专题2 高考提能2 数列中的子数列 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

专题强化训练 1 1．已知等比数列{an}为递增数列，其前n项和为Sn，满足S2＝6，S4＝30. (1)求{an}的通项公式； 4 5 6 1 2 3 专题强化训练 (2)记bn＝2n－1，将数列{an}与{bn}中的项按从小到大的顺序依次排列，构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前50项和T50. 4 5 6 1 2 3 专题强化训练 2．已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和为185. (1)求数列{an}的通项公式； 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 (2)若从数列{an}中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排列成一个新的数列{bn}，若cn＝(an－2)bn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：bn＝a2n＝3×2n＋2，则cn＝(an－2)bn＝3n·(3×2n＋2)＝9n·2n＋6n， 设Sn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n， 则Tn＝9Sn＋3n(n＋1)， 又因为2Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n+1， 所以－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1， 则Sn＝(n－1)2n+1＋2， 所以Tn＝9(n－1)2n+1＋3n(n＋1)＋18. 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 3．(2025·湖北模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an＋1. (1)求Sn； 解：Sn＝2an＋1，当n＝1时，S1＝a1＝－1， 当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1， 所以Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1， 所以Sn＝2Sn－1－1，所以Sn－1＝2(Sn－1－1)，又因为S1－1＝－2≠0， 所以{Sn－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列， 所以Sn－1＝－2×2n-1， 所以Sn＝1－2n. 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4．(2025·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且3an＝2Sn＋2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； 解：当n≥2，n∈N*时，由3an＝2Sn＋2，① 得3an－1＝2Sn－1＋2.② 由①－②得，3an－3an－1＝2an， 即an＝3an－1. 当n＝1时，3a1＝2a1＋2，解得a1＝2. 所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列． 所以an＝2×3n-1(n∈N*). 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列．在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 5．(2025·常州模拟)已知{an}和{bn}分别为正项等比和等差数列，且a1＋3＝b1＝5，a3＝b2＝8. (1)求{an＋bn}的前n项和； 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 (2)将数列{an}与{bn}去除公共项后从小到大排列为{Cn}(n＝1，2，3，…)，记num(an)表示去除项在原数列{an}中的项数n，设An＝num(an)，Bn＝num(bn).求An和Bn的通项公式以及C2 026. 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 解：令2n＝3m＋2且m，n∈N*，则n＝log2(3m＋2)∈N*， 所以满足条件的数对(m，n)有(2，3)，(10，5)，(42，7)，(170，9)，(682，11)，…， 对于数列{an}去除项对应n的值为3，5，7，9，11，…，是首项为3，公差为2的等差数列，则An＝num(an)＝2n＋1. 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 去除后{Cn}共有(13－6)＋(2 730－6)＝2 731项， 显然683<2 026<2 731，因为(2 026－683)＋682＝2 025，b2 025＝3×2 025＋2＝6 077，a12＝212＝4 096<b2 025，所以C2 026对应为{bn}的第2 025－1＝2 024项， 所以C2 026＝3×2 024＋2＝6 074. 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 6．(2025·南开一模)已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a2＋3是a3－1，a5的等比中项． (1)求{an}的通项公式及Sn； 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 2 3 1 专题强化训练 (2)记bm为{an}在区间[a2m，2am＋1)(m∈N*)内项的个数，Tn为数列{bn}的前n项和． ①若Tn＋Sn<2 025，求n的最大值； ②设cn＝，证明：≤i<. 解：①令a2m≤2n－1<2am＋1， 即4m－1≤2n－1<22m+1， 解得2m≤n<22m＋， 所以bm＝22m－2m＋1， 即{bn}的通项公式为bn＝4n－2n＋1， 所以Tn＝－＝－n2. $