专题1 大题专攻 解三角形 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 1．(2025·日照一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c sin A＝2a cos2. (1)求角C； (2)若D为边AC上一点，且BD＝BC＝AB＝1，求AD的值． 解：(1)依题意，c sinA＝2a cos2，由正弦定理可得 sinC sin A＝2sin A cos2， 因为0＜A＜π，所以sinA≠0，所以sin C＝2cos2， 方法一：即2sincos ＝2cos2， 因为0＜C＜π，所以0＜＜，cos≠0， 所以sin ＝cos ，所以tan ＝， 所以＝，即C＝. 方法二：即sin C－cos C＝1， 所以2sin (C－)＝1，即sin (C－)＝， 因为0＜C＜π，所以－＜C－＜， 所以C－＝，即C＝. (2)因为BC＝1，AB＝，又因为BD＝BC，C＝， 所以△BCD为等边三角形， 则CD＝1，∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理得cos ∠ADB＝＝－， 所以AD2＋AD－2＝0，解得AD＝1或AD＝－2(舍去)， 故AD＝1. 2．(2025·萍乡一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c sin A＝a cos C. (1)求C； (2)若c＝2，求△ABC面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得，sin C sin A＝sin A cos C， 因为0<A<π，所以sin A≠0，所以sin C＝cos C，即tan C＝1，又0<C<π，所以C＝. (2)由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos C， 所以4＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝(2－)ab， 所以ab≤＝4＋2，当且仅当a＝b＝时等号成立． S△ABC＝ab sin C≤×(4＋2)×sin ＝＋1. 所以△ABC面积的最大值为＋1. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC＝1且b cos C＋c sin B＝1＋2c. (1)求B的大小； (2)如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB＝∠B，CD＝，AC＝AD，求sin ∠BCA的值． 解：(1)因为b cos C＋c sin B＝1＋2c＝a＋2c， 所以在△ABC中，由正弦定理得， sin B cos C＋sin C sin B＝sin A＋2sin C， 由sin A＝sin (B＋C)， 得sin B cos C＋sin C sin B＝sin (B＋C)＋2sin C ＝sin B cos C＋cos B sin C＋2sin C， 即sin C sin B－cos B sin C＝2sin C， 因为0°＜C＜180°， 所以sin C≠0，所以sin B－cos B＝2， 即sin (B－30°)＝1， 又因为0°＜B＜180°， 所以B－30°＝90°，即B＝120°. (2)设∠DCA＝D＝α，∠CAD＝180°－2α， 在△ACD中，由正弦定理得， ＝，CD＝，所以AC＝＝. 在△ABC中，由正弦定理得，＝，∠BAC＝α－60°，BC＝1， 所以AC＝，所以sin (α－60°)＝cos α，即sin (α－60°)＝sin (90°－α)，因为0°<α<120°.所以－60°<α－60°<60°，－30°<90°－α<90°，所以α－60°＝90°－α， 解得α＝75°， 所以sin ∠BCA＝sin (120°－75°)＝. 4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝. (1)证明：A＝2C； (2)若a＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围． 解：(1)证明：由正弦定理得，cos A＝， 所以2sin C cos A＝sin B－sin C. 又A＋B＋C＝π，所以2sin C cos A＝sin (A＋C)－sin C， 所以sin A cos C－cos A sin C＝sin C，所以sin C＝sin (A－C)， 因为A，C∈(0，π)，所以A－C∈(－π，π)，所以C＝A－C或C＋A－C＝π(舍去)，解得A＝2C. (2)因为＝，所以＝， 因为sin 2C＝2sin C cos C，所以c＝. 因为A＝2C，所以B＝π－3C， 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得C∈(，)，所以cos C∈(，). 因为cos A＝，由余弦定理cos A＝，两式联立得a2－c2＝bc， 又因为a＝2，代入上式得b＝－c， 则b＋c＝，且＝cos C∈， 所以∈(2，2)，即b＋c∈(2，2). 所以△ABC周长的取值范围为(2＋2，2＋2). 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos (B－C)－cos A＝，且a2＝bc. (1)证明：△ABC为等边三角形； (2)如图，若△ABC的边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将△BEF沿着线段EF对折，顶点B恰好落在边AC上的D点．当AD＝2DC时，求重叠部分DEF的面积． 解：(1)证明：由cos (B－C)－cos A＝，得cos (B－C)＋cos (B＋C)＝， 展开得cos B cos C＝.① 由a2＝bc可得sin B sin C＝sin2A.② ①－②得－sin2A＝cosB cos C－sin B sin C＝cos (B＋C)＝－cos A， 因为sin2A＋cos2A＝1，所以4cos2A＋4cosA－3＝0， 解得cos A＝或cos A＝－(舍去). 又0＜A＜π，所以A＝. 把A＝代入cos (B－C)－cos A＝，得cos (B－C)＝1，则B＝C. 所以A＝B＝C＝，故△ABC是等边三角形． (2)由AD＝2DC及AC＝3，得DC＝1， 设BE＝ED＝x，则CE＝3－x. 在△CED中，由余弦定理可得 DE2＝CD2＋CE2－2CD·CE·cos ， 即x2＝12＋(3－x)2－2×1×(3－x)×，解得x＝. 同理，在△AFD中，由余弦定理可得FD＝. 又∠EDF＝B＝， 所以S△DEF＝DE·DF·sin ∠EDF＝×××＝. 6．(2025·天津一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c cos ＝a sin C. (1)求角A的大小； (2)若b＝1，cos B＝，求a的值； (3)若a＝2，当△ABC的周长取最大值时，求△ABC的面积． 解：(1)因为c cos ＝a sin C，由正弦定理得 sin C cos ＝sin A sin C， 因为0<C<π，所以sin C≠0，所以cos ＝sin A， 又因为sin A＝2sin cos ，且cos ≠0， 所以sin ＝， 又因为A∈(0，π)，∈(0，)， 所以＝，解得A＝. (2)因为在△ABC中，cos B＝，所以sin B＝， 又因为A＝，b＝1，由正弦定理＝， 可得a＝＝＝. (3)在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得4＝(b＋c)2－2bc－2bc cos ，即(b＋c)2－4＝3bc≤3()2＝(b＋c)2， 所以(b＋c)2≤4，(b＋c)2≤16，b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号， 所以周长的最大值为a＋b＋c＝6， 此时△ABC的面积为S＝bc sin A＝. 学科网（北京）股份有限公司 $