专题3 高分进阶1 立体几何中的动点轨迹问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

类型一　与平行有关的轨迹问题 [例1]　(2025·黑龙江一模)如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若MN＝R＝2r，MN∥平面OAB，且AB的最小值为6，则该圆台的体积为(　　) A．π　　B．15π　　C．21π　　D．18π 【解析】　 取圆台下底面圆心O′，连接MO′，令MO′∩AB＝C，连接ON，OO′，OC，显然ON∥O′M，由平面OO′MN∩平面OAB＝OC，MN∥平面OAB，MN⊂平面OO′MN，得MN∥OC，则四边形OCMN为平行四边形，OC＝MN＝2r，CM＝ON＝r＝R＝O′C. 在△OO′C中，OO′⊥O′C，∠COO′＝30°，在圆O′中，当且仅当AB⊥O′M时，AB取最小值6， 所以3＝，解得R＝2，因此r＝，圆台的高h＝OO′＝Rcos 30°＝3，所以该圆台的体积为V＝π(r2＋rR＋R2)h＝π(3＋6＋12)×3＝21π. 【答案】　C 与平行有关的轨迹问题 (1)线面平行转化为线线、面面平行求轨迹； (2)利用空间坐标计算求轨迹． 类型二　与垂直有关的轨迹问题 [例2]　(多选)(2025·四平一模)如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AB＝2A1B1＝2AA1＝4，AA1⊥底面ABCD.动点P满足BP⊥CC1，则下列判断正确的是(　　) A．点P可能在直线AA1上 B．点P可能在直线B1D1上 C．若点P在底面ABCD上，则三棱锥A-PB1D1的体积为定值 D．若点P在棱CC1上，则＝ 【解析】　点P的轨迹是过点B且与CC1垂直的平面α(不包括点B)，因为AA1与CC1所在直线相交且不垂直，因此直线AA1与平面α相交，故A正确； 连接AC，BD，A1C1，因为AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以AA1⊥BD， 又AC⊥BD，AA1，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C， 因为CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1， 因此平面α∩平面ABCD＝BD， 又B1D1∥BD，BD⊂平面α，B1D1⊄平面α， 所以B1D1∥α，故B不正确； 由B知，若点P在底面ABCD上，则点P在线段BD上(不包括点B)，而BD∥平面AB1D1， 所以点P到平面AB1D1的距离为定值， 所以V三棱锥A-PB1D1＝V三棱锥P-AB1D1为定值，故C正确； 连接BD，AC，A1C1，设BD的中点为O，若点P在棱CC1上，连接OP，因为BD⊥CC1，BP⊥CC1，BD∩BP＝B，BD，BP⊂平面BDP， 所以CC1⊥平面BDP，又OP⊂平面BDP，所以OP⊥CC1， 连接OC1，在梯形AA1C1C中，可以求得C1C＝＝2，又＝，所以CP＝， 所以＝，故D正确． 【答案】　ACD 与垂直有关的轨迹问题 (1)可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹； (2)利用空间坐标运算求轨迹； (3)利用垂直关系转化为平行关系求轨迹． 　 类型三　与距离有关的轨迹问题 [例3]　(2025·长沙一模)如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且AP＝2，则点P的轨迹的长度为(　　) A．π B．π C．π D．π 【解析】　由于AP＝2＞，因此P在半球面形成的轨迹为圆周，如图，记圆柱上底面圆心为M，则M为半球的球心，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线，AN⊥PN，设PN＝r，MN＝d，在Rt△ANP和Rt△MNP中使用勾股定理有 解得 所以点P的轨迹的长度为2πr＝π. 【答案】　D 与距离有关的轨迹问题 (1)可转化为在一个平面内的距离关系，借助球和圆的定义等知识求解轨迹； (2)利用空间坐标计算求轨迹． 类型四　与角度有关的轨迹问题 [例4]　已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB＝，AA1⊥底面ABCD，AA1＝AB＝AD＝3，点P是四棱柱ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，且直线AP与CC1所成的角为，则点P的轨迹长度为________． 【解析】　因为CC1∥AA1，所以直线AP与AA1所成的角为，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以点P的轨迹是以AA1为轴(其中A为顶点，A1为底面圆心)，母线与轴所成的角为的圆锥的侧面与四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面的交线． 如图，在线段A1B1和A1D1上分别取点M，N，使得A1M＝A1N＝3， 连接AM，AN，则∠A1AN＝∠A1AM＝，故点P在四边形ABB1A1与四边形ADD1A1上的运动轨迹为线段AM和AN，且AM＝AN＝6. 当P在四边形A1B1C1D1上运动时， 其轨迹是以A1为圆心，3为半径的圆的三分之一． 综上，点P的轨迹长度为6＋6＋×6π＝12＋2π. 【答案】　12＋2π 与角度有关的轨迹问题 (1)直线与平面成定角，可能是圆锥侧面； (2)直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面； (3)利用空间坐标计算求轨迹． 　 1．(2025·九江一模)在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在正方体内(包含边界)运动．若直线A1P与DC所成的角为，则动点P所围成的图形的面积是(　　) A． B． C． D．π 解析： 选B.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DC∥A1B1，直线A1P与DC所成的角为，即直线A1P与直线A1B1所成的角为，故动点P所围成的图形是高为，底面半径为1，母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点P所围成的图形的面积为×π×1×2＝. 2．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，AP＝1，若点M是侧面CBP内一动点，且满足AM⊥BC，则点M的轨迹长度的最大值为(　　) A.3　　　B．6　　　C．2　　　D．3 解析：选A.如图所示， 因为PA，PB，PC两两垂直，所以PA⊥平面PBC，即有PA⊥BC，而AM⊥BC，PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面APM， 所以BC⊥平面APM，又PM⊂平面APM，所以BC⊥PM，故点M的轨迹为Rt△ABC斜边BC上的高线PD. 因为三棱锥P-ABC的体积为3，所以×1××PB×PC＝3，即PB×PC＝18，由等积法可得，PD＝＝≤＝3，当且仅当PB＝PC＝3时取等号，所以点M的轨迹长度的最大值为3. 3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内(不含边界)，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP的最小值是________． 解析：如图，分别取棱B1C1，BB1的中点M，N，连接A1M，A1N，MN. 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中A1M∥AE，MN∥EF， 所以平面A1MN内的两条相交直线A1M，MN与平面AEF平行， 所以平面A1MN∥平面AEF，则点P在线段A1N上(不含端点). 过点A作AH⊥A1N，垂足为H，连接DH，易知DH⊥A1N， 故DP≥DH，当且仅当P与H重合时，DPmin＝DH＝＝. 答案： 4．在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，点P在正方形DCC1D1内(包括边界)运动，且满足∠APD＝∠MPC，则点P的轨迹长度为________． 解析：如图1，在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，MC⊥平面DCC1D1，又PD，PC⊂平面DCC1D1，所以AD⊥PD，MC⊥PC.又∠APD＝∠MPC，所以Rt△ADP∽Rt△MCP，所以＝＝2，即PD＝2PC. 如图2，在平面DCC1D1中，以D为原点，以DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则D(0，0)，C(6，0)， 设P(x，y).由PD＝2PC，知＝ 2，化简整理得(x－8)2＋y2＝16，0≤x≤6，所以点P的轨迹为以N(8，0)为圆心，半径为4的圆与正方形DCC1D1的交线，即为图中的.其中CN＝2，FN＝4，则∠FNC＝.由弧长公式知＝×4＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $