专题3 小题考法1 立体几何初步 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 一、单项选择题 1．(2025·天津卷)若m为直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是(　　) A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β 解析：选C.m与n可能垂直，如图，m∥m′，m′⊂α，n1⊂α，m′⊥n1，可知m⊥n1，n2与m异面，故A错误；垂直于同一条直线的两平面平行，故B错误；因为m∥α，所以存在直线m′使得m′⊂α，且m∥m′，又m⊥β，所以m′⊥β，所以α⊥β，故C正确；若α∩β＝n，则当m与n重合时，m⊂β，故D错误． 2．(2025·济南一模)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 解析：选B.如图，设展开图中小圆半径和大圆半径分别为r，R，则圆台侧面积S＝(R2－r2)＝4π，即R2－r2＝8，上底面半径r1＝＝， 下底面半径R1＝＝， 圆台上下底面面积之差的绝对值为πR－πr＝－＝(R2－r2)＝2π. 3．(2025·唐山一模)在三棱锥A-BCD中，＝，＝2，＝3，设三棱锥A-EFG的体积为V1，三棱锥A-BCD的体积为V2，则V1∶V2＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设G到平面ABC的距离为h1，设D到平面ABC的距离为h2， 由于＝3，故＝. 又＝，＝2，则AE＝AB，AF＝AC， 故＝＝， 故＝＝×＝. 4．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为(　　) A． B．2 C． D．3 解析：选C.由题意得，圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为l＝3， 设过圆锥顶点的截面三角形顶角为α，则0＜α≤， 则截面面积为S＝l2sin α＝sin α，当α＝时，Smax＝. 5．(2025·西安一模)正三棱锥S-ABC侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选A.将正三棱锥S-ABC的侧面沿侧棱SB剪开并展开在同一平面内，如图， 连接BB′，当E，F分别为BB′与SA，SC的交点时，△BEF的周长最小， 此时BB′＝，而SB＝SB′＝1，SB2＋SB′2＝2＝BB′2，则∠BSB′＝90°，∠ASB＝30°， 所以三棱锥的侧面积为3×SA×SB×sin 30°＝. 6．(2025·宁波三模)一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10 cm，8 cm，15 cm，内部装有400毫升墨水．将墨水瓶倾斜，使其一条长边(10 cm)置于水平地面，高边(15 cm)所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为(　　) A．180 cm2 B．220 cm2 C．260 cm2 D．300 cm2 解析：选C.如图1，若截面为等腰直角三角形，设其腰长为a， 则a2＝＝40，可得a＝4＞8，不符合题意； 如图2，若截面为直角梯形，设上底长为b， 则×(2b＋8)×8＝＝40，可得b＝1，符合题意， 所以此时墨水与墨水瓶接触部分的面积S＝2×40＋1×10＋9×10＋8×10＝260(cm2). 7．(2025·南开一模)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段A1D上的一点，则三棱锥B1-ACP的体积与平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为(　　) A．2∶5 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶6 解析：选D.由题设及平行六面体的结构特征易知A1D∥B1C，A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C， 所以A1D∥平面AB1C，则A1D上任意一点到平面AB1C的距离为定值， 又P，D∈A1D，连接B1D(图略)，则V三棱锥B1-ACP＝V三棱锥P-AB1C＝V三棱锥D-AB1C＝V三棱锥B1-ACD， 由三棱锥B1-ACD的底面面积是平行六面体ABCD-A1B1C1D1底面面积S的一半，且高h相等， 所以V三棱锥B1-ACD＝h·＝hS＝V平行六面体ABCD-A1B1C1D1，即＝＝. 8．(2025·茂名一模)在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝2，＝2，过点B，E，F的平面截该正方体所得截面的周长为(　　) A．4＋3 B．6＋3 C．4＋8 D．6＋8 解析：选B.如图取D1C1的中点N，D1A1的中点M，连接MN，NF，ME，则五边形BEMNF为过点B，E，F的截面． 取CF的中点J，DD1靠近D1的三等分点K，连接D1J，CK，EK，则NF∥D1J，又CJ∥D1K且CJ＝D1K， 所以四边形CJD1K为平行四边形， 所以CK∥D1J，则NF∥CK， 又EK∥BC且EK＝BC，所以四边形EKCB为平行四边形，所以BE∥CK， 则NF∥BE，所以N，F，B，E四点共面； 取BB1，AA1靠近B，A的三等分点G，H，连接C1G，GH，D1H， 同理可证BF∥C1G，D1H∥C1G，D1H∥EM，所以BF∥EM， 所以B，F，M，E四点共面， 所以N，F，B，E，M五点共面． 又NF＝ME＝＝，BE＝BF＝＝2，MN＝＝3， 所以截面周长为6＋3. 二、多项选择题 9．圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上，则(　　) A．圆柱的轴截面为正方形 B．过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分 C．圆柱的表面积为4(＋1)π D．若圆柱的上下底面是一个球的两个平行截面，则该球的体积是4π 解析：选BCD.如图所示，对于正方体ABCD-A1B1C1D1和圆柱O1O2，设正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O. 对于A，由题意可知AC＝2，AA1＝2， 所以圆柱的轴截面不为正方形，故A错误； 对于B，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心O也为圆柱O1O2的中心， 根据对称性可知过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分，故B正确； 对于C，可知圆柱的底面半径为，母线长为2， 所以圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝4(＋1)π，故C正确； 对于D，可知该球的球心为O， 则OA＝＝，即球的半径为， 所以该球的体积是π()3＝4π，故D正确． 10．(2025·青岛一模)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为AC的中点，点P满足＝λ，λ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝时，EP∥AB B．当λ＝时，EP⊥A1C1 C．存在λ，使得A1E∥C1P D．存在λ，使得EP⊥平面A1ACC1 解析：选AD. 取BC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为2，AA1＝t，则A(，0，0)， A1(，0，t)，C(0，－1，0)，C1(0，－1，t)， B(0，1，0)，E， 所以＝λ＝λ(0，－2，0)＝(0，－2λ，0)，所以＝＋＝＋(0，－2λ，0)＝(－，－2λ，0)， 当λ＝时，＝，＝(－，1，0)，＝2，所以EP∥AB，因为＝(－，－1，0)，·＝－＋0＝1≠0，所以EP⊥A1C1不成立，故A正确，B错误；＝，＝＋＝(0，2，－t)＋(0，－2λ，0)＝(0，2－2λ，－t)，≠μ，μ∈R，故C错误；因为＝，＝(－，－1，0)，＝(0，0，t)， 设平面A1ACC1的法向量为n＝(a，b，c)， 则即令b＝－，则n＝(1，－，0)， 若使得EP⊥平面A1ACC1，则∥n，所以＝－2λ，解得λ＝0，符合λ∈[0，1]，故D正确． 11．(2025·佛山一模)在三棱台ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是等腰梯形且与底面垂直，A1C1＝1，A1A＝，AC＝BC＝3，AB＝3，则下列说法正确的是(　　) A．A1A⊥BC B．VA1-ABC＝9VB-A1B1C1 C．VA1-ABC＝2VB-A1CC1 D．三棱台ABC-A1B1C1的体积为 解析：选ABD.如图． 对于A，在△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝3，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC. 由平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC， 所以BC⊥平面ACC1A1，又A1A⊂平面ACC1A1，所以BC⊥A1A，故A正确； 对于B，因为A1C1＝1，AC＝3，且△A1B1C1∽△ABC，所以S△A1B1C1＝S△ABC. 又三棱锥A1-ABC和三棱锥B-A1B1C1的高相同，所以VA1-ABC＝9VB-A1B1C1，故B正确； 对于C，因为AC＝3A1C1，所以S△A1AC＝3S△A1C1C，所以VB-A1AC＝3VB-A1C1C，即VA1-ABC＝3VB-A1CC1，故C错误； 对于D，易知三棱台的高为1，所以三棱台ABC-A1B1C1的体积为 V＝×＝，故D正确． 三、填空题 12．如图，已知圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形且边长为2，O1B∥O2A，则圆台的表面积为________． 解析：因为△ABO2是边长为2的等边三角形且O1B∥O2A， 所以O1B＝1，因此该圆台的表面积S＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π. 答案：11π 13．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝18，底面三角形ABC边AB上的高为h.当底面ABC水平放置时水面高度为16(如图1).当侧面AA1B1B水平放置时(如图2)，水面高度为________． 解析：设△ABC的面积为S， 当底面ABC水平放置时水面高度为16，所以水的体积为V＝16S. 侧面AA1B1B水平放置时，水呈直四棱柱体，设直四棱柱体的底面梯形的面积为S′， 则水的体积为V＝18S′，所以16S＝18S′，所以＝＝， 设直四棱柱体的底面梯形的高为h′，则可得2＝，解得h′＝h. 答案：h 14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16，则四棱锥A1-ABCD与四棱锥B1-ABCD重叠部分的体积是________． 解析：如图1， 四棱锥A1-ABCD与四棱锥B1-ABCD重叠部分为五面体ABE-DCE1， 又该正方体的体积为16， 即AB3＝16， 解得AB＝2，则EE1＝BC＝， 所以AE＝AB1＝＝2， 得S△ABE＝AE·BE＝2， 又该五面体由一个三棱柱和一个四棱锥组成，如图2， 故该五面体ABE-DCE1的体积为V五面体ABE-DCE1＝EE1·S△ABE＋h四棱锥E1-ABCD·S正方形ABCD＝2＋＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $