专题1 第2讲 三角函数的图象与性质 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

专题强化训练 [A　基本技能] 1．(2025·赣州一模)函数f(x)＝的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选B．f(x)＝＝tan2x，x≠＋kπ(k∈Z)， 又tan x≠±1，可得x≠＋(k∈Z)，即f(x)＝tan 2x， 且x≠＋kπ(k∈Z)，x≠＋(k∈Z)，故T＝. 2．(2025·威海一模)为了得到函数y＝sin 3x的图象，只需把函数y＝sin 图象上的所有点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选C．函数y＝sin 3x＝sin [3(x＋)－]，因此把函数y＝sin (3x－)图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数y＝sin 3x的图象． 3．(2025·郑州二模)函数f(x)＝2sin (2x＋)与函数g(x)＝log2x的图象交点个数为(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 解析： 选A．作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，由图知4∈(，)，所以通过图象可判断它们有3个交点． 4．(2025·长沙适应性考试)若f(x)＝sin x＋cos x在区间[－θ，θ]上单调递增，则tan θ的最大值是(　　) A． B． C．1 D． 解析：选A．f(x)＝sin x＋cos x＝2sin (x＋)，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，则2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，因为f(x)在区间[－θ，θ]上单调递增，所以θ＞0，令k＝0，所以[－θ，θ]⊆[－，]，则0＜θ≤，所以当θ＝时，tan θ取最大值，且最大值为. 5．(2025·南京六校联考)已知偶函数f(x)＝A sin (πx＋φ)，B，C是函数f(x)的图象与x轴的两个相邻交点，D是图象在B，C之间的最高点或最低点，若△BCD为直角三角形，则f＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选D．因为函数f(x)＝A sin (πx＋φ)为偶函数，且0≤φ≤，所以φ＝，则 f(x)＝A sin (πx＋)＝A cos πx.因为B，C是函数f(x)的图象与x轴的两个相邻交点，所以BC＝＝×＝1(T为f(x)的最小正周期)，因为点D是图象在B，C之间的最高点或最低点，所以BD＝CD，取BC的中点E，连接DE(图略)，因为△BCD为直角三角形，所以∠BDC＝，所以DE＝A＝BC＝，所以f(x)＝cos πx，f()＝cos ＝×＝. 6．(2025·金华十校二模)某美妙音乐的函数模型为f(x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，则关于该函数下列说法正确的是(　　) A．最小正周期为3π B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．最大值为 解析：选C．A选项，f(x＋2π)＝sin (x＋2π)＋sin (2x＋4π)＋sin (3x＋6π)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＝f(x)，A错误； B选项，f(－x)＝sin (－x)＋sin (－2x)＋sin (－3x)＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，B错误； C选项，f′(x)＝cos x＋cos 2x＋cos 3x，当x∈(－，)时，2x∈(－，)，3x∈(－，)，f′(x)＞0，函数单调递增，C正确； D选项，＝1＋＋，当sin x＝1时，x＝＋2kπ，k∈Z，此时sin 2x＝0，sin 3x＝－，即三项无法同时取到最大值，D错误． 7．信息在传递中多数是以波的形式进行传递的，因而必然会存在干扰信号波，干扰信号波的解析式形如y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜).某种“信号净化器”可产生解析式形如y＝A0sin (ω0x＋φ0)的波，只需要调整参数(A0，ω0，φ0)，就可以产生与干扰波波峰相同，方向相反的波来“抵消”干扰．如图是某个信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(即仅含有标准正弦函数图象)，可以将净化器的参数调整为(　　) A．A0＝，ω0＝4，φ0＝ B．A0＝－，ω0＝4，φ0＝ C．A0＝1，ω0＝1，φ0＝0 D．A0＝－1，ω0＝1，φ0＝0 解析：选B．由题可知干扰波对应的函数解析式为 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜). 由题图得－(－)＝T(T为干扰波的最小正周期)，可得T＝，所以ω＝＝4. 因为函数f(x)的最大值为，所以A＝， 将(，－)代入f(x)＝sin (4x＋φ)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|＜，所以φ＝， 所以f(x)＝sin (4x＋). 欲消除此干扰波，需要选择波峰相同，方向相反的波， 所以A0＝－，ω0＝4，φ0＝. 8．(多选)关于函数f(x)＝2cos (2x＋)，下列说法正确的有(　　) A．函数f(x)与函数g(x)＝2sin (2x＋)的图象重合 B．函数f(x)的最大值为1 C．函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称 D．函数f(x)在区间[－，]上单调递减 解析：选AD．对于A，f(x)＝2cos (2x＋)＝2cos (2x＋－)＝2sin (2x＋)＝g(x)，故A正确． 对于B，函数f(x)的最大值为2，故B错误． 对于C，因为f()≠0，所以函数f(x)的图象不关于点(，0)中心对称，故C错误． 对于D，令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0可知函数f(x)在区间[－，]上单调递减，故D正确． 9．(多选)(2025·深圳二模)已知函数f(x)＝2sin cos ，则(　　) A．f(x)的最大值为1 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)在上单调递增 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 解析：选AB．f(x)＝2sin (x＋)cos (x＋)＝sin (2x＋)＝cos 2x，所以f(x)max＝1，故A正确； 最小正周期T＝＝π，故B正确； 当x∈(0，)时，t＝2x∈(0，π)，因为y＝cos t在(0，π)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递减，故C错误； f()＝cos ＝0，故直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故D错误． 10．(多选)(2025·岳阳一模)如图，直线y＝1与函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象交于A，B，C三点(点A在y轴上)，若|BC|＝，则下列说法正确的是(　　) A．φ＝ B．ω＝2 C．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 的图象 D．当x∈时，f(x)∈[－2，1] 解析：选AD．对于A，由f(x)过A(0，1)可得2sin φ＝1，即sin φ＝，由题图结合|φ|≤可得φ＝，故A正确； 对于B，由f(x)＝1可得2sin (ωx＋)＝1，即ωx＋＝＋2kπ(k∈Z)或ωx＋＝＋2kπ(k∈Z)，由B，C相邻可得ωxB＋＝＋2kπ，ωxC＋＝＋2(k＋1)π，k∈Z，故ω(xC－xB)＝，又|BC|＝，则＝，可得ω＝4，故B错误； 对于C，由A，B可得f(x)＝2sin (4x＋)，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin [4(x＋)＋]＝2sin (4x＋)的图象，故C错误； 对于D，当x∈(，]时，4x＋∈(，]，故sin (4x＋)∈[－1，]，则f(x)∈[－2，1]，故D正确． 11．(多选)(2025·贵阳质量监测)已知函数f(x)＝2sin ，则(　　) A．f(x)在区间[1，3]上单调递减 B．f(x)图象的一条对称轴为直线x＝ C．线段y＝2(x∈[0，4])与f(x)的图象围成的图形面积为π D．f(x)在区间[0，6π]上的零点之和为37π 解析：选BD．A错误，通解：当x∈[1，3]时，2x＋∈[2＋，6＋].又正弦函数y＝sin x在[，]上单调递减，在[，]上单调递增，所以函数f(x)在[1，3]上不单调． 优解(特殊值法)：因为1＜＜＜3，f()＝2sin (π＋)＝－2sin ＝－，f()＝2sin (＋)＝－2sin ＝－，所以f()＝f()，所以函数f(x)在[1，3]上不单调． B正确，方法一(方程法)：由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝1时，x＝，所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴． 方法二(代值验证法)：因为f()＝2sin (2×＋)＝2sin ＝－2，此时f(x)取得最小值，所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴． C错误，作出线段y＝2(x∈[0，4])及函数f(x)的大致图象，记两者的交点为D，F，如图所示，过点D，F分别作x轴的垂线，垂足分别为H，G.根据三角函数图象的对称性可知，线段y＝2(x∈[0，4])与f(x)的图象围成的图形面积即长方形DHGF的面积，因为函数f(x)的最小正周期T＝＝π，所以长方形DHGF的面积为π×2＝2π. D正确，由f(x)＝2sin (2x＋)＝0，即sin (2x＋)＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z).由0≤－≤6π，解得≤k≤(k∈Z)，所以k＝1，2，3，…，12，所以f(x)在区间[0，6π]上的零点为－，－，－，…，－，所以f(x)在区间[0，6π]上的零点之和为(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝(1＋2＋3＋…＋12)－×12＝×13×6－2π＝37π. 12．(2025·岳阳二模)将函数f(x)＝sin · 的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域是________． 解析：依题意，g(x)＝f(x＋)＝sin (2x＋－)＝sin (2x＋)，当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，－≤sin (2x＋)≤1，所以g(x)在区间[0，]上的值域为[－，1]. 答案：[－，1] 13．已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的图象关于点对称，则f(x)的最小正周期可能是________．(写出一个满足条件的答案即可)　 解析：由题意得ω－＝kπ，k∈Z，解得ω＝4＋6k，k∈Z. 因为ω＞0，所以ω＝4＋6k，k∈N. 所以f(x)的最小正周期为T＝＝，k∈N， 当k＝0时，f(x)的最小正周期为T＝. 答案：(答案不唯一) 14．已知函数f(x)＝cos x(sin x－cos x)＋，若存在x1，x2∈[－π，2π]，使得f(x1)·f(x2)＝－1，则x1－x2的最大值为__________________________． 解析：f(x)＝cos x(sin x－cos x)＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin2x－cos 2x＝sin (2x－)， 所以f(x)∈[－1，1]，要使f(x1)f(x2)＝－1， 则f(x1)＝1且f(x2)＝－1或f(x1)＝－1且f(x2)＝1， 因为x1，x2∈[－π，2π]，所以2x1－∈[－2π－，4π－]，2x2－∈[－2π－，4π－]， 结合正弦函数图象可知，要使x1－x2的值最大，则f(x1)＝－1且2x1－＝，解得x1＝，f(x2)＝1即2x2－＝－，解得x2＝－， 所以x1－x2的最大值为－(－)＝. 答案： [B　综合运用] 15．(2025·天津卷)已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，为f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A．－ B．－ C．1 D．0 解析：选A．设f(x)的最小正周期为T，根据题意有m，k∈Z，由正弦函数的对称性可知－＝，n∈Z， 即＝，n∈Z 所以ω＝4n＋2，n∈Z， 又f(x)在[－，]上单调递增， 则≥－(－)，又ω>0， 所以≥，解得0＜ω≤2， 所以ω＝2，则φ＝＋2kπ，因为φ∈(－π，π)， 所以k＝0时，φ＝，所以f(x)＝sin (2x＋)， 当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，由正弦函数的单调性可知f(x)min＝sin ＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $