专题2 高考提能3 数列与不等式 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

专题强化训练 1 4 1 2 3 专题强化训练 4 1 2 3 专题强化训练 4 1 2 3 专题强化训练 2．(2025·湖州一模)已知数列{an}的首项是1，其前n项和是Sn，且an＋1＝an＋2n＋1，n∈N*. (1)求a2，a3的值及数列{an}的通项公式； 解：因为an＋1＝an＋2n＋1， 所以an＋1－an＝2n＋1， 当n≥2，n∈N*时，an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1， 即an＝2(n－1)＋1＋2(n－2)＋1＋…＋2×1＋1＋1＝n2， 当n＝1时，a1＝1也满足an＝n2， 所以an＝n2，所以a2＝4，a3＝9. 4 2 3 1 专题强化训练 (2)若存在实数λ，使得关于n的不等式λ＋Sn≤25n，n∈N*有解，求实数λ取得最大值时n的值． 解：方法一：由题意得λ≤25n－Sn，n∈N*有解． 设bn＝25n－Sn，则λ≤(bn)max. 当n≥2，n∈N*时，bn－bn－1＝25n－Sn－[25(n－1)－Sn－1]＝25－an＝25－n2.当n≤4时，bn－bn－1>0； 当n＝5时，b5＝b4；当n≥6时，bn－bn－1<0. 所以当n＝4或n＝5时，bn取得最大值，最大值为b4＝b5＝25×4－(12＋22＋32＋42)＝70，所以λ≤70，当实数λ取得最大值时，n的值为4或5. 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 当0<x≤4时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x≥5时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 因为f(4)＝70＝f(5)， 所以λ≤70，当且仅当n＝4或n＝5时等号成立， 所以λ取得最大值时，n的值为4或5. 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 (2)证明{bn}是等比数列，并求其通项公式； 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 4 2 3 1 专题强化训练 $