专题2 高考提能1 构造法求数列的通项公式-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

高考提能1　构造法求数列的通项公式 题型一 形如an＋1＝pan＋q(p≠1，p≠0，q≠0)型 [例1]　在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则数列{an}的通项公式为____________． 【解析】　方法一(待定系数法)：由an＋1＝3an－4， 设an＋1－λ＝3(an－λ)， 即an＋1＝3an－2λ，故2λ＝4，解得λ＝2，则an＋1－2＝3(an－2)， 又a1－2＝3≠0，所以{an－2}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2. 方法二(退一作差法)：由an＋1＝3an－4，得an＝3an－1－4(n≥2)， 所以an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)，又a2＝3a1－4＝11，a2－a1＝11－5＝6≠0，所以当n∈N*时，数列{an＋1－an}是以6为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1－an＝6×3n-1，则当n≥2时an－an－1＝6×3n-2，由累加法可得an＝3n＋2. 【答案】　an＝3n＋2 求形如an＋1＝pan＋q(p≠1，p≠0，q≠0) 型的通项公式的方法 (1)待定系数法：设an＋1－λ＝p(an－λ)，用待定系数法可求出λ＝，进而构造新的等比数列{an－λ}，求出通项分式．其中λ为方程λ＝pλ＋q的解． (2)退一作差法：由an＋1＝pan＋q及an＝pan－1＋q(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝p(an－an－1)，所以{an＋1－an}是首项为a2－a1，公比为p的等比数列，先求an＋1－an，再求an. 　 [对点训练]　已知数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝4an＋6，n∈N*，bn＝log2(an＋2)，则＝________． 解析：由an＋1＝4an＋6，得an＋1＋2＝4(an＋2)，又a1＋2＝4，所以数列{an＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2＝4n，得an＝22n－2. 所以bn＝log2(an＋2)＝log222n＝2n， 则＝ ＝＝2 026. 答案：2 026 题型二 形如an＋1＝pan＋q(n)(p≠1，p≠0，q(n)≠0)型 [例2]　(1)(2025·广州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________________． (2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋n－3，则其前n项和Sn＝____________． 【解析】　(1)方法一：对题中等式两边同时除以2n-1，得＝·＋1，即＋2＝(＋2)，又＋2＝6≠0，所以数列{＋2}是首项为6，公比为的等比数列， 因此＋2＝6×()n-1，即an＝3n－2n-1，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2n-1. 方法二：由a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*， 可得an＋1＋2n＝3(an＋2n-1)，又a1＋21-1＝3≠0， 所以数列{an＋2n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n-1＝3n，则an＝3n－2n-1，n∈N*. (2)因为an＋1＝2an＋n－3， 假设存在实数p，q，使得an＋1＋p(n＋1)＋q＝2(an＋pn＋q)， 即an＋1＝2an＋pn＋q－p，则解得 即an＋1＋(n＋1)－2＝2(an＋n－2)，且a1＋1－2＝2， 可知数列{an＋n－2}是以2为首项，2为公比的等比数列， 可得an＋n－2＝2×2n-1＝2n，即an＝2n－n＋2， 所以Sn＝－＋2n＝2n+1－n2＋n－2. 【答案】　(1)an＝3n－2n-1　(2)2n+1－n2＋n－2 求形如an＋1＝pan＋q(n)(p≠1，p≠0，q(n)≠0) 型的通项公式的方法 解决此类问题的通法是等号两边先同时除以pn+1，得＝＋，再令bn＝，得bn＋1＝bn＋，利用累加法求出bn，即可求得an.有时因q(n)的结构不同可选择不同的构造方法灵活处理． [对点训练]　1.已知数列{an}满足an＋1＝4an－12n＋4，且a1＝4，若ak＝2 028，则k＝(　　) A．253 B．507 C．1 012 D．2 024 解析：选B.因为an＋1＝4an－12n＋4， 所以an＋1－4(n＋1)＝4(an－4n). 因为a1＝4，所以a1－4×1＝0， 故{an－4n}为常数列， 所以an＝4n.由ak＝4k＝2 028，解得k＝507. 2．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n(n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________________________． 解析：将an＋1＝3an＋3n两边同时除以3n+1，得＝＋，即－＝，＝， 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝，故an＝n·3n-1. 答案：an＝n·3n-1 题型三 形如an＋1＝pa(p>0，an>0，q≠0)型 [例3]　已知数列{an}满足a1＝1，a＝10an(an＞0)，则an＝________． 【解析】　等式两边取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝(lg an－1)，又lg a1－1＝－1≠0，所以数列{lg an－1}是以－1为首项，为公比的等比数列， 所以lg an－1＝(－1)×()n-1＝－()n-1， 即lg an＝1－()n-1，即an＝10×(). 【答案】　10× 求形如an＋1＝pa(p>0，an>0，q≠0) 型的通项公式的方法 等号两边取常用对数有lg an＋1＝q lg an＋lg p，令bn＝lg an，则bn＋1＝qbn＋lg p，转化为题型一求得bn，再求an. [对点训练]　在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2a，求数列{an}的通项公式． 解：对题中等式两边同时取以2为底的对数，得到log2an＋1＝log22＋2log2an，即log2an＋1＝1＋2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝1＋2bn，则bn＋1＋1＝2(bn＋1)，又b1＋1＝log2a1＋1＝1≠0，所以{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋1＝2n-1，所以bn＝2n-1－1， 即log2an＝2n-1－1，从而an＝22n-1－1. 题型四 形如an＋1＝(p，r，s≠0)型 [例4]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则a10＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　由a1＝1，an＋1＝，得an≠0，＝＝＋1，则＋1＝2(＋1)，又＋1＝2，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即＋1＝2n，因此an＝，所以a10＝＝. 【答案】　C 求形如an＋1＝(p，r，s≠0)型的 通项公式的方法 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，转化为bn＋1＝p1bn＋q型，求出bn的表达式，再求an. [对点训练]　已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝，若＋＋＋…＋<1 000，则满足条件的最大整数n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选B.由题意得an≠0，则＝－1，令bn＝，则bn＋1－1＝2(bn－1)，又b1－1＝－1＝1， 所以{bn－1}是以1为首项，2为公比的等比数列， 得bn－1＝2n-1，所以bn＝2n-1＋1， 所以＋＋＋…＋＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1＋2＋22＋…＋2n-1＋n＝2n＋n－1，由2n＋n－1<1 000，解得n≤9.故满足条件的最大整数n＝9. 题型五 形如an＋1＝pan＋qan－1(a1＝a，a2＝b，p，q≠0，a，b不同时为0，n≥2)型 [例5]　在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________． 【解析】　因为an＋2＝3an＋1－2an，可设an＋2－kan＋1＝h(an＋1－kan)，即an＋2＝(h＋k)an＋1－hkan，可得解得或 当h＝2，k＝1时，an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，因为a2－a1＝2， 所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＝2n，即an－an－1＝2n-1(n≥2)， 当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n-1＋2n-2＋…＋2＋1＝＝2n－1. 显然当n＝1时a1＝1满足上式，所以an＝2n－1. 当h＝1，k＝2时，可得an＋2－2an＋1＝an＋1－2an， 故{an＋1－2an}是常数列，且a2－2a1＝1，即an＋1＝2an＋1，an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，故an＝2n－1.综上，an＝2n－1. 【答案】　2n－1 求形如an＋1＝pan＋qan－1(a1＝a，a2＝b，p，q≠0， a，b不同时为0，n≥2)型的通项公式的方法 设an＋1－kan＝h(an－kan－1)，整得得an＋1＝(h＋k)an－hkan－1，比较系数得取满足此方程组的解h，k，可得到{an＋1－kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an＋1＝p1an＋f(n)型求解，或建立关于an，an－1的方程(组)求出an. [对点训练]　已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，且a1＝，a2＝1，则an＝________． 解析：因为an＋1＝an－an－1(n≥2)， 可设an＋1－kan＝h(an－kan－1)， 比较系数得解得或 当h＝，k＝1时，可得an＋1－an＝(an－an－1)(n≥2)， 又因为a2－a1＝，所以数列{an＋1－an}是以为首项，为公比的等比数列，所以an＋1－an＝×()n-1＝()n， 所以an－an－1＝(n≥2)，由累加法可得an＝－.显然当n＝1时，a1＝满足上式，所以an＝－. 当h＝1，k＝时，可得an＋1－an＝an－an－1， 所以数列为常数列， 故an＋1－an＝a2－a1＝1－＝， 故an＋1＝an＋，an＋1－＝，又a1－＝－1≠0，所以是以－1为首项，为公比的等比数列，所以an－＝－，所以an＝－. 综上，对任意的n∈N*，an＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $