专题2 第2讲 数列的通项公式 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

专题强化训练 [A　基本技能] 1．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝ C．an＝n2 D．an＝ 解析：选C．因为＋＋…＋＝，所以＋＋…＋＝(n≥2)，两式相减得＝－＝n(n≥2)，所以an＝n2(n≥2)，又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，也满足上式，所以an＝n2，n∈N*. 2．已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　) A．47 B．48 C．49 D．410 解析：选C．由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝4≠0，所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，即an＋an＋1＝4×4n-1＝4n，所以a9＋a10＝49. 3．记Sn为正项数列{an}的前n项和，且a1Sn＝(n＋1)an，则a10＝(　　) A．18 B．20 C．26 D．32 解析：选B．因为Sn为正项数列{an}的前n项和，且a1Sn＝(n＋1)an，令n＝1可得a1＝2或a1＝0(舍去)，故2Sn＝(n＋1)an，当n∈N*时，2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，两式相减得到2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，故＝，于是{}为常数列，故＝＝2，故an＝2n，故a10＝20.故选B． 4．已知Tn为正项数列{an}的前n项积，且a1＝2，T＝a，则a5＝(　　) A．16 B．32 C．64 D．128 解析：选B．由T＝a，得T＝a，于是a＝＝，则a＝a，两边取以10为底的对数得n lg an＋1＝(n＋1)lg an，因此＝，数列是常数列，则＝＝lg 2，即lg an＝n lg 2＝lg 2n，所以an＝2n，a5＝32. 5．(2025·青岛模拟)设数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋an＋2＝2an＋1＋2，若[x)表示大于x的最小整数，如[2)＝3，[－2.1)＝－2，记bn＝，则数列{bn}的前2 024项和为(　　) A．4 050 B．4 049 C．4 048 D．4 047 解析：选B．由an＋an＋2＝2an＋1＋2，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，a2－a1＝4－1＝3，故{an＋1－an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以an＋1－an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－3＋…＋3＋1＝＝n2， 故bn＝[)＝[1＋)，故b1＝[2)＝3， 当n≥2时，1＋＜2，故bn＝[1＋)＝2， 所以数列{bn}的前2 024项和为3＋2×2 023＝4 049. 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋2n2＋1，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－(－1)n-1 B．an＝2n＋(－1)n-1 C．an＝n＋(－2)n D．an＝n－(－2)n 解析：选B．对于2Sn＝an＋2n2＋1，令n＝1，得2S1＝a1＋2＋1，所以a1＝3. 由2Sn＝an＋2n2＋1，得2Sn＋1＝an＋1＋2(n＋1)2＋1， 两式相减得2an＋1＝an＋1－an＋4n＋2，即an＋1＝－an＋4n＋2. 方法一：设an＋1＋x(n＋1)＋y＝－(an＋xn＋y)，则an＋1＝－an－2xn－x－2y， 可得解得 故an＋1－2(n＋1)＝－(an－2n). 因为a1－2×1＝1，所以{an－2n}是以1为首项，－1为公比的等比数列，则an－2n＝(－1)n-1，所以an＝2n＋(－1)n-1. 方法二：在数列{an}中，an＋1＋an＝4n＋2，n∈N*，当n≥2时，an＋an－1＝4n－2，则an＋1－an－1＝4，由a1＝3，得a2＝3. 由数列{a2n－1}是首项为3，公差为4的等差数列，可得a2n－1＝3＋4(n－1)＝2(2n－1)＋1，即an＝2n＋1(n为奇数)； 由数列{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，可得a2n＝3＋4(n－1)＝2·2n－1，即an＝2n－1(n为偶数). 综上，an＝2n＋(－1)n-1. 7．(多选)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　　) A．a2＝7 B．{Sn}是递增数列 C．{an＋3n}是等差数列 D．a10＝220－310 解析：选ABD．因为an＋1＝4an＋3n，则an＋1＋3n+1＝4(an＋3n)， 且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，则an＋3n＝4×4n-1＝4n，即an＝4n－3n. 对于A，a2＝42－32＝7，故A正确；对于B，因为an＝4n－3n＞0，所以{Sn}是递增数列，故B正确；对于C，因为数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，所以{an＋3n}不是等差数列，故C错误；对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确． 8．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3n+1－3，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足＝bn＋1，则下列说法中正确的是(　　) A．a1＝3b1 B．数列{an}是等比数列 C．数列{bn}是等差数列 D．若b2＝3，则＝ 解析：选BC．由2Sn＝3n+1－3，得Sn＝×3n+1－，a1＝S1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n+1－3n)＝3n，a1＝3满足上式，因此an＝3n，数列{an}是等比数列，B正确；由＝bn＋1，得Tn＝bn＋n　①，b1＝T1＝b1＋1，解得b1＝2，a1≠3b1，A错误；当n≥2时，Tn－1＝bn－1＋n－1　②，①－②得bn＋1＝bn－1　③，于是bn＝bn＋1＋1　④，③＋④得bn＝bn－1＋bn＋1，整理得2bn＝bn－1＋bn＋1，因此数列{bn}是等差数列，C正确；当b2＝3时，等差数列{bn}的公差为1，通项公式为bn＝n＋1，＝＝－， 所以＝1－＋－＋…＋－＋－＝1－＝，D错误． 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，当取最小值时，n＝________． 解析：当n≥2时，由Sn＝n2＋n，① 知Sn－1＝(n－1)2＋n－1，② ①－②，得an＝2n.又当n＝1时，a1＝S1＝2满足上式，所以an＝2n，所以＝＝(n＋＋1)≥×(2＋1)＝，当且仅当n＝，即n＝3时等号成立． 答案：3 10．如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球．根据以上规律引入一个数列{an}，满足an＝an－1＋n，n>1且n∈N*.则an＝____________． 解析：因为an＝an－1＋n，n>1，n∈N*，所以an－an－1＝n，n>1，n∈N*，易知a1＝1，所以当n>1时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，当n＝1时，上式也成立，所以an＝(n∈N*). 答案：(n∈N*) 11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，记bn＝(n∈N*)，则b1＋b2＋…＋b99＝________． 解析：由an＋1＝an，a1＝1，得当n≥2时，an＝××…××a1＝××…××1＝＝C， 而a1＝1也满足该式，故an＝C， 所以a1＋a2＋…＋an＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C， bn＝＝＝，则b1＋b2＋…＋b99＝×(1＋2＋…＋99)＝×＝1 650. 答案：1 650 12．在数列{an}中，已知a1＝1，＝＋2n－1. (1)求a2，a3； (2)证明：是等比数列； (3)求数列的前n项和Tn. 解：(1)由题意知＝＋1＝4，所以a2＝， 因为＝＋3＝15， 所以a3＝. (2)证明：由＝＋2n－1，整理得＋n＋1＝3(＋n)， 又＋1＝2，所以是首项为2，公比为3的等比数列． (3)由(2)可知＋n＝2×3n-1，所以＝2×3n-1－n， 所以Tn＝＋＋＋…＋＝2×(1＋3＋32＋…＋3n-1)－(1＋2＋3＋…＋n)＝2×－＝3n－1－. 13．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝3，且当n≥2时，Sn，，Sn－1成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝1－，若b2·b3·…·bn＝，求正整数n的值． 解：(1)方法一：由题意知， 当n≥2时，Sn＋Sn－1＝nan， 所以Sn＋Sn－1＝n(Sn－Sn－1)， 整理得Sn＝Sn－1，又S1＝a1＝3， 所以Sn＝××××…×××3 ＝(n2＋n)， 经检验，S1＝3也符合上式，故Sn＝(n2＋n). 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝3n，a1＝3也满足上式，故an＝3n. 方法二：由题意知当n≥2时，Sn＋Sn－1＝nan，所以当n≥3时，Sn－1＋Sn－2＝(n－1)an－1，两式相减得an＋an－1＝nan－(n－1)·an－1，即(n－1)an＝nan－1， 所以当n≥3时，＝， 所以当n≥2时，为常数列， 又由S2＋S1＝2a1＋a2＝2a2，得a2＝6， 所以＝＝3，所以＝＝3，即an＝3n. (2)由(1)得bn＝1－＝1－＝＝×，故b2·b3·…·bn＝××××…××＝.由＝，得n＝88. [B　综合运用] 14．(多选)已知数列{an}满足2anan＋1－3an＋1＋1＝0，a1＝，其前n项和为Sn，则(　　) A．an＜ B．Sn＞ C．是等比数列 D．Sn＜ 解析：选ABD．由题可知an＋1＝， 由a1＝，得a2＝，a3＝，a4＝， 猜想an＝，经验证，符合题意，所以an＝＝＝， 故{an}为递增数列且an＜，所以Sn＜，A，D正确； 又an≥，所以Sn≥＝>，即Sn>，B正确； 对于数列，＝－，＝－，＝－，因为(－)×(－)≠(－)2， 所以不是等比数列，C错误． 学科网（北京）股份有限公司 $