专题1 大题专攻 解三角形-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

大题专攻　解三角形 题型一 求值问题 [例1]　(2025·潍坊一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cosC＋b＝0，b＝c. (1)求cos C； (2)若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB＝，求CD的长． 【解】　(1)因为a cos C＋b＝0，所以，a·＋b＝0，即a2＋3b2－c2＝0，因为b＝c，则c＝2b，即a2＋3b2－8b2＝0，故a＝b，由余弦定理可得cos C＝＝＝－. (2)因为cos C＝－，则sin C＝＝＝. 因为S△ABC＝ab sinC＝ab＝，可得ab＝， 因为a＝b，c＝2b，故a＝，b＝，c＝. D是BC上的点，且∠ADB＝，则∠CAD＝－C，∠ADC＝，所以sin ∠CAD＝sin (－C)＝sin cos C－cos sin C＝×(－)＋×＝. 在△ACD中，由正弦定理可得＝， 故CD＝＝＝. 解三角形的基本策略 (1)涉及边与角的余弦的积或边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理将边化为角；涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及三角形面积问题，要根据条件选择适当的面积公式；对于三角形周长问题，往往利用配方法进行和与积的转化． [对点训练]　(2025·安阳一模)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin ＝cos (π－B). (1)求B； (2)若sin C＝sin A，点B到直线AC的距离为，求△ABC的周长． 解：(1)在△ABC中，sin ＝sin ＝cos ，cos (π－B)＝－cos B， 则cos B＋cos ＝2cos2＋cos－1＝0，而0＜＜， cos ＞0，解得cos ＝，则＝，所以B＝. (2)由已知及正弦定理得＝＝，不妨设c＝5m(m＞0)，则a＝3m，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9m2＋25m2－2×3m×5m×＝49m2，解得b＝7m.由S△ABC＝ac sin B＝×b×，得×3m×5m×＝×7m×，解得m＝，所以a＋b＋c＝15m＝14，即△ABC的周长为14. 题型二 证明问题 [例2]　(2025·济宁二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(2－cos B)＝b(1＋cos A). (1)证明：b＋c＝2a； (2)若△ABC的面积为bc，证明：△ABC为等边三角形． 【证明】　(1)由正弦定理得sin A(2－cos B)＝sin B(1＋cos A)， 即2sin A－sin A cos B＝sin B＋sin B cos A， 2sin A＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B＝sin B＋sin (A＋B)，所以2sin A＝sin B＋sin C，由正弦定理得2a＝b＋c，即b＋c＝2a. (2)因为bc sin A＝bc，所以sin A＝， 因为2a＝b＋c，则cos A＝＝≥，所以A为锐角，所以A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，又a＝，代入上式并化简，得b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形． 三角形中的证明问题有两类：一是角的关系，可以利用三角恒等变换转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角；二是边的关系，可以利用正弦、余弦定理转化为边的关系，证明时可从复杂的一边入手，证明两边相等，也可用作差法：左边－右边＝0. [对点训练]　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin B＋b cos A＝0. (1)证明：△ABC是钝角三角形； (2)若AD是△ABC的角平分线，求证：＋＝. 证明：(1)由a sin B＋b cos A＝0及正弦定理可得sin A sin B＋sin B cos A＝0，因为B∈(0，π)，可得sin B＞0，所以sin A＋cos A＝0，即tan A＝－，又因为A∈(0，π)，可得A＝＞，所以△ABC是钝角三角形． (2)因为AD是△ABC的角平分线，且∠BAC＝，所以∠BAD＝∠CAD＝，所以S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，可得·AB·AC·sin ＝AB·AD·sin ＋·AD·AC·sin ， 即AB·AC＝AB·AD＋AD·AC， 所以＝＋， 所以＝＋，即＋＝. 题型三 最值、范围问题 [例3]　(2024·韶关一模)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b cos C＋c cos B＝2a cos A. (1)求A； (2)若a＝2，求△ABC周长的最大值． 【解】　(1)由b cos C＋c cos B＝2a cos A及正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos A，所以sin (B＋C)＝2sin A cos A.因为B＋C＝π－A，化简得sin A＝2sin A cos A， 因为0＜A＜π，所以sin A≠0，所以cos A＝，所以A＝. (2)方法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，因为bc≤()2，所以(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－＝，即4≥，所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立．所以△ABC的周长C△ABC＝a＋b＋c≤6. 即△ABC周长的最大值为6. 方法二：由正弦定理＝＝＝＝， 得b＝sin B，c＝sin C， 所以△ABC的周长C△ABC＝a＋b＋c＝2＋sin B＋sin C. 因为A＋B＋C＝π，所以C＝－B， 所以C△ABC＝2＋sin B＋sin (－B)＝2＋(sin B＋sin cos B－cos sin B)＝2＋4sin (B＋). 因为0＜B＜，所以当B＋＝，即B＝时，C△ABC取得最大值，且最大值为6. 方法三(几何法)：如图1所示，延长BA到点P，使得AP＝AC， 则P＝，AB＋AC＝AB＋AP＝BP.要使△ABC的周长最大，则需满足BP长度最大，则问题转化为已知一边BC＝2，一对角P＝，求另一边BP的长度的最大值．由图2可得，当BP为△BPC外接圆的直径时，BP最大，即BPmax＝＝＝4. 所以C△ABC＝BC＋BP≤2＋4＝6，即△ABC周长的最大值为6. 解三角形中的最值、范围问题的一般步骤 [对点训练]　(2025·东北四市联合考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝. (1)求角A的大小； (2)若BC＝2，求·的最大值． 解：(1)方法一：因为tan A＋tan B＝， 所以由余弦定理得tan A＋tan B＝＝， 由正弦定理得tan A＋tan B＝， 又＋＝＝＝， 所以＝，显然cos B≠0. 在△ABC中，sin C＞0， 所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，又0<A<π，所以A＝. 方法二：tan A＋tan B＝＋ ＝＝＝， 因为tan A＋tan B＝，所以＝， 所以＝，得＝c， 即＝sin C，因为sin C≠0，所以tan A＝1， 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)方法一：由余弦定理可得a2＝c2＋b2－2cb cos A＝c2＋b2－cb＝4，又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立， 所以4＋bc≥2bc，则bc≤， ·＝cb cos A≤×＝2＋2， 所以·的最大值为2＋2. 方法二：·＝bc cos A＝bc＝×sinB sin C ＝4sin B sin C＝2[cos (B－C)－cos (B＋C)] ＝2[cos (B－C)＋]， 因为0＜B，C＜，所以－＜B－C＜，则·≤2＝2＋2，当且仅当B＝C时等号成立． 故·的最大值为2＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $