024a2 025) ＝a2 025a2 026，故C错误； 对于D，由C可知，a1＋a3＋a5＋…＋a199＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a200－a198)＝a200，故D正确． 11．(2025·福建一模)设Qn为数列{an}的前n项积，Qn＋an＝t(t>0)，则(　　) A．当n≥2时，an＝ B．若a2＝a1，则t＝8 C．若t＝2，则{an}为常数列 D．若数列为等差数列，则t＝1或t＝2 解析：选ACD.对于A，当n≥2时，由an＝ ＝，得an＝，A正确； 对于B，当n＝1时，由a1＝Q1，Q1＋a1＝t，可得a1＝，a2＝a1＝；当n＝2时，a2＋a2＝t，将a2＝代入，有＋＝t，又t>0，可得t＝4，故B错误； 对于C，当t＝2时，a1＝1，an＝(n≥2)， 所以an－1＝，因为a1－1＝0，所以a2－1＝0，…，an－1＝0，所以{an}为常数列，故C正确； 对于D，－＝－＝－＝(n≥2)， 若数列为等差数列，则为常数d， ①若d＝0，则an－1＝1(n≥2)恒成立，即an＝1(n≥1)恒成立，所以t＝2； ②若d≠0，则1－an－1＝dt2－dtan－1(n≥2)，所以解得 所以t＝1或t＝2，故D正确． 三、填空题 12．(2025·长沙一模)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，其前n项和为Sn，若S4，Sk，S9成等比数列， 则k＝________． 解析：因为S4，Sk，S9成等比数列， 所以S4S9＝S， 由于数列{an}的通项公式为an＝2n－1， 故{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 所以S4S9＝×＝S， 所以Sk＝36(负值已舍去)， 所以＝36，解得k＝6(负值已舍去). 答案：6 13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，记bn＝(n∈N*)，则b1＋b2＋…＋b99＝________． 解析：由an＋1＝an，得an＝××…××a1＝××…××1＝＝C(n≥2)，而a1＝1也满足该式，故an＝C(n∈N*)， 所以a1＋a2＋a3＋…＋an＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C， bn＝＝＝， 则b1＋b2＋…＋b99＝×(1＋2＋…＋99)＝×＝1 650. 答案：1 650 14．已知在椭圆＋＝1(n∈N*)中，Sn为第n个椭圆中内接矩形的最大面积，则{Sn}的前n项和为________． 解析：对于椭圆＋＝1(a>0，b>0)，由椭圆的对称性可知，其内接矩形如图， 不妨设|AB|＝2p，|BC|＝2q，p，q>0，则B(p，q)， 所以＋＝1， 则1＝＋≥2＝， 所以pq≤，当且仅当＝，即＝＝时，等号成立， 则其内接矩形的面积为S＝2p×2q＝4pq≤4×＝2ab， 即椭圆＋＝1(a>0，b>0)的内接矩形的最大面积为2ab. 对于椭圆＋＝1(n∈N*)， Sn＝2×3n×2n＝2×6n， 易知{Sn}是首项为12，公比为6的等比数列， 所以{Sn}的前n项和为＝(6n－1). 答案：(6n－1) 学科网（北京）股份有限公司 $