专题2 第1讲 等差、等比数列 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

专题强化训练 [A　基本技能] 1．(2025·潍坊一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a3＋a9＝24，则S6＝(　　) A．12 B．14 C．42 D．84 解析：选C．因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a9＝2a6＝24，所以a6＝12.所以S6＝＝＝42. 2．(2025·南京六校联考)已知等比数列{an}满足a4a5a6＝64，则a2a4＋a6a8的最小值为(　　) A．48 B．32 C．24 D．8 解析：选B．由等比数列的性质知a4a6＝a，所以a4a5a6＝a＝64，所以a5＝4，所以a2a4＋a6a8＝a＋a≥2a3a7＝2a＝32，当且仅当a3＝a7＝4时取等号． 3．(2025·厦门一模)记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a3＋a18＞0，S19＜0，则(　　) A．S20＜0 B．a6＋a17＜0 C．a11＞0 D．∈(－9，－8) 解析：选C．由a3＋a18＞0有a1＋a20＝a3＋a18＞0，得S20＝＝10(a1＋a20)＞0，故A错误；由S19＜0，得S19＝＝＝19a10＜0，即a10＜0，又a10＋a11＝a3＋a18＞0，所以a11＞0，故C正确；因为d＝a11－a10>0，所以a6＋a17＝a11＋a12＝2a11＋d＞0，故B错误；由解得－10＜＜－9，故D错误． 4．(2025·长沙二模)已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a3a7＝a5，则使得Tn＞1的n的最小值为(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 解析：选D．设等比数列{an}的公比为q(q＞1)，由a3a7＝a5，得a＝a5，解得a5＝1或a5＝0(舍去)，因此an＝a5qn-5＝qn-5，则Tn＝q-4+(-3)＋(-2)＋…＋(n-5)＝q，由Tn＞1，得q＞1，又q＞1，所以>0，解得n＞9，所以n的最小值为10. 5．(2025·豫西北教研联盟质检)已知在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝6，an＋1＝2an，bn＋1＝2bn－an，若am＝bm，则m＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B．因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.因为bn＋1＝2bn－2n，所以＝－，所以数列是公差为－的等差数列．因为b1＝6，所以＝3，所以＝3＋(n－1)(－)＝，所以bn＝(7－n)2n-1.因为am＝bm，所以2m＝(7－m)2m-1，即7－m＝2，解得m＝5. 6．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列A＝{a1，a2，a3，…}重新编辑，编辑新序列为A*＝，它的第n项为，若序列(A*)*的所有项都是2，且a4＝1，a5＝32，则a1＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．由题知，＝2，即{}是以为首项，2为公比的等比数列．设＝t，由题意得A*＝{t，2t，22t，…}， 则A*的第n项为＝2n-1t， 则n≥2时，an＝···…··a1＝t·2t·22t·…·2n-2t·a1＝2tn-1·a1. 因为a4＝1，a5＝32， 所以23t3·a1＝1，26t4·a1＝32， 解得t＝4，a1＝. 7．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 解析：选AD．对于A，由题意得 结合q＞0，解得故A正确； 对于B，a5＝a1q4＝4×()4＝，故B错误； 对于C，S5＝＝＝，故C错误； 对于D，an＝4×()n-1＝23-n，Sn＝＝8－23-n，则an＋Sn＝23-n＋8－23-n＝8，故D正确． 8．(多选)(2025·济宁一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn＋2，{bn}为等差数列，且b2＝a1，b8＝a3，记集合A＝{x∈N*|bn≤x≤an}中元素的个数为cn，数列{cn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　) A．an＝2n B．bn＝n C．cn＝2n－n D．Tn＝2n+1－－2 解析：选ABD．对于A，设等比数列{an}的公比为q，由an＋1＝Sn＋2，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，所以q＝2，又a2＝S1＋2＝a1＋2，a2＝2a1，解得a1＝2，所以an＝2×2n-1＝2n，A正确； 对于B，设等差数列{bn}的公差为d，由b2＝a1＝2，b8＝a3＝8，得6d＝b8－b2＝6，解得d＝1，所以bn＝b2＋(n－2)d＝n，B正确； 对于C，由A＝{x∈N*|bn≤x≤an}，得A＝{x∈N*|n≤x≤2n}， 则集合A中元素的个数为2n－n＋1，即cn＝2n－n＋1，C错误； 对于D，Tn＝(2＋22＋…＋2n)－(1＋2＋…＋n)＋n＝－＋n＝2n+1－－2，D正确． 9．(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． 解析：设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和， 则S4＝4，S8＝68， 设{an}的公比为q(q>0)， 所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4， S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8 ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a1q4＋a2q4＋a3q4＋a4q4 ＝(a1＋a2＋a3＋a4)(1＋q4)＝68， 所以4(1＋q4)＝68，则1＋q4＝17，解得q＝2(负值已舍去)，所以这个数列的公比为2. 答案：2 10．(2025·杭州质量检测)在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝am＋an，若akak＋1＝440，则正整数k＝________． 解析：令m＝1，则an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an＝2＋(n－1)×2＝2n.又akak＋1＝440，即2k(2k＋2)＝440，解得k＝10(负值已舍去).故正整数k＝10. 答案：10 11．如图所示的数阵的每一行最右边的数据从上到下形成以1为首项，2为公比的等比数列，每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项，3为公比的等比数列，则该数阵第n行(n∈N*)所有数据的和Sn＝________． 第一行　　 　　　　1 第二行　 　　 　 3　21 第三行　　　　　9　6　22 第四行　　 　27　18　12　23 第五行　　　81　54　36　24　24 　…　　　　　　　　… 解析：因为每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＝30×2n-1＋31×2n-2＋32×2n-3＋…＋3n-1×20＝3n-1×[()n-1＋()n-2＋()n-3＋…＋()0] ＝3n-1×＝3n[1－()n]＝3n－2n. 答案：3n－2n 12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝且Sn＝2an＋1－3，令bn＝. (1)求证：{an}为等比数列； (2)求使bn取得最大值时的n的值． 解：(1)证明：由Sn＝2an＋1－3可得， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an， 又an≠0， 即＝，因为a1＝，a1＝2a2－3， 所以a2＝， 则＝，综上，＝，n∈N*， 所以{an}是首项和公比均为的等比数列． (2)由(1)可得an＝()n， 所以bn＝()n(n2＋n)，n∈N*，故bn>0， 当n≥2时，＝＝， 令＞1，可得2≤n＜5，令＜1，可得n＞5， 可知b1＜b2＜b3＜b4＝b5＞b6＞b7＞…， 综上，bn取得最大值时，n＝4或n＝5. 13．(2025·河南二模)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1，是1－Sn与Sn＋1的等差中项． (1)证明：数列是等差数列； (2)设bn＝(－1)n·(Sn＋an)，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：(1)证明：因为是1－Sn与Sn＋1的等差中项，所以2＝1－Sn＋Sn＋1， 所以Sn＝1＋Sn＋1－2＝(－1)2， 因为数列{an}的各项均为正数，a1＝1，所以Sn＞0，Sn＋1>1， 所以＝－1，所以－＝1，所以数列{}是首项为＝＝1，公差为1的等差数列． (2)因为数列{}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×1＝n， 所以Sn＝n2，当n＝1时，a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又当n＝1时，a1＝1＝2×1－1，满足上式，所以an＝2n－1. 又bn＝(－1)n·(Sn＋an)， 所以T2n＝－S1－a1＋S2＋a2－S3－a3＋S4＋a4－…＋S2n＋a2n ＝(S2－S1)＋(S4－S3)＋…＋(S2n－S2n－1)－(a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n) ＝a2＋a4＋…＋a2n－(a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n) ＝－(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋2(a2＋a4＋…＋a2n) ＝－＋2× ＝－＋2× ＝－n(2n－1)＋n(4n＋2)＝2n2＋3n. [B　综合运用] 14．(2025·安徽江淮十校联考)已知[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x－[x]，设n∈N*，且＋＋＝2，当1≤n≤2 025时，所有满足条件的n的和等于________． 解析：由于分母2，3，6的最小公倍数为6，故可先考虑1≤n≤6时满足＋＋＝2的n的值的情况． 当n＝1时，＋＋＝＋＋＝＋＋＝1≠2，不满足； 当n＝2时，＋＋＝{1}＋＋＝0＋＋＝1≠2，不满足； 当n＝3时，＋＋＝＋{1}＋＝＋0＋＝1≠2，不满足； 当n＝4时，＋＋＝{2}＋＋＝0＋＋＝1≠2，不满足； 当n＝5时，＋＋＝＋＋＝＋＋＝2，满足； 当n＝6时，＋＋＝{3}＋{2}＋{1}＝0＋0＋0＝0≠2，不满足． 综上，满足题意的n可以表示为n＝6k＋5，k∈N的形式， 由1≤6k＋5≤2 025，k∈N，可得0≤k≤336，k∈N， 即所有满足条件的n构成等差数列，其首项为5，末项为2 021，项数为337，故当1≤n≤2 025时，所有满足条件的n的和等于＝341 381. 答案：341 381 学科网（北京）股份有限公司 $