专题1 高分进阶3 以三角函数为背景的创新融合问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

高分进阶3　以三角函数为背景的创新融合问题 1 以三角函数为问题背景，巧妙与函数（导数）、平面向量、数列、不等式等相关知识融合与交汇是高考的热点和重点，解决此类问题，主要把握住三角函数与其他知识点之间的转化关系，熟记三角恒等变换的有关公式及三角函数的图象与性质. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 解决三角函数与数列的交汇问题，一般先利用三角函数的性质把问题转移到相关的数列问题上，然后再根据数列的相关知识求通项公式或前n项和． 　 返回首页 二轮专题复习 类型二　解三角形中的新情境 [例2]　(2025·景德镇三模)如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面所成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线． 返回首页 二轮专题复习 C 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 解决新情境问题首先应充分理解题意，作出示意图，把已知量尽量集中在一个三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解． 返回首页 二轮专题复习 类型三　解三角形中的新定义 [例3]　已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数h(x)具有性质P. (1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cos x是否具有性质P. 【解】　因为f(x)＝2x，则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x具有性质P；因为g(x)＝cos x，则g(x＋2π)＝cos (x＋2π)＝cos x，又g(2π)＝cos 2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cos x＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cos x不具有性质P. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 若2ωπ＝4π，此时ω＝2，f(x)＝sin 2x， 则f(x＋2π)＝sin [2(x＋2π)]＝sin 2x， 则f(x)＋f(2π)＝sin 2x＋sin 4π＝sin 2x， 即有f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)成立， 所以存在ω＝2，φ＝0使函数f(x)具有性质P. 返回首页 二轮专题复习 (3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝sin (f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点．求证：f(2π)＝2π. 返回首页 二轮专题复习 【解】　证明：由函数f(x)具有性质P及(2)可知，f(0)＝0， 由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)， 即sin (f(2π))＝sin (f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z； 由f(0)＝0，f(2π)＝kπ，k∈Z以及题设可知， 函数f(x)在[0，2π]上的值域为[0，kπ]，所以k∈Z且k>0； 当k>2，f(x)＝π 及f(x)＝2π时，均有g(x)＝sin (f(x))＝0， 返回首页 二轮专题复习 这与g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此k＝1或k＝2； 当k＝1时，f(2π)＝π，函数f(x)在[0，2π]上的值域为[0，π]， 此时函数g(x)的值域为[0，1]，而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函数f(x)在[2π，4π]的值域为[π，2π]，此时函数g(x)的值域为[－1，0]，函数g(x)＝sin (f(x))在x∈[0，2π]和x∈[2π，4π]时的取值范围不同，与函数g(x)是以2π为周期的周期函数矛盾，故k＝2，即f(2π)＝2π，命题得证． 返回首页 二轮专题复习 解决三角函数新定义问题的思路 (1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义； (2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中； (3)利用三角函数的公式、性质解答问题． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝2，BC边上的中线AD＝，求sin B的值． $