专题1 高分进阶3 以三角函数为背景的创新融合问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

以三角函数为问题背景，巧妙与函数（导数）、平面向量、数列、不等式等相关知识融合与交汇是高考的热点和重点，解决此类问题，主要把握住三角函数与其他知识点之间的转化关系，熟记三角恒等变换的有关公式及三角函数的图象与性质. 类型一　三角函数与数列 [例1]　已知函数f(x)＝2 026 sin (x∈R)的所有正零点构成递增数列{an}，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2n，求数列{bn}的前n项和Sn. 【解】　(1)令f(x)＝2 026sin ＝0，则πx－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋k，k∈Z. 因为函数f(x)的所有正零点构成递增数列{an}， 所以数列{an}是首项为，公差为1的等差数列，所以数列{an}的通项公式为an＝＋1×(n－1)＝n－(n∈N*). (2)由(1)可知an＝n－(n∈N*)，又因为bn＝2n， 所以bn＝2n＝n·2n. 所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n-1＋n×2n.① 2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1.② ②－①，得Sn＝－21－22－23－…－2n＋n×2n+1＝＋n×2n+1＝(n－1)·2n+1＋2. 所以数列{bn}的前n项和Sn＝(n－1)·2n+1＋2. 解决三角函数与数列的交汇问题，一般先利用三角函数的性质把问题转移到相关的数列问题上，然后再根据数列的相关知识求通项公式或前n项和． 　 类型二　解三角形中的新情境 [例2]　(2025·景德镇三模)如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面所成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°，夏至正午太阳高度角为θ，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则sin (θ－36.9°)的值约为(　　) A． B． C． D． 【解析】　如图，tan B＝tan 36.9°≈，AC＝42，所以BC≈56. 又BD＝50，所以CD≈6，在Rt△ACD中，根据勾股定理AD≈30. 在△ABD中，根据正弦定理可知＝， 即≈，解得sin (θ－36.9°)≈. 【答案】　C 解决新情境问题首先应充分理解题意，作出示意图，把已知量尽量集中在一个三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解． 类型三　解三角形中的新定义 [例3]　已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数h(x)具有性质P. (1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cos x是否具有性质P. (2)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，判断是否存在ω，φ，使函数f(x)具有性质P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，请说明理由． (3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝sin (f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点．求证：f(2π)＝2π. 【解】　(1)因为f(x)＝2x，则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x具有性质P；因为g(x)＝cos x，则g(x＋2π)＝cos (x＋2π)＝cos x，又g(2π)＝cos 2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cos x＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cos x不具有性质P. (2)若函数f(x)具有性质P，则f(0＋2π)＝f(0)＋f(2π)， 即f(0)＝sin φ＝0，因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin ωx；所以必有f(2π)＝0成立， 即sin (2ωπ)＝0，因为<ω<，所以3π<2ωπ<5π， 若2ωπ＝4π，此时ω＝2，f(x)＝sin 2x， 则f(x＋2π)＝sin [2(x＋2π)]＝sin 2x， 则f(x)＋f(2π)＝sin 2x＋sin 4π＝sin 2x， 即有f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)成立， 所以存在ω＝2，φ＝0使函数f(x)具有性质P. (3)证明：由函数f(x)具有性质P及(2)可知，f(0)＝0， 由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)， 即sin (f(2π))＝sin (f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z； 由f(0)＝0，f(2π)＝kπ，k∈Z以及题设可知， 函数f(x)在[0，2π]上的值域为[0，kπ]，所以k∈Z且k>0； 当k>2，f(x)＝π 及f(x)＝2π时，均有g(x)＝sin (f(x))＝0， 这与g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此k＝1或k＝2； 当k＝1时，f(2π)＝π，函数f(x)在[0，2π]上的值域为[0，π]， 此时函数g(x)的值域为[0，1]，而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函数f(x)在[2π，4π]的值域为[π，2π]，此时函数g(x)的值域为[－1，0]，函数g(x)＝sin (f(x))在x∈[0，2π]和x∈[2π，4π]时的取值范围不同，与函数g(x)是以2π为周期的周期函数矛盾，故k＝2，即f(2π)＝2π，命题得证． 解决三角函数新定义问题的思路 (1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义； (2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中； (3)利用三角函数的公式、性质解答问题． 1．(2025·上海三模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如下，将△AOB沿OB翻折至△A′OB，使得二面角A′-OB-C为.若A′C＝，则ω＝________． 解析： 因为f(0)＝sin φ＝，又0<φ<，所以φ＝. 记点为D，翻折后，连接A′D， 因为A′O⊥OB，DO⊥OB，所以∠A′OD即为二面角A′-OB-C的平面角，所以∠A′OD＝，所以A′D2＝A′O2＋OD2－2A′O·OD cos ∠A′OD＝＋－2×××＝，所以A′D＝，因为CD∥x轴，所以CD⊥OD，CD⊥A′O，又OD∩A′O＝O，OD，A′O⊂平面A′OD， 所以CD⊥平面A′OD，又A′D⊂平面A′OD，所以CD⊥A′D， 所以CD＝＝＝2，所以C， 由图可知，f(x)的最小正周期T＝>2⇒0<ω<π， 又因为f(2)＝sin ＝－， 所以2ω＋＝＋2kπ，k∈Z，ω＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝. 答案： 2．已知函数f(x)＝4sin x cos x－4sin ·cos . (1)若函数y＝f(x)－3在[0，2π]上的零点从小到大依次为x1，x2，…，xn，设数列{xn}的前n项和为Sn，求S4的值； (2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝2，BC边上的中线AD＝，求sin B的值． 解：(1)f(x)＝2sin 2x－4(sin x－cos x)· ＝2sin 2x－4(sin 2x－cos 2x)＝2sin 2x＋2cos 2x＝4sin . 方法一：令t＝2x＋，x∈[0，2π]，则t∈， 设sin t＝在上的4个零点依次为t1，t2，t3，t4. 又sin ＝>.所以t1>.t1＋t2＝3π，t3＋t4＝7π， 所以2(x1＋x2)＋＝3π，x1＋x2＝，同理得x3＋x4＝， 所以S4＝x1＋x2＋x3＋x4＝＋＝. 方法二：作出函数f(x)＝4sin (x∈[0，2π])的图象， 其对称轴方程为x＝＋，k＝0，1，2，3， 由图可知x1＋x2＝，x3＋x4＝，所以S4＝＋＝. (2)依题意f(A)＝4sin ＝2，即sin ＝，0<A<，所以A＝. 因为2＝＋，所以42＝2＋2·＋2. 即4×＝8＋2×2b cos ＋b2，所以b＝3(负值已舍去). 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos ＝9＋8－2×3×2×＝5，所以a＝，由正弦定理得sin B＝sin A＝. 学科网（北京）股份有限公司 $