专题3 高考提能 翻折、探索与最值问题 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

专题强化训练 1 D 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 11 2 3 专题强化训练 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 11 2 3 专题强化训练 2．在△ABC中，AD⊥BC，将△ABC沿AD翻折，若存在某个位置使AB1⊥AB，则下列说法一定正确的是(　　) A．AB≥AC B．AD≥CD C．BD≥AD D．BD≥CD C 解析：连接BB1(图略)，因为AB1⊥AB且AB1＝AB，所以∠ABB1＝45°.根据最小角定理可知，∠ABD≤∠ABB1＝45°，当且仅当B1在BC上时取等号，所以BD≥AD，C正确．其他不能确定，不一定正确．如：若B1在线段DC上(不与端点C重合)时，则AB＜AC，BD＜CD，AD＜CD. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 D 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 A 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 解析：由题意得DF＝CF＝4，作出图形如图，记△CDF外接圆的圆心为O1，则FO1为外接圆的半径，因为二面角A-EF-B的大小为120°， 且EF⊥DF，EF⊥CF，所以∠DFC＝120°，所以∠DCF＝30°， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 B 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 A 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 7．(多选)如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其中C，D，E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列说法正确的是(　　) A．△CEF为直角三角形 B．SA⊥平面CEF C．SD∥平面CEF ACD 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 若SA⊥平面CEF，则SA⊥FO， 在Rt△SOA中，AO＝FO＝AF＝2，所以∠OFA＝60°，故B错误； 因为FO∥SD，FO⊂平面CEF，SD⊄平面CEF， 所以SD∥平面CEF，故C正确； 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 AB 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 9．(多选)如图，在矩形ABCD中，AD＝4AB＝4，E为BC的中点，将△ABE沿AE翻折至点B′，得到四棱锥B′-AECD，M为B′D的中点，则(　　) AB 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是平面ABCD和平面A1C1D内的动点，若点P为棱BB1的中点，则PM＋MN的最小值为________． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 在B1B的延长线上取P1，使BP＝BP1， 所以PM＝P1M， 记dP1表示为P1到平面A1C1D的距离， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 解析：设AB＝A′B＝2a，取CE的中点K，连接BK，A′K， 由题知AE綉BC，所以四边形ABCE是平行四边形，所以AB＝CE，同理BE＝CD，又AB＝BC＝CD，所以△BCE是等边三角形，所以BK⊥CE.又平面BCE⊥平面D′CE， 平面BCE∩平面D′CE＝CE， BK⊂平面BCE， 所以BK⊥平面D′CE， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 又因为PA1⊂平面ABB1A1，所以AC⊥PA1. 因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以PA1⊥平面PAC.因为PA1⊂平面PA1C， 所以平面PAC⊥平面PA1C. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 (2)当λ∈(0，1)时，记平面PAC与平面ABC、平面ABB1A1、平面ACC1A1、平面BCC1B1所成的角分别为θ1，θ2，θ3，θ4，θ＝θ1＋θ2＋θ3＋θ4，求cos θ的取值范围． 解：由(1)知AB，AC，A1A两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(1，0，0)，A1(0，2，0)，B(0，0，1)，B1(0，2，1)，P(0，2λ，1)， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 14．(2025·临沂一模)在△NBC中，∠B＝90°，AD∥BC，NA＝CD＝2AB＝2，如图将△NAD沿AD翻折至△PAD. (1)证明：平面PBC⊥平面PAB； 解：证明：因为∠B＝90°，AD∥BC， 所以AD⊥PA，AD⊥AB， 因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB， 所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 专题强化训练 所以PM＋MN＝P1M＋MN≥dP1， 当P1N⊥平面A1C1D，P1N∩平面ABCD＝M时， PM＋MN取到最小值． 因为D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，P1(2，2，－1)，所以＝(2，0，2)，＝(0，2，2)，＝(2，2，－1)， 设平面A1C1D的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令x＝1，则n＝(1，1，－1)， 所以dP1＝＝＝，即PM＋MN的最小值为. $