专题2 高考提能3 数列与不等式 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 1．已知正项数列{an}中，a1＝，3n+1(an＋1－an)＝2. (1)证明：数列{1＋3nan}是等比数列并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝[log3(1－an)]2，证明：＋＋…＋<7. 解：(1)由3n+1(an＋1－an)＝2得， 3n+1an＋1＝2＋3n+1an， 则1＋3n+1an＋1＝3＋3n+1an＝3×(1＋3nan)， 因为an>0，所以＝3， 又1＋3a1＝1＋3×＝3， 故数列{1＋3nan}是首项为3，公比为3的等比数列． 所以1＋3nan＝3n， 故an＝＝1－()n. (2)证明：由(1)得，bn＝[log3(1－an)]2＝＝n2， 当n＝1时，＝4<7，不等式成立； 当n＝2时，＋＝4＋＝5<7，不等式成立； 当n≥3时，<＝－， 所以＋＋…＋<4[1＋＋(－)＋(－)＋…＋(－)] ＝7－<7， 综上可知，＋＋…＋<7. 2．(2025·湖州一模)已知数列{an}的首项是1，其前n项和是Sn，且an＋1＝an＋2n＋1，n∈N*. (1)求a2，a3的值及数列{an}的通项公式； (2)若存在实数λ，使得关于n的不等式λ＋Sn≤25n，n∈N*有解，求实数λ取得最大值时n的值． 解：(1)因为an＋1＝an＋2n＋1， 所以an＋1－an＝2n＋1， 当n≥2，n∈N*时，an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1， 即an＝2(n－1)＋1＋2(n－2)＋1＋…＋2×1＋1＋1＝n2， 当n＝1时，a1＝1也满足an＝n2， 所以an＝n2， 所以a2＝4，a3＝9. (2)方法一：由题意得λ≤25n－Sn，n∈N*有解． 设bn＝25n－Sn，则λ≤(bn)max. 当n≥2，n∈N*时，bn－bn－1＝25n－Sn－[25(n－1)－Sn－1]＝25－an＝25－n2.当n≤4时，bn－bn－1>0； 当n＝5时，b5＝b4；当n≥6时，bn－bn－1<0. 所以当n＝4或n＝5时，bn取得最大值，最大值为b4＝b5＝25×4－(12＋22＋32＋42)＝70，所以λ≤70， 当实数λ取得最大值时，n的值为4或5. 方法二：由(1)可知Sn＝， 所以λ＋≤25n，n∈N*有解， 所以λ≤25n－＝，n∈N*有解， 令f(x)＝＝＝－－＋x，x>0， f′(x)＝－x2－x＋， 当0<x≤4时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x≥5时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 因为f(4)＝70＝f(5)， 所以λ≤70，当且仅当n＝4或n＝5时等号成立， 所以λ取得最大值时，n的值为4或5. 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝Sn＋2n+1，n∈N*. (1)求证：数列是等差数列； (2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn. ①求Tn； ②若对任意的正整数n，不等式6－Tn<λ·2n恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)证明：因为an＋1＝Sn＋2n+1， 所以Sn＋1－Sn＝Sn＋2n+1， 所以Sn＋1＝2Sn＋2n+1， 所以＝＋1， 所以－＝1，又＝＝1， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． (2)①由(1)得＝1＋(n－1)×1＝n， 所以Sn＝n·2n， 所以bn＝＝n·()n， 所以Tn＝1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋(n－1)·()n-1＋n·()n， 所以Tn＝1×()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)·()n＋n·()n+1， 两式相减得Tn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n+1 ＝－n·()n+1＝2－(n＋3)·()n+1， 所以Tn＝6－(2n＋6)·()n. ②因为6－Tn<λ·2n对任意的n∈N*恒成立， 所以(2n＋6)·()n<λ·2n， 则λ>对任意的n∈N*恒成立． 令Cn＝， 所以Cn＋1－Cn＝－＝＝<0， 所以{Cn}为递减数列， 则当n＝1时，Cn取得最大值，最大值为， 所以λ>. 4．(2025·贵州模拟)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，bn＝. (1)求a2，a3的值； (2)证明{bn}是等比数列，并求其通项公式； (3)证明：(ak－1)<. 解：(1)由数列{an}中，a1＝2，an＋1＝， 可得a2＝＝＝， a3＝＝＝. (2)由an＋1＝， 可得an＋1－1＝－1＝， an＋1＋2＝＋2＝， 所以＝·， 因为bn＝， 所以bn＋1＝bn， 又因为a1＝2， 可得b1＝＝＝≠0， 所以数列{bn}是首项为， 公比为的等比数列， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝. (3)证明：由(2)知bn＝且bn＝， 可得an＝＝＝， 所以an＝1＋， 又＝≤＝，当且仅当n＝1时等号成立， 因此(ak－1)≤＝－<. 学科网（北京）股份有限公司 $