专题3 大题专攻 空间角与距离-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

大题专攻　空间角与距离 题型一 空间角 角度1　直线与平面所成的角 [例1]　(2025·衡阳一模)如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AC是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD是圆锥底面圆O的内接三角形，E是圆锥母线PC的中点，PO＝6，AC＝4. (1)求证：平面BED⊥平面ABD； (2)设点M在线段PO上，且OM＝2，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值． 【解】　(1)证明：如图，设AC交BD于点F，连接EF， 在圆锥PO中，PO⊥底面圆O，所以PO⊥BD， 又等边三角形ABD是圆锥底面圆O的内接三角形，AC为直径，所以BD⊥AC，所以AB＝AC sin ＝2，所以AF＝AB sin ＝3， 可知OF＝AF＝1＝OC，即F是OC的中点， 又E是母线PC的中点，所以EF∥PO，所以EF⊥平面ABD， 又EF⊂平面BED，所以平面BED⊥平面ABD. (2)由(1)知EF⊥平面ABD，BD⊥AC，以点F为坐标原点， FA，FB，FE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰三角形PAC中，AC＝4，PO＝2EF＝6，OM＝2，又AF＝3，所以BF＝DF＝AB＝，所以A(3，0，0)，B(0，，0)，D(0，－，0)，E(0，0，3)，M(1，0，2)，＝(－3，，0)，＝(－3，0，3)，＝(1，，2)，设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝，z＝1，即n＝(1，，1)， 设直线DM与平面ABE所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝. 利用空间向量求直线与平面所成角的一般步骤 (1)求出平面α的法向量n与直线AB的方向向量； (2)计算cos 〈，n〉＝； (3)设直线AB与平面α所成的角为θ，利用sin θ＝|cos 〈，n〉|，以及θ∈，求出角θ. 　 [对点训练]　(2025·萍乡二模)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°. (1)求证：平面ABCD⊥平面BDEF； (2)设点P满足＝λ(λ＞0)，直线AE与平面APC所成角的正弦值为，求实数λ的值． 解：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接FO， 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点，又FA＝FC，所以AC⊥FO，因为FO∩BD＝O，FO，BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF， 又AC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面BDEF. (2)连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°， 所以△DBF为等边三角形， 因为O为BD中点，所以FO⊥BD，又AC⊥FO，AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD， 所以FO⊥平面ABCD.故OA，OB，OF两两互相垂直， 以O为原点，OA，OB，OF所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以BD＝2，AC＝2＝2.因为△DBF为等边三角形，所以OF＝.所以O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，F(0，0，)，E(0，－2，)， 则＝(0，－1，)，因为＝λ(λ＞0)，即＝(0，－λ，λ)，所以P(0，1－λ，λ)，所以＝(－，1－λ，λ)，＝(，0，0)，＝(－，－2，). 设平面APC的法向量为n＝(x，y，z)，则取n＝(0，λ，λ－1)， 设AE与平面APC所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，解得λ＝0或λ＝，又λ＞0，所以λ＝. 角度2　平面与平面的夹角(二面角) [例2]　(2025·唐山一模)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，A1B1＝1，AB＝AC＝2，D为BC的中点，AC⊥C1D. (1)证明：AC⊥AB； (2)若AA1＝，求平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值． 【解】　(1)证明：在三棱台ABC-A1B1C1中，因为A1B1＝1，AB＝AC＝2，所以A1C1＝1，BC＝2B1C1. 因为D为BC的中点，所以B1C1＝BD，B1C1∥BD，所以四边形BDC1B1为平行四边形，故B1B∥C1D. 因为AC⊥C1D，所以AC⊥B1B.因为AA1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AA1⊥AC.因为AA1，B1B⊂平面ABB1A1，AA1，B1B为相交直线，所以AC⊥平面ABB1A1，因为AB⊂平面ABB1A1，所以AC⊥AB. (2)以A为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(1，0，)，C1(0，1，)，D(1，1，0). 所以＝(－2，2，0)，＝(－1，0，)，1＝(0，1，)，＝(1，1，0). 设平面BCC1B1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即令x1＝，则y1＝，z1＝1，故m＝(，，1). 设平面ADC1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则即令x2＝，则y2＝－，z2＝1，故n＝(，－，1).所以cos 〈m，n〉＝＝. 所以平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值为. 利用空间向量求二面角的一般步骤 (1)求两个平面α，β的法向量m，n； (2)计算cos 〈m，n〉＝； (3)设两个平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|. 提醒　两个平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]，求二面角时需判定二面角的平面角是锐角还是钝角． [对点训练]　(2025·沙坪坝模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，B1C⊥平面ABC，且AC＝BC＝B1C＝2，D，E分别是AC，B1C1的中点． (1)求证：DE∥平面ABB1A1； (2)求二面角E-A1D-A的正弦值． 解：(1)证明：取A1B1的中点M，连接ME，AM，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1且AC＝A1C1， 因为D，E分别为AC，B1C1的中点，所以ME∥A1C1且ME＝A1C1，AD∥A1C1且AD＝A1C1，所以ME∥AD且ME＝AD， 所以四边形ADEM为平行四边形，所以DE∥AM， 因为DE⊄平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1. (2)因为B1C⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝B1C＝2， 如图，以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(0，0，2)，D(1，0，0)，C1(0，－2，2)，E(0，－1，2)， 因为＝＝(2，－2，0)，则＝＋＝(0，0，2)＋(2，－2，0)＝(2，－2，2)，所以A1(2，－2，2)， 所以＝(－1，－1，2)，＝(1，－2，2)，＝(1，0，0)， 设平面A1DE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则可得 不妨取x1＝2，则m＝(2，4，3)， 设平面A1DA的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则 不妨取y2＝1，则n＝(0，1，1)， 所以cos 〈m，n〉＝＝＝， 令二面角E-A1D-A的平面角为θ， 则sin θ＝＝＝. 因此，二面角E-A1D-A的正弦值为. 题型二 空间距离 [例3]　(2025·肇庆二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面PCD. (1)证明：CD⊥平面PAC； (2)若AB＝PA＝BC＝3，E为PD的中点，求PB到平面AEC的距离． 【解】　(1)证明：如图，在平面PAC内作AH⊥PC，交PC于点H.因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，AH⊂平面PAC，AH⊥PC， 所以AH⊥平面PCD，又因为CD⊂平面PCD，所以AH⊥CD. 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD， 因为PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC. (2)如图，连接BD交AC于点O，连接OE.易知OE为△PBD的中位线，所以PB∥OE.因为PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以PB∥平面AEC， 所以PB到平面AEC的距离，即为点B到平面AEC的距离． 由(1)知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC. 因为AB∥CD，所以AB⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA，AB，AC两两垂直． 因为AB＝BC＝3，所以AC＝4. 方法一(建系法)：如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，3)， 所以＝(0，4，0)，＝(0，0，3)，＝(－3，4，0)， ＝(＋)＝(＋)＝. 设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝1，则x＝1，y＝0，所以平面AEC的一个法向量为n＝(1，0，1). 则点B到平面AEC的距离d＝＝，即PB到平面AEC的距离为. 方法二(几何法)：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，因为CD⊥平面PAC，所以PC⊥CD，所以△PAD，△PCD是直角三角形． 所以PD＝＝，因为E是斜边PD的中点，所以AE＝CE＝PD＝.则S△ACE＝×4×＝3，S△ABC＝×3×4＝6. 连接BE(图略)，设点B到平面AEC的距离为d，则V三棱锥B-AEC＝S△ACE·d＝S△ABC·，解得d＝，即PB到平面AEC的距离为. (1)向量法求点到直线距离的步骤：①根据图形求出直线的单位方向向量v；②在直线上任取一点M(可选择便于计算的特殊点)，计算点M与直线外的点N构成的向量；③计算垂线段长度d＝. 注意　平行线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)求点到平面的距离的向量方法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，P是平面外一点，则点P到α的距离为d＝. 注意　直线与平面间的距离、平面与平面间的距离问题均可以转化为点到平面的距离问题． [对点训练]　在梯形ABCD中，AB∥CD，D＝90°，AB＝2，AD＝DC＝，如图1.现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P-AC-B，如图2，点M在线段BP上． (1)求证：AP⊥CM； (2)若点M到直线AC的距离为，求的值． 解：(1)证明：AC＝＝2，∠CAB＝∠ACD＝45°，由余弦定理可得，BC2＝4＋8－2×2×2×＝4，故BC＝2，则∠ACB＝90°，即AC⊥BC，又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊥AC，CB⊂平面ACB，故CB⊥平面PAC，AP⊂平面PAC，则CB⊥AP，又AP⊥PC，PC∩CB＝C，PC，CB⊂平面PCB，所以AP⊥平面PCB，又CM⊂平面PCB，则AP⊥CM. (2)设AC中点为O，AB中点为D，连接OP，OD，以OA，OD，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(1，0，0)，C(－1，0，0)，P(0，0，1)，B(－1，2，0)，设＝λ，则＝λ， 设M(x，y，z)，则(x＋1，y－2，z)＝λ(1，－2，1)， 则M(λ－1，2－2λ，λ)，＝(2，0，0)，＝(λ，2－2λ，λ)， 由点M到直线AC的距离为，得CM2＝＋， 即λ2＋(2－2λ)2＋λ2＝＋，即25λ2－40λ＋16＝0，解得λ＝，所以＝. 学科网（北京）股份有限公司 $