专题2 高考提能2 数列中的子数列 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 1．已知等比数列{an}为递增数列，其前n项和为Sn，满足S2＝6，S4＝30. (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝2n－1，将数列{an}与{bn}中的项按从小到大的顺序依次排列，构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前50项和T50. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 显然q>0且q≠1， 由已知得得q＝2(负值已舍去)， 所以a1＝2，所以an＝a1qn-1＝2n. (2)数列{an}中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 又b40＝79，b50＝99， 所以依题意可知新数列{cn}的前50项中，数列{an}中的项只有前6项，数列{bn}中的项有前44项，所以T50＝(2＋4＋8＋16＋32＋64)＋(1＋3＋5＋7＋…＋87)＝126＋＝126＋1 936＝2 062. 2．已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和为185. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排列成一个新的数列{bn}，若cn＝(an－2)bn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意得 解得 所以an＝3n＋2. (2)bn＝a2n＝3×2n＋2， 则cn＝(an－2)bn＝3n·(3×2n＋2)＝9n·2n＋6n， 设Sn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n， 则Tn＝9Sn＋3n(n＋1)， 又因为2Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n+1， 所以－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1， 则Sn＝(n－1)2n+1＋2， 所以Tn＝9(n－1)2n+1＋3n(n＋1)＋18. 3．(2025·湖北模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an＋1. (1)求Sn； (2)若cn＝Tn为数列{cn}的前n项和，求T2n. 解：(1)Sn＝2an＋1， 当n＝1时，S1＝a1＝－1， 当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1， 所以Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1， 所以Sn＝2Sn－1－1， 所以Sn－1＝2(Sn－1－1)，又因为S1－1＝－2≠0， 所以{Sn－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列， 所以Sn－1＝－2×2n-1， 所以Sn＝1－2n. (2)因为Sn＝1－2n＝2an＋1， 所以an＝－2n-1， 所以cn＝ 所以T2n＝c1＋c2＋c3＋c4＋c5＋c6＋…＋c2n－1＋c2n ＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2n) ＝(－20－22－24－…－22n-2)＋(1－22＋1－24＋1－26＋…＋1－22n) ＝－＋n－ ＝n＋(1－4n). 4．(2025·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且3an＝2Sn＋2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列．在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 解：(1)当n≥2，n∈N*时，由3an＝2Sn＋2，① 得3an－1＝2Sn－1＋2.② 由①－②得，3an－3an－1＝2an， 即an＝3an－1. 当n＝1时，3a1＝2a1＋2， 解得a1＝2. 所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列． 所以an＝2×3n-1(n∈N*). (2)不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．理由如下： 依题意得an＋1＝an＋(n＋2－1)dn， 即2×3n＝2×3n-1＋(n＋1)dn， 解得dn＝. 假设存在3项dm，dk，dp成等比数列(其中m＋p＝2k)， 则d＝dmdp， 即()2＝·， 整理得k2＝mp. 联立m＋p＝2k，解得m＝p＝k， 这与已知条件m≠p≠k矛盾． 所以不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 5．(2025·常州模拟)已知{an}和{bn}分别为正项等比和等差数列，且a1＋3＝b1＝5，a3＝b2＝8. (1)求{an＋bn}的前n项和； (2)将数列{an}与{bn}去除公共项后从小到大排列为{Cn}(n＝1，2，3，…)，记num(an)表示去除项在原数列{an}中的项数n，设An＝num(an)，Bn＝num(bn).求An和Bn的通项公式以及C2 026. 解：(1)由题意得，a1＝2，a3＝8，则正项等比数列{an}的公比为＝2，故an＝2n. 由b1＝5，b2＝8， 得正项等差数列{bn}的公差为b2－b1＝3，故bn＝3n＋2. 所以an＋bn＝2n＋3n＋2， 设{an＋bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＋3×＋2n＝2n+1＋－2. (2)令2n＝3m＋2且m，n∈N*，则n＝log2(3m＋2)∈N*， 所以满足条件的数对(m，n)有(2，3)，(10，5)，(42，7)，(170，9)，(682，11)，…， 对于数列{an}去除项对应n的值为3，5，7，9，11，…，是首项为3，公差为2的等差数列，则An＝num(an)＝2n＋1. 对于数列{bn}去除项对应n的值为2，10，42，170，682，…， 则Bn＝num(bn)＝. 由上分析，若两个数列最后一项公共项为211＝3×682＋2， 则数列{an}前11项与{bn}前682项有5项公共项，去除后{Cn}共有(11－5)＋(682－5)＝683项， 若两个数列最后一项为213＝3×2 730＋2，则数列{an}前13项与{bn}前2 730项有6项公共项， 去除后{Cn}共有(13－6)＋(2 730－6)＝2 731项， 显然683<2 026<2 731，因为(2 026－683)＋682＝2 025，b2 025＝3×2 025＋2＝6 077，a12＝212＝4 096<b2 025，所以C2 026对应为{bn}的第2 025－1＝2 024项， 所以C2 026＝3×2 024＋2＝6 074. 6．(2025·南开一模)已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a2＋3是a3－1，a5的等比中项． (1)求{an}的通项公式及Sn； (2)记bm为{an}在区间[a2m，2am＋1)(m∈N*)内项的个数，Tn为数列{bn}的前n项和． ①若Tn＋Sn<2 025，求n的最大值； ②设cn＝，证明：≤i<. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 依题意，S3＝3a1＋3d＝9，(a2＋3)2＝(a3－1)a5， 即 因为d>0，解得 所以an＝2n－1，Sn＝n2. (2)①令a2m≤2n－1<2am＋1， 即4m－1≤2n－1<22m+1， 解得2m≤n<22m＋， 所以bm＝22m－2m＋1， 即{bn}的通项公式为bn＝4n－2n＋1， 所以Tn＝－＝－n2. 又Sn＝n2， 所以Tn＋Sn＝. 由Tn＋Sn＝<2 025，得4n+1<6 079， 因为46＝4 096<6 079，47＝16 384>6 079， 所以n的最大值为5. ②证明：由①知cn＝×， 则i－i＝cn＋1>0， 所以i≥c1＝. 因为cn＝×<×＝×＝×≤×＝， 设Mn＝＋＋＋…＋＋， 则Mn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得Mn＝＋＋＋＋…＋－ ＝＋－＝－， 所以Mn＝－. 所以i<Mn＝－<. 综上，≤i<. 学科网（北京）股份有限公司 $