专题1 高考提能1 三角函数中的ω与φ的求法-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

高考提能1　三角函数中的ω与φ的求法 题型一 利用三角函数的单调性求解 [例1]　将函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(，)上单调递减，则ω的最大值为(　　) A．6 B．5 C．3 D．2 【解析】　由题可知，g(x)＝cos ＝cos (ωx－＋)，当x∈(，)时，ωx－＋∈(，＋).因为g(x)在区间(，)上单调递减，所以＋≤π，解得0＜ω≤5，所以ω的最大值为5. 【答案】　B 由函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，将区间端点值代入后，去对应[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)或[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，列出不等式(组)求解．另外，因为函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b在一个周期内的单调递增(减)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的取值范围． [对点训练]　(2025·包头二模)已知f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意可知－(－)≤，则0＜ω≤.因为－≤x≤，所以－ω＋≤ωx＋≤ω＋， 所以－≤－ω＋＜，＜ω＋≤. 因为f(x)在上单调递增， 结合正弦函数图象可得＜ω＋≤，解得0＜ω≤， 故ω的取值范围是. 题型二 利用三角函数的最值求解 [例2]　已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0)在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是(　　) A． B．(，＋∞) C．∪(，＋∞) D．∪(，＋∞) 【解析】　因为ω＞0，x∈， 所以ωx－∈. 画出y＝sin x的图象，如图． 由图，得＜－≤或－＞， 解得＜ω≤或ω＞. 【答案】　C 利用最值求ω ，φ 的问题，主要是整体代换ωx±φ，借助正弦、余弦函数的图象列出关于ω，φ的不等式(组)，进而求出ω，φ的值或取值范围． [对点训练]　1.(2025·郑州一模)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)两个相邻的最值点，则ω＝(　　) A．2 B． C．1 D． 解析：选A.由题意得＝－＝，所以T＝π，即ω＝＝2. 2．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)满足f(x)≤f()恒成立，且在区间(，π)上无最小值，则ω＝________． 解析：由题意可知，f()是函数f(x)的最大值，则ω·＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋3k，k∈Z.又因为f(x)在区间(，π)上无最小值，所以≥π－，所以0＜ω≤3，所以ω＝. 答案： 题型三 利用三角函数的对称性求解 [例3]　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)在上单调，且f()＝f()＝－f(－)，则ω的最大值为________． 【解析】　设f(x)的最小正周期为T，因为f(x)在上单调，则≥－(－)＝，可得T≥π. 又因为f()＝－f(－)，且＝－， 可知(－，0)为f(x)图象的对称中心． 不妨设f()＝f()＞0，如图所示： 依次讨论x＝对应为点C，A，D，E的横坐标的情况，且－＝， 若x＝对应为点E(或点E右侧的点)的横坐标，则2T≤，即T≤＜π，不合题意； 求ω的最大值，即求T的最小值，即x＝与x＝之间包含的周期最多，若x＝对应为点D的横坐标，则直线x＝＝为f(x)的图象的对称轴，且－(－)＝T，则T＝，ω＝，满足T≥π，且此时T＝为最小值，所以ω的最大值为. 【答案】　 利用最小正周期T，根据函数f(ωx＋φ)图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于T，ω，φ的方程，使问题得解． [对点训练]　1.(2025·焦作二模)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，则tan ＝(　　) A．2＋ B．2－ C．1－ D．－2 解析：选D.由题意可知f()＝sin (＋φ)＝±1，得＋φ＝＋kπ，k∈Z， 解得φ＝－＋kπ，k∈Z，因为－＜φ＜，所以φ＝－. 因为tan ＝＝，解得tan＝2－或－2－(舍)， 所以tan ＝tan (－)＝－tan ＝－2. 2．已知函数f(x)＝2cos x sin (x＋φ)－(0＜φ＜)图象的一个对称中心是(，0)，则φ＝________；函数f(x)图象的一条对称轴的方程为________． 解析：由题意得f＝2cos sin (＋φ)－＝0，所以sin (＋φ)＝，因为0＜φ＜，所以φ＝. 故f(x)＝2cos x sin (x＋)－＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).故所求对称轴方程为x＝＋(k∈Z). 答案：　x＝ 题型四 利用三角函数的零点、极值点求解 [例4]　已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω＞0)在[0，1]内恰有3个极值点和3个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】　因为f(x)＝sin πωx－cos πωx＝2sin (πωx－)(ω＞0)，且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－. 因为函数f(x)在[0，1]内恰有3个极值点和3个零点， 所以≤πω－＜3π，解得≤ω＜. 【答案】　D 解决y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的零点与极值点问题通常先利用换元法求t＝ωx＋φ的范围，再结合y＝sin t的图象列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． [对点训练]　设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω∈N*，|φ|＜)的最小正周期为T，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，且f(x)在区间(0，)内的零点与极值点恰好共有4个，则ω＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.因为ω＞0，则T＝，将f(x)的图象向左平移＝个单位长度，可得y＝2sin ＝2sin (ωx＋＋φ)的图象． 因为y＝2sin (ωx＋＋φ)的图象关于原点对称， 则＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，又因为－＜φ＜，所以k＝0，φ＝－，所以f(x)＝2sin (ωx－). 因为x∈(0，)，所以ωx－∈(－，ω－)， 由题意可得＜ω－≤2π，解得＜ω≤， 又因为ω∈N*，所以ω＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $