专题1 第2讲 三角函数的图象与性质-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

第2讲　三角函数的图象与性质 [考情分析]　三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要考查三角函数的单调性、最值、奇偶性、周期性、图象的变换和对称性以及由图象确定解析式等问题，主要以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下． 考点一　三角函数的图象 1．沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ＞0，左移；φ＜0，右移． 沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k＞0，上移；k＜0，下移． 2．沿x轴伸缩：若ω＞0，A＞0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍． 沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍． 　(1)(2025·济宁一模)将函数y＝2cos 的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2cos B．y＝2cos C．y＝2cos D．y＝－2cos (2)(2025·北京二模)已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示．若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝(　　) A．1 B． C．π D． 【解析】　(1)函数的最小正周期T＝＝π，所以函数y＝2cos (2x－)的图象向右平移个最小正周期后所得图象对应的函数为 y＝2cos [2(x－)－]＝2cos (2x－π) ＝－2cos [π－(2x－π)]＝－2cos (2x－) ＝－2cos (2x＋). (2)连接BC交x轴于点E， 由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称， 故E为圆心，且|AE|＝|BE|，|AE|＝T＝·＝，|BE|＝＝， 故＝，解得ω＝(负值已舍去). 【答案】　(1)D　(2)D 【解题技法】　求函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中ω，φ的方法 (1)T定ω：由最小正周期的求解公式T＝，可得ω＝； (2)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”． 　(多选)(2025·甘肃二模)函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|，则(　　) A．函数的最小正周期为 B．直线x＝π是函数f(x)图象的一条对称轴 C．函数图象有对称中心 D．若f(x)＝m，x∈[0，2π)有四个解，则m＝1 【解析】　对于A，f(x)＝|sin x|＋|cos x|＝ 函数图象如下： 可得函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由图可得直线x＝π是函数f(x)图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，根据函数图象可知函数图象没有对称中心，故C错误； 对于D，由图可得当函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|＝时，x＝，，，，所以f(x)＝m，x∈[0，2π)有四个解，则m也可以是，故D错误． 【答案】　AB 【解题技法】　借助y＝A sin t的图象可处理以下问题 (1)判断对称轴或对称中心：可根据对称轴经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是y＝A sin (ωx＋φ)的零点进行判断． (2)求函数在闭区间上的最值(值域)：先根据x所在的区间求出ωx＋φ的取值范围，再结合正弦函数的图象确定函数的最值(值域). 　1.(多选)记函数f(x)＝3sin (x＋)的图象为C，由图象C得到函数g(x)＝3sin (2x－)图象的过程中，可能用到的变换方式有(　　) A．将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．将所有点向右平移个单位长度 D．将所有点向右平移个单位长度 解析：选BCD．先平移，后伸缩：将图象C上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝3sin (x－＋)＝3sin (x－)的图象，再将y＝3sin (x－)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g(x)＝3sin (2x－)的图象． 先伸缩，后平移：将图象C上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝3sin (2x＋)的图象，再将y＝3sin (2x＋)图象上的所有点向右平移个单位长度，得到g(x)＝3sin [2(x－)＋]＝3sin (2x－)的图象． 2．(多选)函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则(　　) A．f是奇函数 B．f是偶函数 C．f＜f D．f(x)＝sin 解析：选ABD．由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝＝(－)×2＝2，所以ω＝π.因为×(＋)＝，所以f()＝cos (π＋φ)＝－1，π＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，f(x)＝cos (πx＋). 由题图可知，f(x)的图象关于点(，0)对称，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度后图象关于原点对称，所以f(x＋)为奇函数，A正确； 因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度后图象关于y轴对称，所以f(x＋)为偶函数，B正确； f(－)＝f()，f()＝f()，因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f()＝f(－)＝f().因为f(x)在(0，)上单调递减，所以f()＞f()，所以f(－)＞f()，C错误； f(x)＝cos (πx＋)＝cos (πx＋－)＝sin (πx＋)，D正确． 考点二　三角函数的性质 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间． (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得函数图象对称中心的横坐标；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得函数图象的对称轴． (3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数． 　(1)(2025·青岛调研)设函数f(x)＝cos ωx，|f(x1)－f(x2)|＝2，|x1－x2|＝，则ω的值可以是(　　) A． B．1 C．2 D．3 (2)(多选)(2025·长春质量监测)函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　) A．ω的值为2 B．直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴 C．函数f(x)在(0，)上单调递减 D．当x∈(0，)时，方程f(x)－a＝0存在两个根，则a∈(1，) 【解析】　(1)由题意得f(x1)，f(x2)一个为函数f(x)的最大值，一个为函数f(x)的最小值． 设函数f(x)的最小正周期为T，则|x1－x2|＝(k＋)T＝T＝(k∈N)，即·＝， 可得|ω|＝4k＋2(k∈N)，所以ω的可能取值为2. (2)因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin (ωx＋)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，所以ω＝2，A正确； f(x)＝sin (2x＋)，且f(－)＝sin (－)＝－1，－1不是f(x)的最值，所以直线x＝－不是f(x)图象的对称轴，B错误； 当x∈(0，)时，2x＋∈(，)，所以函数f(x)＝sin (2x＋)在(0，)上不单调，C错误； 令t＝2x＋，因为x∈(0，)，所以t∈(，)，则sin t＝a在t∈(，)时存在两个根，由三角函数图象可知(图略)，a∈(1，)，D正确． 【答案】　(1)C　(2)AD 【解题技法】　求解函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质问题的三种意识 (1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式； (2)整体意识：类比y＝sin x的性质，只需将y＝A sin (ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解； (3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A＞0，A＜0. 　1.(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．根据正切函数的性质，y＝2tan (x－)图象的对称中心横坐标满足x－＝，k∈Z，即y＝2tan (x－)的图象的对称中心是(＋，0)，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，又a＞0，则当k＝0时a最小，最小值是. 2．(多选)(2025·皖南八校联考)已知函数f(x)＝＋，则(　　) A．f(x)的定义域为 B．f(x)的最小正周期为2π C．f(x)在区间上单调递减 D．f(x)在区间(0，2π)上仅有2个零点 解析：选ABD．对于A，因为sin x≠0，cos x≠0，所以x≠kπ，k∈Z且x≠＋kπ，k∈Z，所以x≠，k∈Z， 故f(x)的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数y＝sin x和y＝cos x的最小正周期均为2π， 所以f(x)＝＋的最小正周期为2π，故B正确； 对于C，因为函数y＝cos x在区间(，π)上单调递减，且值域为(－1，0)； 函数y＝sin x在区间(，π)上单调递减，且值域为(0，1). 所以函数y＝与y＝在区间(，π)上均单调递增， 则f(x)＝＋在区间(，π)上单调递增，故C错误； 对于D，令f(x)＝＋＝0，则tan x＝－1，解得x＝＋kπ，k∈Z，在区间(0，2π)上有2个解，故D正确． [问题背景]　三角函数历来是高考的重点，也是高中数学教学的重点，它不仅体现自身和谐的关系与知识体系，更是解决几何问题的强力知识工具，其中余弦函数更具有本身的内涵与和谐之美．例如，2025年高考北京卷第15题中的结论③④就展现了余弦函数的和谐与数学之美． [真题展示]　(2025·北京卷)关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有________________________________________． ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立； ③使得f(x)＋f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)－f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个． 解析：对于①，若存在在R上单调递增的函数f(x)，满足f(x)＋f(2x)＝－x， 则f(0)＋f(2×0)＝0，即f(0)＝0， 故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0， 故f(4x)＋f(2x)>f(x)＋f(2x)， 令g(x)＝f(x)＋f(2x)＝－x，则g(2x)>g(x)， 故－2x>－x，解得x<0，与x>0矛盾，故①错误； 对于②，取f(x)＝－x， 该函数在R上单调递减且f(x)＋f(2x)＝－x， 故该函数满足题意，故②正确； 对于③，取f(x)＝cos x＋mx，m∈R， 此时f(x)＋f(－x)＝cos x， 由m∈R，可得f(x)有无穷多个，故③正确； 对于④，若存在f(x)，使得f(x)－f(－x)＝cos x， 令x＝0，则0＝cos 0，但cos 0＝1，矛盾， 故满足f(x)－f(－x)＝cos x的函数不存在，故④错误． 答案：②③ [总结提炼]　从结论③的解答f(x)＝cos x＋mx，m∈R是满足f(x)＋f(－x)＝cos x的设置，可以看出当f(x)＝cos x±g(x)，且g(x)为奇函数时便满足题意，其实质就是f(x)±g(x)＝cos x的问题，作为美丽的余弦函数f(x)＝A cos x，A≠0，具有一般抽象的结构，即当x，y∈R，f(0)≠0时，f(x)＋f(y)＝2f·f或f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y).前者是教材作为例题的“和差化积”公式cos α＋cos β＝2cos cos 的抽象形式，而后者是两角和差的余弦之和cos (α＋β)＋cos (α－β)＝2cos αcos β的抽象形式，不论是哪种形式，都是美丽的余弦函数呈现的抽象表示，其具体的抽象问题可设置为： 定义域为R的函数f(x)，对于x，y∈R，均有f(x)＋f(y)＝2ff，且f(0)≠0，则有 ①f(0)＝1； ②f(x)是偶函数； ③若f(a)＝0，则f(x)是周期T＝4|a|的周期函数． 问题等价于，令＝m，＝n，则f(m＋n)＋f(m－n)＝2f(m)f(n)　(*). 当n＝0时，2f(m)＝2f(m)f(0)，则f(0)＝1. (*)式用－n替换n得，f(m－n)＋f(m＋n)＝2f(m)f(－n)，则f(m)f(n)＝f(m)f(－n)，即f(－n)＝f(n)，又定义域关于原点对称，故f(x)为偶函数． (*)式用a替换n得， f(m＋a)＋f(m－a)＝2f(m)f(a)， 又因为f(a)＝0. 即f(m＋a)＝－f(m－a). 从而f(m＋2a)＝－f(m)，f(m＋4a)＝－f(m＋2a)＝－(－f(m))＝f(m). 所以周期T＝4|a|. ①②③三个结论均展示为f(x)＝cos x的内涵特性． 余弦函数与抽象函数之间互映，是很多抽象函数问题的直接体现． 还有很多类似的问题，例如： (1)f(x)的定义域为R，对于x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，模型函数为f(x)＝kx(k≠0). (2)f(x)的定义域为R，对于x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)，模型函数为f(x)＝ax(a>0，且a≠1). [美题闯关]　(多选)已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R，且x≠0}，当x，y∈D时，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则下列结论正确的是(　　) A．f(－1)＝－1 B．f(x)是偶函数 C．f(xn)＝nf(x)(n∈N*) D．f＝f(x)－f(y) 解析：选BCD．方法一(设置函数)：由题意可令f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)，则f(－1)＝loga|－1|＝0，故A错误；f(－x)＝loga|－x|＝loga|x|＝f(x)，又因为函数f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)为偶函数，故B正确；f(xn)＝loga|xn|＝loga|x|n＝nloga|x|＝nf(x)(n∈N*)，故C正确；f()＝loga＝loga|x|－loga|y|＝f(x)－f(y)，故D正确． 方法二(抽象推理)：对于A，由于f(xy)＝f(x)＋f(y)， 令y＝1，则f(x)＝f(x)＋f(1)，所以f(1)＝0， 令x＝y＝－1得，f((－1)·(－1))＝f(－1)＋f(－1)， 即f(1)＝2f(－1)，所以f(－1)＝0，故A错误； 对于B，令y＝－1得，f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)＋0＝f(x)，又因为函数f(x)的定义域关于原点对称， 故f(x)为偶函数，故B正确； 对于C，令y＝x得，f(x2)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)， 再令y＝x2得，f(x3)＝f(x)＋f(x2)＝f(x)＋2f(x)＝3f(x)， 依次下去将得到f(xn)＝nf(x)(n∈N*)，故C正确； 对于D，由f()＋f(y)＝f(·y)＝f(x)得， f()＝f(x)－f(y)，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $