专题2 小题考法 数列的基本运算-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

　 小题考法　数列的基本运算 命题点一 等差、等比数列基本量的运算 [例1]　(1)(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 (2)(2025·上海二模)已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2＝t，若a6＋b6>38，则实数t的取值范围为________． 【解析】　(1)方法一：根据题意，由得①÷②得＋＋1＝7，化简得6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，故A正确；由A可知q＝，则a1＝＝4，因此an＝4×，则a5＝4×＝，故B错误；S5＝＝，故C错误；an＋Sn＝4×＋＝＋8－＝8，故D正确． 方法二：对于A，由S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝＋＋1＝7，整理得6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，故A正确；对于B，a5＝a3·q2＝1×＝，故B错误；对于C，因为S3＝7，a4＝a3q＝1×＝，a5＝a4q＝×＝，所以S5＝S3＋a4＋a5＝7＋＋＝，故C错误；对于D，由方法一可知D正确． (2)由题意可得等差数列{an}的公差为t－1，所以an＝1＋(n－1)·(t－1)，即a6＝5t－4，等比数列{bn}的公比为t，所以bn＝tn-1，即b6＝t5.因为a6＋b6>38，即t5＋5t－4>38，即t5＋5t－42>0，设f(t)＝t5＋5t－42，由f′(t)＝5t4＋5>0可得f(t)在R上单调递增，又f(2)＝0，所以实数t的取值范围为(2，＋∞). 【答案】　(1)AD　(2)(2，＋∞) 数列基本量运算的解题策略 (1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素． (2)在进行等差(比)数列的项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可转化成关于a1和d(q)的方程(组)求解，但要注意使用消元法及整体计算，以减少计算量． 注意　在等比数列的前n项和公式中，若不确定q是否等于1，应注意分q＝1和q≠1两种情况讨论． 　 [对点训练]　1.(2025·萍乡二模)已知等差数列{an}满足：a3＋a6＋a9＋…＋a3n＝n(n＋1)(n∈N*)，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：选D.设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a6＋a9＋…＋a3n＝n(n＋1)，n∈N*，可知当n＝1时，a3＝， 当n＝2时，a3＋a6＝×2×3＝，则a6＝3，所以3d＝a6－a3＝，解得d＝. 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1，a3，a9成等比数列，等比数列{bn}的首项为a1，公比q为正整数，{an}，{bn}均不是常数列，若是大于1的整数，则q＝_____________________________. 解析：设等差数列{an}的公差为d，d≠0，因为在等差数列{an}中，a1，a3，a9成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，即a1＝d≠0，则an＝a1＋(n－1)d＝nd，则S6＝＝21a1. 在等比数列{bn}中，首项为a1，公比q(q≠1)为正整数， 则b1＋b2＋b3＝b1(1＋q＋q2)＝a1(1＋q＋q2)， 则＝＝， 又是大于1的整数，所以1＋q＋q2的值可以为1，3，7，分别求解可得q＝2符合题意． 答案：2 命题点二 等差、等比数列的性质 [例2]　(1)(多选)(2025·湖南一模)设{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项积，且K5<K6，K6＝K7>K8，则下列选项中成立的是(　　) A．0<q<1 B．a7＝1 C．K9>K5 D．K6与K7均为Kn的最大值 (2) 已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＋＝________． 【解析】　(1)对于A，B，由数列{an}各项均为正数，知其前n项积Kn也为正数，公比q>0， 又K5<K6，K6＝K7>K8，则＝a6>1，＝a7＝1，B正确； 又＝a8<1，故q＝＝<1，即0<q<1，A正确； 对于C，由a7＝1得a5a9＝a6a8＝a＝1，所以K4＝K9， 而a5＝>1，所以K5>K4，因此K9<K5，C错误； 对于D，由上知a1>a2>…>a6>1＝a7>a8>…， {Kn}先增后减，K6与K7均为Kn的最大值，D正确． (2)由等差数列的性质，可得＋＝＋＝＝， 又因为＝，则＝＝＝＝，所以＋＝. 【答案】　(1)ABD　(2) 等差、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解． (2)用性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题． [对点训练]　1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且{Sn}单调递增，若a5＝6，则实数d的取值范围为(　　) A． B． C．(0，) D．[0，2) 解析：选D.由{an}为等差数列，且a5＝6，得an＝6＋(n－5)d，因为数列{Sn}为递增数列，所以an＝Sn－Sn－1>0(n≥2，n∈N*)，即{an}从第二项开始，各项均为正数，又因为an>0(n≥2，n∈N*)恒成立，所以数列{an}为常数列或递增数列，所以d≥0，则有a2＝6＋(2－5)d＝6－3d>0，解得d<2.综上可得，0≤d<2，所以实数d的取值范围为[0，2). 2．(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． 解析：方法一：设该等比数列为{an}且公比为q(q＞0).若q＝1，则S8＝2S4＝8≠68，所以q≠1.根据题意可得解得q＝2(负值已舍去). 方法二：由方法一可知，该数列的公比q是不为1的正数，则S4，S8－S4，S12－S8，…成公比为q4的等比数列，所以＝＝q4，解得q＝2(负值已舍去). 答案：2 3．(2025·南京模拟)已知等比数列{an}的公比为q(|q|≠1)，存在s，t∈N*，满足asat＝a，则＋的最小值为________． 解析：在等比数列{an}中，由asat＝a，得a1qs-1a1qt-1＝(a1q4)2，即qs＋t-2＝q8，则s＋t＝10，s，t∈N*， 则＋＝(＋)(s＋t)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即s＝2t时取等号， 此时s＝，t＝，而s，t∈N*， 当s＝7，t＝3时，＋＝＋＝； 当s＝6，t＝4时，＋＝＋＝，又<， 所以当s＝7，t＝3时，＋取得最小值，最小值为. 答案： 命题点三 累加、累乘求通项公式 [例3]　(1)(2025·青岛模拟)设数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋an＋2＝2an＋1＋2，若[x)表示大于x的最小整数，如[2)＝3，[－2.1)＝－2，记bn＝，则数列{bn}的前2 026项和为(　　) A．4 050 B．4 053 C．4 048 D．4 047 (2)已知数列{an}满足a1＝1，(n－1)an＝n·2nan－1(n∈N*，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________________． 【解析】　(1)由an＋an＋2＝2an＋1＋2，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，又a2－a1＝4－1＝3， 故{an＋1－an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以an＋1－an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－3＋…＋3＋1＝＝n2， 故bn＝＝，故b1＝[2)＝3，当n≥2时，1＋<2，故bn＝＝2， 所以数列{bn}的前2 026项和为3＋2×2 025＝4 053. (2)当n≥2时，有(n－1)an＝n·2nan－1，又an≠0，故＝·2n， 则有＝·2n-1，＝·2n-2，…，＝×22. 上述n－1个式子累乘得， ＝(·2n)·(·2n-1)·(·2n-2)·…·(×22)＝n·2n＋(n-1)＋(n-2)＋…+2＝n·2. 因为a1＝1，所以an＝n·2(n≥2)， 而当n＝1时，a1＝1也满足上式， 故数列{an}的通项公式为an＝n·2(n∈N*). 【答案】　(1)B　(2)an＝n·2(n∈N*) 由递推关系式求数列的通项公式 (1)形如an＋1＝an＋f(n)，利用累加法求通项公式． (2)形如an＋1＝anf(n)，利用累乘法求通项公式． (3)形如an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，等式两边同时加转化为等比数列求通项公式． 注意　由Sn求an时，一定要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，最后验证两者能否合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示． [对点训练]　1.(2025·宁波三模)已知数列{an}中，a2＝1，记Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan，则a2 026的值为(　　) A．2 024 B．2 025 C．2 026 D．2 027 解析：选B.数列{an}中，满足2Sn＝nan，当n≥3时，可得2Sn－1＝(n－1)an－1，两式相减，可得2an＝nan－(n－1)an－1，即(n－2)an＝(n－1)an－1，所以＝， 又a2＝1，则a2 026＝a2×××…×＝1×××…×＝2 025. 2．在数列{an}中，a1＝1，对任意m，n∈N*，am＋n＝am＋an＋2mn，则＋＋＋…＋＝________． 解析：令m＝1，则an＋1＝a1＋an＋2n，即an＋1－an＝2n＋1， 故当n≥2时，an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝3，累加得an－a1＝2n－1＋2n－3＋…＋3， 故an＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝＝n2， 当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝n2. 故＝＝－， 故＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $