专题1 高分进阶2 带绝对值的三角函数的性质-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

类型一　sin |x|型的三角函数问题 [例1]　关于函数f(x)＝sin |x|，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小值为0 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的最小正周期为π D．f(x)在上单调递减 【解析】　对于A，f(x)＝sin |x|＝的最小值为－，所以A不正确；对于B，由f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以B不正确；对于C，因为f＝sin ＝1，f＝sin ＝－1，所以f≠f，则π不是f(x)的最小正周期，所以C不正确；对于D，当x＜0时，f(x)＝－sin x，函数f(x)在上单调递减，又因为⊆，所以函数f(x)在上单调递减，D正确． 【答案】　D 解决关于sin |x|的三角函数问题的关键是先判断y＝sin |x|是偶函数，其次是研究x≥0时的函数性质，最后根据偶函数的对称性即可得到x＜0时的函数性质，从而解决问题． 类型二　|sin x|型的三角函数问题 [例2]　(多选)(2025·福州一模)已知函数f(x)＝|sin x|＋2cos x，x≠kπ，k∈Z，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)的一个周期是2π C．f(x)图象的一条对称轴为直线x＝ D．f(x)的值域是(－2，] 【解析】　对于A，f(－x)＝|sin (－x)|＋2cos (－x)＝f(x)，且f(x)不恒为0，则f(x)为偶函数，不为奇函数，A错误；对于B，f(x＋2π)＝|sin (x＋2π)|＋2cos (x＋2π)＝f(x)，f(x)的一个周期是2π，B正确；对于C，f(π－x)＝|sin (π－x)|＋2cos (π－x)＝|sin x|－2cos x≠f(x)，f(x)的图象关于直线x＝不对称，C错误；对于D，当x∈(0，π)时，f(x)＝sin x＋2cos x＝sin (x＋φ)，其中锐角φ由tan φ＝2确定，而x＋φ∈(φ，π＋φ)，则[sin (x＋φ)]max＝1，sin (x＋φ)＞sin (π＋φ)＝－sin φ＝－，因此f(x)∈(－2，]，由选项A知，当x∈(－π，0)∪(0，π)时，f(x)∈(－2，]，由选项B知，在定义域上f(x)∈(－2，]，于是f(x)的值域是(－2，]，D正确． 【答案】　BD 解决有关|sin x|的三角函数问题的关键点在于根据sin x的符号构造分段函数，逐段分析函数的图象与性质即可． 类型三　带双绝对值的三角函数问题 [例3]　(2025·潍坊一模)已知函数f(x)＝＋，则f(x)图象的对称轴方程为(　　) A．x＝＋，k∈Z B．x＝＋，k∈Z C．x＝－，k∈Z D．x＝－，k∈Z 【解析】　因为f(x)＝＋＝＋，f＝＋＝＋＝f(x)，所以为函数f(x)的一个周期，当x∈时，x＋∈， 此时f(x)＝sin ＋cos ＝sin ，作出函数f(x)在R上的部分图象如图， 由图象可得，函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－，k∈Z. 【答案】　C 解决带双绝对值的三角函数问题，分析函数的奇偶性和周期性是两个必备的过程．此类问题的解题步骤可以归纳为：(1)分析函数的奇偶性、周期性；(2)去绝对值，写成分段函数；(3)画出草图，结合图象和奇偶函数的对称性进行判断，包括代入必要的特殊值． 1．函数f(x)＝的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选B.因为函数f(x)＝sin 的最小正周期T＝＝＝π，所以函数f(x)＝的最小正周期为. 2．(多选)设函数f(x)＝2sin2x－3sin|x|＋1，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)在[－2π，2π]上有6个零点 C．f(x)的最小值为－ D．f(x)在上单调递减 解析：选ABC.对于A，函数f(x)的定义域为R，由f(－x)＝2sin2(－x)－3sin|－x|＋1＝2sin2x－3sin|x|＋1＝f(x)，可得f(x)是偶函数，故A正确；对于B，当x≥0时，f(x)＝2sin2x－3sinx＋1，由2sin2x－3sinx＋1＝0，可得sin x＝或sin x＝1，则当x∈[0，2π] 时，x＝或x＝或x＝，又f(x)是偶函数，则当x∈[－2π，0]时，x＝－或x＝－或x＝－，则f(x)在[－2π，2π]上有6个零点，故B正确；对于C，当x≥0时，f(x)＝2sin2x－3sinx＋1＝2－，则当sin x＝时，f(x)取得最小值－，又f(x)是偶函数，则f(x)的最小值为－，故C正确；对于D，f＝2sin2－3sin＋1＝1－＋1＜1，f(0)＝2sin20－3sin|0|＋1＝1，则f＜f(0)，则f(x)在上不单调递减，故D错误． 3．(多选)(2025·广东一模)已知函数f(x)＝sin x·，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)在上单调递增 D．f(x)的最小值为－ 解析：选AD.由题意得，f(x)＝sin x·＝sinx·|cos x|.对于A，因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin (－x)·|cos (－x)|＝－sin x·|cos x|＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，选项A正确；对于B，因为f(x＋π)＝sin (x＋π)·|cos (x＋π)|＝－sin x·|cos x|＝－f(x)，所以π不是函数f(x)的周期，选项B错误；对于C，因为f(0)＝sin 0·|cos 0|＝0，f＝sin ·＝0，所以f(x)在上不单调递增，选项C错误；对于D，因为f(x)＝sin x·|cos x|≥－|sin x cos x|＝－|sin 2x|，0≤|sin 2x|≤1，所以f(x)≥－，因为f＝sin ·＝－，所以f(x)的最小值为－，选项D正确． 4．(2025·长沙一模)已知函数f(x)＝2sin x＋2|cos x|，若f(x)＝λ在[0，2π]上有且仅有4个不相等的实数根，则λ的取值范围为(　　) A．(2，4) B．(2，2) C．(2，4) D．(2，2)∪(2，4) 解析：选D.f(x)＝2sin x＋2|cos x|＝作出f(x)的图象，如图所示， 结合图形可知，若f(x)＝λ在[0，2π]上有且仅有4个不相等的实数根，则2＜λ＜4且λ≠2，即λ的取值范围为(2，2)∪(2，4). 5．(2025·重庆二模)函数y＝sin |x|＋|cos x|的值域为__________． 解析：设f(x)＝sin |x|＋|cos x|，可知函数y＝f(x)的定义域为R，因为f(－x)＝sin |－x|＋|cos (－x)|＝sin |x|＋|cos x|＝f(x)，可知函数y＝f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x＋|cos x|，可知函数f(x)的值域与g(x)＝sin x＋|cos x|，x∈R的值域相同，因为g(x＋2π)＝sin (x＋2π)＋|cos (x＋2π)|＝sin x＋|cos x|＝g(x)，可知g(x)的一个周期为2π，又因为g(π－x)＝sin (π－x)＋|cos (π－x)|＝sin x＋|cos x|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝对称，且g(3π－x)＝sin (3π－x)＋|cos (3π－x)|＝sin x＋|cos x|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝对称，则可取x∈，则cos x≤0，可得g(x)＝sin x－cos x＝sin ，因为x∈，则x－∈，可得sin ∈，即g(x)∈[－1，]，可知g(x)的值域为[－1，]，所以f(x)的值域为[－1，]. 答案：[－1，] 学科网（北京）股份有限公司 $