专题04 双曲线11考点5题型（期中复习讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题04 双曲线 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 双曲线定义理解 考点二 求双曲线标准方程 考点三 过两点的双曲线方程 考点四 共焦点的双曲线方程 考点五 由方程表示双曲线求参数范围 考点六 双曲线焦半径及其最值 考点七 与双曲线有关的轨迹问题 考点八 双曲线的顶点、轴 考点九 双曲线的渐近线 考点十 双曲线的对称问题 考点十一 双曲线的离心率 05 重难题型突破 题型一 双曲线的焦点三角形 题型二 双曲线的离心率范围 题型三 双曲线上点与焦点、定点距离的和差的最值 题型四 双曲线的中点弦问题 题型五 双曲线中的范围最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 综合进阶练 从近年江苏省高二期中考试来看，双曲线内容主要考基础考点和基本方法，难易度主要是基础题与适中题，较难题主要出现在解答题第2、3问； 题型上单选题、多选题、填空题、解答题中均可能出现. 选择题、填空题主要考根据方程判断曲线、由方程表示双曲线求参数范围、轨迹判断及求轨迹方程、由基本量求标准方程、共焦点的双曲线方程、离心率及其范围、焦点三角形的周长面积、双曲线的弦、双曲线的中点弦、双曲线的渐近线、双曲线中的范围最值问题等. 解答题的第1问常考求双曲线的标准方程，第2问常考用韦达定理解决直线与双曲线的位置关系（弦长、周长、面积、斜率、定点、定值、范围最值等）. 识记 定义，标准方程，的关系，焦点坐标，实轴，虚轴，顶点，焦半径，离心率，渐近线. 理解 方程表示双曲线的条件，焦点位置对方程的影响，的关系，离心率，渐近线. 应用 直线与双曲线的位置关系，双曲线的弦长，离心率，中点弦，焦点三角形的周长与面积. 考点一 双曲线定义理解 ⚠️概念辨析 一是定值：，为定值； 二是条件：时才是双曲线. 【例1-1】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【例1-2】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【例1-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【例1-4】（多选）（25-26高二上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线方程为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 C．圆与圆恰有3条公切线 D．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线C上有一点，若，则 【例1-5】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则_____． ⚠️避坑指南 ❌ 忽视定值的条件 考点二 求双曲线标准方程 【例2-1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（22-23高三上·江苏苏州·阶段检测）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2-4】（多选）（22-23高二上·江苏·阶段检测）已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（    ） A． B． C． D． 【例2-5】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为_____． 考点三 过两点的双曲线方程 ⚠️记忆口诀 经过两点的双曲线方程可设为：（）； 若是等轴双曲线，则可设为：（）. 【例3-1】（20-21高二·全国·作业）双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【例3-3】（23-24高三上·浙江·开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（23高二上·江苏连云港·期末）过 ， 两点的双曲线的标准方程是______． 【例3-5】（22-23高三下·广东·阶段检测）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为__________． 考点四 共焦点的双曲线方程 ⚠️记忆口诀 与曲线：有相同焦点的双曲线方程可设为：（） 【例4-1】（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（22-23高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-4】（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 【例4-5】（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． ⚠️易混易错 注意焦点在哪条轴. 考点五 由方程表示双曲线求参数范围 【例5-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）若方程表示双曲线，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【例5-3】（25-26高三上·江苏南通·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例5-4】（多选）（24-25高二上·江苏淮安·期中）设m为实数，已知方程，则下列结论正确的是（      ） A．此方程可以表示圆 B．此方程可以表示椭圆 C．若此方程表示双曲线，则焦点一定在x轴上 D．当时此方程不表示任何曲线 【例5-5】（25-26高二上·江苏连云港·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为__________． 考点六 双曲线的焦半径及其最值 【例6-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于（    ） A． B． C．3 D．5 【例6-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 【例6-3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）过点的直线l与圆相切于点M，与曲线交于点R.若FR的中点为N，则（    ） A． B． C． D． 【例6-4】（多选）（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【例6-5】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是_____________． 考点七 与双曲线有关的轨迹问题 【例7-1】（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（21-22高二上·江苏镇江·期中）动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例7-3】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．（在一三象限部分） 【例7-4】（多选）（22-23高二上·安徽阜阳·期末）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ） A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1 C．取值范围是 D． 【例7-5】（24-25高二上·全国·课后作业）过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为______． 考点八 双曲线的顶点、轴 【例8-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【例8-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【例8-3】（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例8-4】（多选）（23-24高二上·江苏扬州·期末）椭圆与双曲线（   ） A．有相同的焦点 B．有相等的焦距 C．有相同的对称中心 D．可能存在相同的顶点 【例8-5】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知等轴双曲线的实轴长为4，则该双曲线的焦距为_______． 考点九 双曲线的渐近线 【例9-1】（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为，则双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【例9-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例9-3】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知点为双曲线：（，）的右焦点，它到双曲线的一条渐近线的距离为，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例9-4】（多选）（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的方程为，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的焦点到其渐近线的距离为 C．若直线与没有公共点，则或 D．若直线与仅有一个公共点，则 【例9-5】（25-26高二上·江苏常州·期中）若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的实轴长为__________. 考点十 双曲线的对称问题 【例10-1】（21-22高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 【例10-2】（23-24高二上·福建厦门·期中）为双曲线的左焦点，双曲线C的右支上的三个不同的点关于y轴的对称点分别为，则的值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【例10-3】（22-23高二上·江苏南通·阶段检测）已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【例10-4】（多选）（24-25高二上·河北保定·期中）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A． B．曲线关于直线对称 C．曲线围成的封闭图形的面积不大于 D．曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大 【例10-5】（22-23高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的焦点为，，点在上且其关于原点的对称点为,，四边形的面积为6，则双曲线的方程为______________． 考点十一 双曲线的离心率 方法技巧：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【例11-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例11-2】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例11-3】（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若是周长为的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例11-4】（25-26高二上·江苏泰州·期中）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．直线与双曲线的一条渐近线垂直 【例11-5】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，若，且，则双曲线的离心率为________. 题型一 双曲线的焦点三角形 【典例1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为3的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 焦点三角形问题常用2个知识列方程组，一是定义中的，二是余弦定理. 【迁移应用】 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 题型二 双曲线的离心率范围 【典例2】（25-26高二上·江苏常州·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【迁移应用】 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 3.（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为___________；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为___________． 题型三 双曲线上点与焦点、定点距离的和差的最值 【典例3】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 三点共线是解题关键. 【迁移应用】 1．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高二下·四川内江·期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3.（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为_______________． 题型四 双曲线的中点弦问题 【典例4】（25-26高二上·江苏常州·期中）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 熟悉点差法是解题关键：代点作差构造斜率解出. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 3.（多选）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，则（　　） A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与没有公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，且点为的中点 题型五 双曲线中的范围最值问题 【典例5】（23-24高二·江苏南京·期中）已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【迁移应用】 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）若方程有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知实数满足，则下列正确的选项有（    ） A．的最小值为 B．的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 基础固本练（限时：15分钟） 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（22-23高二上·江苏宿迁·期中）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（    ） A．若C为椭圆，则，且 B．若C为双曲线，则或 C．若，则曲线C表示圆 D．若C为双曲线，则焦距为定值 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（24-25高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 2．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 双曲线定义理解 考点二 求双曲线标准方程 考点三 过两点的双曲线方程 考点四 共焦点的双曲线方程 考点五 由方程表示双曲线求参数范围 考点六 双曲线焦半径及其最值 考点七 与双曲线有关的轨迹问题 考点八 双曲线的顶点、轴 考点九 双曲线的渐近线 考点十 双曲线的对称问题 考点十一 双曲线的离心率 05 重难题型突破 题型一 双曲线的焦点三角形 题型二 双曲线的离心率范围 题型三 双曲线上点与焦点、定点距离的和差的最值 题型四 双曲线的中点弦问题 题型五 双曲线中的范围最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 综合进阶练 从近年江苏省高二期中考试来看，双曲线内容主要考基础考点和基本方法，难易度主要是基础题与适中题，较难题主要出现在解答题第2、3问； 题型上单选题、多选题、填空题、解答题中均可能出现. 选择题、填空题主要考根据方程判断曲线、由方程表示双曲线求参数范围、轨迹判断及求轨迹方程、由基本量求标准方程、共焦点的双曲线方程、离心率及其范围、焦点三角形的周长面积、双曲线的弦、双曲线的中点弦、双曲线的渐近线、双曲线中的范围最值问题等. 解答题的第1问常考求双曲线的标准方程，第2问常考用韦达定理解决直线与双曲线的位置关系（弦长、周长、面积、斜率、定点、定值、范围最值等）. 识记 定义，标准方程，的关系，焦点坐标，实轴，虚轴，顶点，焦半径，离心率，渐近线. 理解 方程表示双曲线的条件，焦点位置对方程的影响，的关系，离心率，渐近线. 应用 直线与双曲线的位置关系，双曲线的弦长，离心率，中点弦，焦点三角形的周长与面积. 考点一 双曲线定义理解 ⚠️概念辨析 一是定值：，为定值； 二是条件：时才是双曲线. 【例1-1】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 【例1-2】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】双曲线的对称性、双曲线定义的理解 【分析】结合图象，及双曲线的对称性及定义可得答案. 【详解】由题可得.如图，设双曲线右焦点为，因与都关于原点中心对称，则， 后由双曲线的定义知. 故选：D 【例1-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】延长交于点，可得为线段的中点，且，再结合双曲线的定义即可得解. 【详解】由双曲线的对称性不妨设点在双曲线的右焦点，如图，延长交于点， 因为为的角平分线，，所以为线段的中点，且， 又为线段的中点，所以. 故选：B. 【例1-4】（多选）（25-26高二上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线方程为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 C．圆与圆恰有3条公切线 D．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线C上有一点，若，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、判断圆与圆的位置关系、双曲线定义的理解 【分析】根据直线的两点式方程的性质，判断选项A的正误；根据直线截距的概念，判断选项B的正误；根据两圆的位置关系，判断圆的公切线数目和圆上点的距离的最小，判断选项C的正误；根据双曲线定义可求得，再根据或即可得解. 【详解】对于选项A，当或时，无法用两点式表示该直线，所以A错误； 对于选项B，当直线经过点时，直线方程为，即， 当直线不经过点时，设在轴和轴上截距都为a，则，解得， 则直线方程为，即，所以B正确； 对于选项C，圆 标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 可知，且， 所以圆与圆外切，所以有3条公切线，所以C正确； 对于选项D，根据双曲线定义可得，又， 所以或，又，， 而或，所以，所以D正确. 故选：BCD. 【例1-5】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则_____． 【答案】13 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由题意， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在右支上，所以. 故答案为：. ⚠️避坑指南 ❌ 忽视定值的条件 考点二 求双曲线标准方程 【例2-1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据椭圆的长轴端点和焦点，得到双曲线的实半轴长和半焦距，代入双曲线标准方程即可. 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 【例2-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【例2-3】（22-23高三上·江苏苏州·阶段检测）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】在和分别利用余弦定理得，再在利用余弦定理，消去，根据均值不等式求面积最大时的关系，结合双曲线的性质即可求解. 【详解】如图所示；设，，，，则，， 在中由余弦定理得①， 在中由余弦定理得②， 得③， 在中由余弦定理得④， ③④联立消去得， 因为，当面积最大时即最大， 由均值不等式可得， 当且仅当即时等号成立，取得最大值， 此时由④解得，所以， 所以，即为直角三角形，且， 所以在中，解得， 由双曲线的性质可得，解得， 所以双曲线的方程为， 故选：C 【例2-4】（多选）（22-23高二上·江苏·阶段检测）已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】首先求得满足的轨迹方程，再转化为判断直线与双曲线右支有交点，即可求解. 【详解】，所以点是以为焦点的双曲线的右支， 此时，，，， 所以双曲线方程是，， “B型直线”是指直线与双曲线，有交点， A. ，，，且，所以存在正根，即直线与双曲线右支有交点，所以是“型直线”，故A正确； B.是双曲线的渐近线，所以直线不会和双曲线有交点，所以不是“型直线”，故B正确； C.和双曲线，有交点，所以是“型直线”，故C正确； D.联立，代入解得，那么是“型直线”，故D正确. 故选：ACD 【例2-5】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析、利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】由椭圆的定义可知， 所以， 因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 故它的轨迹方程为． 故答案为：. 考点三 过两点的双曲线方程 ⚠️记忆口诀 经过两点的双曲线方程可设为：（）； 若是等轴双曲线，则可设为：（）. 【例3-1】（20-21高二·全国·作业）双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】根据题意可设双曲线方程为，代入两点坐标，解方程即可得解. 【详解】因为双曲线的焦点位置不正确的，所以设双曲线的方程为． 因为，两点在双曲线上，所以，解得， 于是所求双曲线的标准方程为. 故选：B． 【例3-2】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【例3-3】（23-24高三上·浙江·开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为（），代入点，得， 故所求双曲线的方程为，其标准方程为． 故选：A． 【例3-4】（23高二上·江苏连云港·期末）过 ， 两点的双曲线的标准方程是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设出双曲线的标准方程，把点代入方程，求出未知系数即可. 【详解】（方法1）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，解得，所以双曲线方程为． 当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，方程组无解． 综上，双曲线方程为． （方法2）设双曲线方程为， 则，解得，∴所求双曲线方程为． 故答案为： 【例3-5】（22-23高三下·广东·阶段检测）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】分析可知点、在双曲线上，利用不等式的基本性质分析出点不在双曲线上，可知点、、都在双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】因为点、关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，故点、都在双曲线上， 对于点，，，所以，，即点不在双曲线上， 所以，点、、都在双曲线上，所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为.故答案为：. 考点四 共焦点的双曲线方程 ⚠️记忆口诀 与曲线：有相同焦点的双曲线方程可设为：（） 【例4-1】（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求共焦点的双曲线方程 【分析】设双曲线，代入点列方程，解方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线，代入点，得，解得， 故双曲线的方程为，即， 故选：D. 【例4-2】（22-23高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求共焦点的双曲线方程 【分析】设双曲线，代入点列方程，解方程即可求解. 【详解】椭圆的标准方程为，故设双曲线的方程为， 代入点，得，解得， 故双曲线的方程为，即. 故选:A. 【例4-3】（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求共焦点的双曲线方程 【分析】设双曲线，代入点列方程，解方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线的方程为， 代入点，得，解得， 故双曲线的方程为，即. 故选：C. 【例4-4】（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求共焦点的双曲线方程 【分析】设双曲线，代入点列方程，解方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线的方程为， 代入点，得，解得， 故双曲线的方程为，即. 故答案为： 【例4-5】（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的焦点坐标、求共焦点的双曲线方程 【分析】设所求双曲线的方程为，再待定系数求解即可. 【详解】因为所求双曲线与双曲线共焦点， 所以，设所求双曲线的方程为． 因为方程经过点， 所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． ⚠️易混易错 注意焦点在哪条轴. 考点五 由方程表示双曲线求参数范围 【例5-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用双曲线的标准方程即得. 【详解】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【例5-2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）若方程表示双曲线，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用双曲线方程的特征，列出不等式求解即得. 【详解】由方程表示双曲线，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：A 【例5-3】（25-26高三上·江苏南通·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用焦点在轴上的双曲线的定义建立不等式组，求解参数范围，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则,，解得, 得到“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件； 故选：B 【例5-4】（多选）（24-25高二上·江苏淮安·期中）设m为实数，已知方程，则下列结论正确的是（      ） A．此方程可以表示圆 B．此方程可以表示椭圆 C．若此方程表示双曲线，则焦点一定在x轴上 D．当时此方程不表示任何曲线 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据方程的结构特征逐项计算判断即可. 【详解】方程可变形为， 对于A，当时，方程无解，故此方程不可以表示圆，故A错误； 对于B，由，即时，此方程的图形是椭圆，故此方程可以表示椭圆，故B正确； 对于C，由，解得， 所以方程表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当时，，方程无解， 故此方程不表示任何曲线，故D正确. 故选：BCD. 【例5-5】（25-26高二上·江苏连云港·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的特征列出不等式组，求解即得 . 【详解】因方程表示焦点在轴上的双曲线， 则可将其方程化为，需使，解得. 故答案为：. 考点六 双曲线的焦半径及其最值 【例6-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义即可判断选项. 【详解】由得， 所以，即， 设点与另一个焦点的距离为， 因为与它的一个焦点的距离等于1， 所以由双曲线定义知：， 解得（舍）， 所以点与另一个焦点的距离为.所以A正确. 故选：A. 【例6-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义和性质来判断到左焦点的距离． 【详解】对于双曲线，可得，，则， 设该双曲线的左、右焦点分别为、，由题意可知， 又因为，所以这样的不存在. 故选：D. 【例6-3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）过点的直线l与圆相切于点M，与曲线交于点R.若FR的中点为N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】解题的关键在于利用圆的切线性质和双曲线的定义，结合中点坐标公式，将转化为与双曲线的实轴长有关的表达式求解即可. 【详解】双曲线可化为， 可得，，故双曲线的右焦点为， 由过点的直线与交于点，若的中点为, 在中，, 又直线与圆相切于点,，且， 由双曲线的定义可得即 在中，, 因为为的中点，根据题意可知点在线段上，所以, 则. 故选：. 【例6-4】（多选）（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】利用椭圆和双曲线的定理逐个判断即可. 【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误. 故选：AC. 【例6-5】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是_____________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】设点的坐标为，利用双曲线的定义，可得，于是，转化求解即可． 【详解】由题意可得，，即，则，的坐标分别为，， 由双曲线的定义，得， 又是圆上的点，设圆的圆心为，半径为， 由图可知，， 所以， 当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 考点七 与双曲线有关的轨迹问题 【例7-1】（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【详解】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 【例7-2】（21-22高二上·江苏镇江·期中）动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】首先设，半径为，根据动圆与圆，都外切得到，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【详解】圆：，圆心，半径 . 圆：，圆心，半径 . 设，半径为，因为动圆与圆，都外切， 所以， 所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支. 所以，，解得， 即的轨迹方程为：. 故选：D 【例7-3】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．（在一三象限部分） 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以.   已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为.   因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得①. 对于直线的方程，可得②. 由①②可得：若则；若则； 又因为，所以，化为.   综上，和的交点的轨迹方程为（在一三象限部分） 故选：D. 【例7-4】（多选）（22-23高二上·安徽阜阳·期末）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ） A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1 C．取值范围是 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的轨迹方程 【分析】利用相关点法可明确G的轨迹，利用G的轨迹可知的长度的范围，利用内角平分线定理与双曲线定义可得取值范围，利用内角平分线定理与焦半径公式可得. 【详解】设，又，，，即，又是双曲线上一点， ∴，即，故A正确； ∵G的轨迹是双曲线的一部分，实半轴长为，∴，故B错误； 根据内角平分线定理可知，， 又，∴，故C正确； 同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，， ∴，故D正确. 故选：ACD. 【例7-5】（24-25高二上·全国·课后作业）过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为______． 【答案】（且） 【难度】0.4 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】设P及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k的方程，由判别式得出，再由斜率关系计算即可. 【详解】设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则是此方程的两根，，，即， 故，得，而要满足题意需P在圆外，则， 即曲线的方程为（且）． 故答案为：(且) 考点八 双曲线的顶点、轴 【例8-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A 【例8-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据基本量的关系可求实数的值. 【详解】双曲线方程可化为：，其中， 因为实轴长是虚轴长的2倍，故，故， 故选：D. 【例8-3】（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围、求双曲线的焦距、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据基本不等式，结合三者关系，求解即可. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 则，即，又 且,由基本不等式得 ,当且仅当 时等号成立，又，所以, 化简得,解得或（舍去） 因为在双曲线中，（可构成三角形），即, 解得,综上所述，. 【例8-4】（多选）（23-24高二上·江苏扬州·期末）椭圆与双曲线（   ） A．有相同的焦点 B．有相等的焦距 C．有相同的对称中心 D．可能存在相同的顶点 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的顶点坐标、求双曲线的焦点坐标、求双曲线的顶点坐标 【分析】根据椭圆和双曲线方程分别写出焦点坐标，求出焦距，对称中心以及可能的顶点坐标，即可得出结论. 【详解】由椭圆方程可知其焦点坐标为，焦距为，关于原点成中心对称，左、右顶点坐标为； 由双曲线方程可知其焦点坐标为， 因此两曲线焦点不同，即A错误； 焦距为，可得B正确； 双曲线也关于原点成中心对称，即C正确； 当时，双曲线的左、右顶点坐标为，即D正确； 故选：BCD 【例8-5】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知等轴双曲线的实轴长为4，则该双曲线的焦距为_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等轴双曲线、求双曲线的焦距 【分析】根据等轴双曲线的性质求，再求焦距. 【详解】由条件可知，，则，焦距. 故答案为： 考点九 双曲线的渐近线 【例9-1】（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为，则双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由焦距长和渐近线方程列方程组求解得到的值，即可得到双曲线方程. 【详解】因为焦距长为8，所以，即. 而渐近线方程为，所以， 又因为，即，所以， 所以双曲线方程为. 故选：A. 【例9-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：. 故选：D 【例9-3】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知点为双曲线：（，）的右焦点，它到双曲线的一条渐近线的距离为，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】焦点到渐近线的距离即的值，再结合渐近线倾斜角的关系求出的值，进而得到双曲线的方程. 【详解】由题可知，双曲线的一条渐近线为，即，所以， 设为渐近线的倾斜角，为渐近线的倾斜角，所以， 又，，所以，所以， 所以，解得，所以双曲线的方程为， 故选：A 【例9-4】（多选）（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的方程为，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的焦点到其渐近线的距离为 C．若直线与没有公共点，则或 D．若直线与仅有一个公共点，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据双曲线方程求渐近线判断A，利用点到直线的距离判断B，利用直线与双曲线的位置关系，联立的方程利用判别式，判断实数根的方法，即可判断CD. 【详解】对于A，因为双曲线的方程为，其渐近线方程为，即，故A正确； 对于B，由双曲线的对称性，不妨取右焦点，一条渐近线，即， 则焦点到渐近线的距离，故B错误； 对于C，联立消去得，， 若直线与没有公共点，则，解得或，故C正确； 对于D，当直线与双曲线相切时，方程只有一个实数根，， 且，解得， 当直线与双曲线渐近线平行时，，即时，直线与双曲线有且只有一个交点， 综上可知，若直线与仅有一个公共点，则或，故D错误. 故选：AC 【例9-5】（25-26高二上·江苏常州·期中）若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的实轴长为__________. 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出，即可得出双曲线的标准方程，从而得双曲线的实轴长． 【详解】由题意可设该双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 即双曲线的方程为，化为标准方程为， 故双曲线的，所以双曲线的实轴长为． 故答案为：． 考点十 双曲线的对称问题 【例10-1】（21-22高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】双曲线的对称性 【分析】根据双曲线的对称性进行判断即可. 【详解】因为双曲线关于横轴、纵轴、原点对称， 而点关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为、、， 所以只有选项C正确， 故选：C 【例10-2】（23-24高二上·福建厦门·期中）为双曲线的左焦点，双曲线C的右支上的三个不同的点关于y轴的对称点分别为，则的值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】双曲线的对称性、双曲线定义的理解 【分析】利用双曲线的对称性及双曲线的定义求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为， 由双曲线的对称性可知，， 则 ． 故选：C. 【例10-3】（22-23高二上·江苏南通·阶段检测）已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线的对称性、求双曲线的顶点坐标 【分析】由题知，进而结合题意设，再结合，计算即可得答案. 【详解】由题知， 因为圆与双曲线交于两点，所以，根据对称性可设， 所以，，所以， 因为，即，所以 故选：B 【例10-4】（多选）（24-25高二上·河北保定·期中）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A． B．曲线关于直线对称 C．曲线围成的封闭图形的面积不大于 D．曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】利用曲线的方程得到关于的不等式可判断A；利用点关于直线的对称点判断得曲线的对称性，从而判断B；分析曲线与曲线上的两个横坐标相同的点的纵坐标大小关系，从而得到曲线围成的封闭图形的面积情况，从而判断CD. 【详解】对于A，因为曲线， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为曲线，可化为， 设点是曲线上任一点，则其关于对称的点为， 将代入曲线方程，得， 所以曲线关于直线对称，故B正确； 对于CD，因为，所以，则， 设点是曲线上任一点，则， 点是曲线上的一点，则， 则，，故， 易知当时，在其定义域内单调递减， 所以（当且仅当或时，等号成立），故， 又在上单调递增，所以， 故当增大时，横坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的， 又曲线围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大， 即曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大，故D正确， 又当时，曲线为，即其图形是半径为的圆， 此时其面积为，则曲线围成的封闭图形的面积不小于，故C错误. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题CD选项解决的关键在于，分析得两曲线与上的点的情况，从而得到其围成的封闭图形的面积情况，由此得解. 【例10-5】（22-23高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的焦点为，，点在上且其关于原点的对称点为,，四边形的面积为6，则双曲线的方程为______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】双曲线的对称性、三角形面积公式及其应用、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线方程，根据题设可推得矩形，利用四边形的面积为6求出，即得点的坐标，代入双曲线方程，计算即得. 【详解】如图，设双曲线的方程为：，过点作于点， 因点关于原点对称，又，则四边形为矩形， ，由四边形的面积为6，得，因，则， 于是，如图可取, 代入双曲线方程可得，，解得，， 故双曲线的方程为.故答案为：. 考点十一 双曲线的离心率 方法技巧：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【例11-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据离心率公式及的关系，可得的值，代入渐近线方程，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 【例11-2】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】设双曲线的左焦点为，则，再由已知可得四边形为矩形，则可得，再由，得到关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设在右支上，设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以. 【例11-3】（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若是周长为的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理列式得到，再根据离心率公式即可求出. 【详解】设， 两点位于双曲线C的右支上，根据双曲线的定义得，即， ，即， 又是等腰三角形，，即，， 又的周长为，，，即， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又和互补，， 即，化简得， ，又，. 故选：B. 【例11-4】（25-26高二上·江苏泰州·期中）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．直线与双曲线的一条渐近线垂直 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的定值问题 【分析】求出黄金分割比即可判断A，利用点差法判断B，由求出，即可判断C，由渐近线的斜率与直线的斜率的关系，即可判断D. 【详解】对于A，设线段长度为，较大部分为，则较小部分为， 由题知黄金分割比为，且，即，解得或（舍去）， 所以离心率，故A正确； 对于B，设， ，则点， 由，，两式作差得， 则，故B正确； 对于C，，， 若成立，则有，则， 即，所以， 则，解得（负值舍去），不满足题意，故C错误； 对于D，易知，， 则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故D正确. 故选：ABD 【例11-5】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，若，且，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，利用双曲线的定义由，得，再由，余弦定理得，可求离心率． 【详解】由，令，则． 由双曲线的定义可知， ． 由，所以，即， 得，解得． 则有，，， ． 因为，所以． 由余弦定理可得， 所以，得，所以双曲线的离心率. 故答案为：． 【点睛】方法点睛：设，先利用双曲线的定义结合，建立起与的关系，再借助余弦定理建立起与的关系，最后利用离心率的计算公式求解. 题型一 双曲线的焦点三角形 【典例1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为3的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 💡破题要诀 焦点三角形问题常用2个知识列方程组，一是定义中的，二是余弦定理. 【迁移应用】 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设与轴的切点为，由三角形内切圆切线长性质知，即，计算可解. 【详解】已知双曲线，则， 因为，即，所以点在双曲线左支上， 因为直线为内切圆的一条切线， 而也是内切圆的一条切线， 所以可设内切圆的圆心为，半径为， 设与轴的切点为， 由内切圆切线长性质可知，， 而，即，解得. 故选：C 2．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据题意得到，结合双曲线定义得到，，再根据内切圆半径和三角形面积公式得到，，求出双曲线的方程. 【详解】在中，直线的斜率为2，故⊥， 则，故， 又，所以，， 由勾股定理得，所以． 又内切圆半径为， 由三角形等面积法可得， 解得，故，，故双曲线的方程为. 故选：A． 3．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】先根据双曲线的定义结合题干求出的长，再利用余弦定理求出，进而得到，最后通过面积公式即可求出. 【详解】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 题型二 双曲线的离心率范围 【典例2】（25-26高二上·江苏常州·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线方程，可得渐近线方程，设，设PA中点为Q，根据中点坐标公式，可得Q点坐标，根据Q在渐近线上，代入可得，由题意，点P为圆M与直线的公共点，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式，计算化简，即可得答案. 【详解】根据双曲线方程可得，渐近线方程为，即， 设，设PA中点为Q，由，得， 因为Q在渐近线上，所以，即， 所以点P为圆M与直线的公共点， 由题意圆M的圆心为，半径为2， 则圆心M到直线的距离，， 得到，解得. 故离心率的取值范围为. 故选：B 【迁移应用】 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示：设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，，所以，则， 所以，令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即，则，故， 所以，所以双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，由椭圆和双曲线定义表示出线段，，再用余弦定理求得关系，由三个参数的关系式，判断B选项；由两边同除再化简，判断C选项；用离心率公式代入数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项． 【详解】对于A，，是椭圆和双曲线的公共焦点， 双曲线，则焦点在轴，所以椭圆中，     ， ，即，即，故A选项错误； 对于B，由正弦定理可知在中，， ， ， ， 由椭圆和双曲线的定义可知：，解得，， ，即， ， ，故B选项正确； 对于C， ， ，即， ，故C选项正确； 对于D，由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为，故D选项正确． 故选：BCD． 3.（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为___________；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】空一：可用、表示出直线的斜率，结合渐近线斜率与双曲线交点个数计算即可得； 空二：利用内切圆圆心与三角形角平分线的关系可得，则可得为的中点，再利用双曲线定义计算与勾股定理及离心率定义计算即可得. 【详解】空一：设向渐近线作垂线，垂足为H， 则， 由与渐近线平行的直线与双曲线最多一个交点， 而直线与双曲线左右支各有一交点，故， 则，故； 空二：设的内心为，则， 故内心在以为直径的圆上，连接，又， 则，设， 则，所以， 而， 所以，所以，即， 又，所以，即H为的中点， 又，，所以，则， 由双曲线定义可得，所以， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故答案为：；. 题型三 双曲线上点与焦点、定点距离的和差的最值 【典例3】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 💡破题要诀 三点共线是解题关键. 【迁移应用】 1．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D    2.（22-23高二下·四川内江·期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值. 【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短）， 故选：B. 3.（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为_______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得． 【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 题型四 双曲线的中点弦问题 【典例4】（25-26高二上·江苏常州·期中）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设，通过点差法求解直线的斜率，从而得直线方程． 【详解】设，线段的中点是， ，， ，在双曲线上，则，两式相减得， 即， 则，所以直线方程为，即， 联立，， 故直线与双曲线有两个交点， 故经检验直线方程为. 故选：D． 💡破题要诀 熟悉点差法是解题关键：代点作差构造斜率解出. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为，两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立，得，即， 解得或， 所以. 2.（25-26高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、根据a、b、c求双曲线的标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，由对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以.直线的斜率为2. 故选：D. 3.（多选）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，则（　　） A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与没有公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，且点为的中点 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的实轴、虚轴、求点到直线的距离 【分析】A由实轴的定义计算；B利用点到直线的距离公式计算；C联立方程组根据判断；D设直线方程，根据韦达定理计算. 【详解】由题意可知，，则， 则实轴长为，故A正确； 渐近线方程为，焦点为， 则焦点到渐近线的距离为， 由对称性可得双曲线的焦点到渐近线的距离为1，故B正确； 联立得， 因直线与没有公共点，则， 得，故C正确； 若存在过点的直线与相交于，且为的中点， 则该直线的斜率必然存在，故设直线方程为， 联立，得， 则由韦达定理可得，且，此方程无解， 故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误. 故选：ABC 题型五 双曲线中的范围最值问题 【典例5】（23-24高二·江苏南京·期中）已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线中x、y的范围求范围或最值、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由题意，结合斜率公式得到，设出直线和的方程，求出两点的坐标，得到的表达式，设，的外接圆的半径分别为，结合正弦定理以及基本不等式再进行求解即可． 【详解】易知，由双曲线的对称性， 不妨设在第一象限，此时，， 所以， 不妨设直线的方程为，，令，解得， 不妨设直线的方程为，令，解得， 所以，， 不妨设，的外接圆的半径分别为， 由正弦定理得，， 所以，当且仅当，时，等号成立， 所以． 故选：D． 【迁移应用】 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线中x、y的范围求范围或最值、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出圆的圆心的坐标，结合平面向量的混合运算法则推出再由两点间的距离公式，配方法，即可得解． 【详解】圆，所以圆心，半径为1． 设,，在双曲线右支上一个动点，且， 所以, 对称轴为,开口向上， 因为， 所以当时，取最小值为． 故选：D． 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）若方程有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、函数与方程的综合应用 【分析】设，则可得表示的是双曲线在时的部分曲线，即可将方程有实数解转化为曲线与直线有交点，作出曲线，数形结合，结合直线和双曲线的位置关系，即可求得答案, 【详解】设，则， 即表示的是双曲线在时的部分曲线，如图，    则方程有实数解，可转化为曲线与直线有交点； 当将直线平移至过点或由此将直线向上平移时， 曲线与直线有交点， 直线过点时，， 直线向上平移时有，故此时； 当将直线平移和曲线右侧部分相切或由此将直线向下平移时， 曲线与直线有交点， 当直线和曲线右侧部分相切时， 联立，得， 令， 结合图象可知此时， 将直线由相切位置向下平移时，和曲线右侧部分相交， 故， 综合可得， 故选：C 3．（22-23高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知实数满足，则下列正确的选项有（    ） A．的最小值为 B．的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、双曲线中x、y的取值范围、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对A，将双曲线方程代入可得，再结合或求解最小值即可；对B，设，根据题意可得与有交点，再数形结合分析的范围即可；对C，根据展开，结合基本不等式取等号的条件判断即可；对D，注意到所求式为二次时，故可根据“1”的妙用，可得，再根据双曲线性质可得，再换元根据基本不等式求解即可. 【详解】对A，因为，故，故，又由双曲线性质可得或，故当时原式取最小值，故A正确； 对B，设，则与有交点，此时分析相切时的临界条件. 联立，即，故，解得，数形结合可得或，故B正确； 对C， ，当且仅当，即时取等号，但代入可得无解，故的最大值不能取到，故C错误； 对D，由题，，由双曲线的渐近线可得，，故可设，则 ，当且仅当，即时取等号，此时，故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 基础固本练（限时：15分钟） 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】由双曲线方程知，焦点为，则椭圆中， 由双曲线和椭圆的定义知：，， 所以，又， 则. 故选：C 2．（多选）（22-23高二上·江苏宿迁·期中）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（    ） A．若C为椭圆，则，且 B．若C为双曲线，则或 C．若，则曲线C表示圆 D．若C为双曲线，则焦距为定值 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦距、由方程研究曲线的性质、由方程求曲线的图形 【分析】根据各项描述列不等式组求参数范围、由参数值判断曲线形状，即可得答案. 【详解】A：C为椭圆，则，可得，且，正确； B：C为双曲线，则，可得或，正确； C：时，方程为，即曲线C表示圆，正确； D：若C为双曲线，则，显然焦距不为定值，错误. 故选：ABC 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（24-25高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】（解法一）由得， 由勾股定理得， 由双曲线的定义得， ， 所以，则的面积为，，解得. 故选：C. （解法二）由得，所以， 所以的面积为：，解得. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的焦点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据三角形的面积，及焦距的长求得点的纵坐标，代入双曲线的方程，求得点的横坐标，判断A；由点的纵坐标及两点间距离公式，求得，利用双曲线的定义求得，进而求得的周长判断B；由等面积法求得的内切圆半径，判断C；结合圆的切线的性质和双曲线的定义，求得的内切圆圆心的横坐标，判断D. 【详解】因为，所以，所以. 设， 对于A，因为的面积为20，即，所以.   代入双曲线：，得，所以.故A正确； 对于B，由A知，所以. 所以的周长为.故B正确； 对于C，设的内切圆半径为，则，解得.故C错误； 对于D，设的内切圆在上的切点分别为. 则 设，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $