专题2 高考提能1 构造法求数列的通项公式 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）
2026-03-15
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教辅
内容正文：
专题强化训练
1
一、选择题
1．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋4，a1＝7，则a211＝( )
A．3211－1 B．3212－1
C．3211－2 D．3212－2
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专题强化训练
解析：因为an＋1＝3an＋4，
所以an＋1＋2＝3(an＋2)，
又a1＋2＝9≠0，
所以数列{an＋2}是首项为9，
公比为3的等比数列，
所以an＋2＝9×3n-1＝3n+1，故an＝3n+1－2，
所以a211＝3212－2.
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2．已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝( )
A．47 B．48
C．49 D．410
解析：由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，
得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，又a2＋a1＝4≠0，
所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，即an＋an＋1＝4n，
所以a9＋a10＝49.
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7．(多选)记Sn为首项为2的数列{an}的前n项和，已知an－anan＋1＝1，则( )
A．2a2＝1
B．a4＝3
C．a2 025＋1＝0
D．2S2 025＝2 023
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a4＝a1＝2，故B错误；
a2 025＋1＝a3×675＋1＝a3＋1＝－1＋1＝0，故C正确；
2S2 025＝2×675×(a1＋a2＋a3)＝2 025，故D错误．
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8．(多选)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则( )
A．a2＝7
B．{Sn}是递增数列
C．{an＋3n}是等差数列
D．a10＝220－310
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解析：因为an＋1＝4an＋3n，
则an＋1＋3n+1＝4(an＋3n)，
且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，故C错误；
则an＋3n＝4×4n-1＝4n，
即an＝4n－3n.
对于A，a2＝42－32＝7，故A正确；
对于B，因为an＝4n－3n>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确；
对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确．
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11．(2025·漳州一模)已知数列{an}，{bn}满足：an－bn＋1＋3bn＋n＝0，bn－an＋1＋3an＋2n－1＝0，若a1＝2，b1＝1，则bn＝________．
解析：由题意可得an＋3bn＋n＝bn＋1，bn＋3an＋2n－1＝an＋1，
则an＋1＋bn＋1＋n＋1＝4(an＋bn＋n)，an＋1－bn＋1＋n＋1＝2(an－bn＋n)，
又a1＋b1＋1＝4，a1－b1＋1＝2，
则数列{an＋bn＋n}是以4为首项，4为公比的等比数列，
数列{an－bn＋n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋bn＋n＝4n①，an－bn＋n＝2n②，
①②联立得2bn＝4n－2n，所以bn＝22n-1－2n-1.
22n-1－2n-1
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专题强化训练
12．(2025·衡阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＝an＋1－2n+1.若Sn>n2＋61n，则n的最小值为________．
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专题强化训练
因为Sn－(n2＋61n)＝n·2n－(n2＋61n)＝n(2n－n－61)，
令cn＝2n－n－61，n∈N*，
则cn＋1－cn＝[2n+1－(n＋1)－61]－(2n－n－61)＝2n－1>0，
所以数列{cn}为递增数列，因为c6＝26－6－61＝－3<0，
c7＝27－7－61＝60>0，
所以当1≤n≤6时，Sn－(n2＋61n)＝ncn≤nc6<0，
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即Sn<n2＋61n；
当n≥7时，Sn－(n2＋61n)＝ncn≥nc7>0，
即Sn>n2＋61n.
所以n的最小值为7.
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14．(2025·辽宁一模)设{an}是各项都为正数的递增数列，已知a1＝1，且an满足关系式(an＋1＋an－1)2＝4an＋1an，n∈N*.
(1)求a2，a3；
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(2)求数列{an}的通项公式；
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…
所以数列{an}的最小正周期T＝3，
2a2＝2×＝1，故A正确；
三、解答题
13．在数列{an}中，已知a1＝1，＝＋2n－1.
(1)求a2，a3；
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