专题2 高分进阶 数列中的创新融合问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

高分进阶　数列中的创新融合问题 1 数列与函数（导数）、不等式、概率统计、集合等知识的交汇问题，是历年新高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、数列不等式的证明等. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)若S100＝100π，求证：T100＝100π.反之是否成立？请说明理由． 【解】　证明：若S100＝100π，根据等差数列性质可得50(an＋a101－n)＝100π(1≤n≤50，n∈N*)， 由此可得an＋a101－n＝2π，a101－n＝2π－an， sin a101－n＝sin (2π－an)＝－sin an，即sin an＋sin a101－n＝0， 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期性、最值，不等式恒成立下的参数范围问题等．解决这类问题的关键是以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数(定义域是正整数集或它的有限子集)，利用函数的思想方法求解，体现由特殊到一般的思想转化． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 以数列为背景的概率问题，角度新颖，思路独特，就本题而言：第(1)问，列出a3所有的可能取值，再去求其概率，利用随机变量的期望列出不等关系，求出a1的取值范围；第(2)问，依次成等比数列的情况只有两种，分别求其满足等比数列的概率，再利用分组求和比较大小即可． 返回首页 二轮专题复习 类型三　数列的新定义问题 [例3]　(2025·佛山二模)对于数列{an}，若∃d∈R，使得∀n∈N*，都有an＋2＋2an＋1＋an＝d成立，则称{an}为“三和定值数列”．已知{an}为“三和定值数列”，且a1＝2，a2＝4，d＝8. (1)求a3，a4，a5； 【解】　因为a1＝2，a2＝4，d＝8， 由an＋2＋2an＋1＋an＝8，得a3＋2a2＋a1＝8，解得a3＝－2； 又a4＋2a3＋a2＝8，解得a4＝8； 又a5＋2a4＋a3＝8，解得a5＝－6.所以a3＝－2，a4＝8，a5＝－6. 返回首页 二轮专题复习 (2)已知Sn为数列{an}的前n项和，求S2 025. 【解】　因为an＋2＋2an＋1＋an＝8， 设bn＝an＋1＋an，则有bn＋1＋bn＝8， 所以bn＋2＋bn＋1＝8，则bn＋2＝bn， 又因为b1＝a2＋a1＝6，所以b1＝b3＝b5＝…＝b2 023＝6， 即a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝…＝a2 023＋a2 024＝6， 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等． 返回首页 二轮专题复习 A 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 2．如果数列{an}对任意的n∈N*，an＋2－an＋1＞an＋1－an，则称{an}为“速增数列”．若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2 026，则正整数k的最大值为(　　) A．62 B．63 C．64 D．65 B 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 3．(2025·兰州一模)已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列，则a＝a2·a8， 所以(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，解得d＝1或d＝0(舍去)，所以an＝n(n∈N*). 返回首页 二轮专题复习 (2)证明：ln an≤an－1. 返回首页 二轮专题复习 4．在前n项和为Sn的等比数列{an}中，a4＝15a2＋16，且S3＝5a2＋a1. (1)求数列{an}的通项公式； 解：设等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，因为a4＝15a2＋16，所以a1q3＝15a1q＋16.① 因为S3＝5a2＋a1，所以a1＋a1q＋a1q2＝5a1q＋a1， 化简得a1q(q－4)＝0.② 联立①②解得q＝4，a1＝4. 所以数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1＝4×4n-1＝4n. 返回首页 二轮专题复习 (2)从集合A＝{x∈N*∣1≤x≤18}中随机取出四个元素x，y，z，t(其中x＞y＞z＞t)，记K＝ax＋ay＋az＋at，求K＜a11的概率． 返回首页 二轮专题复习 5．(2025·湖南一模)已知数列{an}是以2为公比的等比数列，前n项和为Sn，且S3＝2a3－2. (1)解不等式：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＞100； 返回首页 二轮专题复习 解：由S3＝2a3－2，得a1＋a2＋a3＝2a3－2， 即a1＋2a1＝4a1－2，得a1＝2， 所以an＝2×2n-1＝2n，则nan＝n·2n. 设Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 所以2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n+1， 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 T100＝(ai)＝(ai＋2sin ai)＝i＋2sin ai＝S100＋2×50(sin an＋sin a101－n)＝S100，解得T100＝100π，证毕． 反之，若T100＝100π， 即T100＝(ai)＝S100＋2sin ai＝100π. 【解】　随机变量a3的分布列为 a3 a1 P 所以E(a3)＝×＋×＋×＋a1＝≥.因为a1＞0，所以0＜a1≤1或a1≥，即a1的取值范围是(0，1]∪. $