专题2 高分进阶 数列中的创新融合问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

数列与函数（导数）、不等式、概率统计、集合等知识的交汇问题，是历年新高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、数列不等式的证明等. 类型一　数列与函数 [例1]　已知f(x)＝x＋2sin x，等差数列{an}的前n项和为Sn，记Tn＝(ai). (1)若a1，a2，a3是某个三角形的三个内角，求T3的取值范围； (2)若S100＝100π，求证：T100＝100π.反之是否成立？请说明理由． 【解】　(1)因为{an}为等差数列，所以a1＋a2＋a3＝3a2， 又a1，a2，a3是某个三角形的三个内角， 所以a1＋a2＋a3＝π，得a2＝，a1＋a3＝， T3＝a1＋2sin a1＋a2＋2sin a2＋a3＋2sin a3＝π＋2sin a1＋2sin ＋2sin ＝π＋＋3sin a1＋cos a1＝π＋＋2sin ， 因为a1，a2，a3是某个三角形的三个内角， 且a2＝，所以a1∈，即a1＋∈， sin ∈，可得T3∈(π＋2，π＋3]. (2)证明：若S100＝100π，根据等差数列性质可得50(an＋a101－n)＝100π(1≤n≤50，n∈N*)， 由此可得an＋a101－n＝2π，a101－n＝2π－an， sin a101－n＝sin (2π－an)＝－sin an，即sin an＋sin a101－n＝0， T100＝(ai)＝(ai＋2sin ai)＝i＋2sin ai＝S100＋2×50(sin an＋sin a101－n)＝S100，解得T100＝100π，证毕． 反之，若T100＝100π， 即T100＝(ai)＝S100＋2sin ai＝100π. 因为{an}为等差数列，所以50(an＋a101－n)＝S100⇒an＋a101－n＝(1≤n≤50，n∈N*)， 即T100＝S100＋2＝100π， 当且仅当sin ＝－sin ai时， S100＝100π， 若sin ≠－sin ai， 则S100≠100π， 故反之不成立，证毕． 以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期性、最值，不等式恒成立下的参数范围问题等．解决这类问题的关键是以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数(定义域是正整数集或它的有限子集)，利用函数的思想方法求解，体现由特殊到一般的思想转化． 类型二　数列与概率统计 [例2]　已知{an}是各项均为正数的数列，事件“an＋1＝”发生的概率为，事件“an＋1＝”发生的概率为. (1)若随机变量a3的期望E(a3)不小于，求a1的取值范围； (2)已知a1＝1，若a1，a2，…，an(n≥3)依次成等比数列的概率为pn，比较i与的大小． 【解】　(1)随机变量a3的分布列为 a3 a1 P 所以E(a3)＝×＋×＋×＋a1＝≥.因为a1＞0，所以0＜a1≤1或a1≥，即a1的取值范围是(0，1]∪. (2)根据题意可得a1，a2，…，an(n≥3)依次成等比数列的情况有两种，第一种是公比为，第二种是公比为1， 所以pn＝n-1＋n-1(n≥3), 所以i＝＋＝－，　 因为3×n＋×n＞0，所以i＜. 以数列为背景的概率问题，角度新颖，思路独特，就本题而言：第(1)问，列出a3所有的可能取值，再去求其概率，利用随机变量的期望列出不等关系，求出a1的取值范围；第(2)问，依次成等比数列的情况只有两种，分别求其满足等比数列的概率，再利用分组求和比较大小即可． 类型三　数列的新定义问题 [例3]　(2025·佛山二模)对于数列{an}，若∃d∈R，使得∀n∈N*，都有an＋2＋2an＋1＋an＝d成立，则称{an}为“三和定值数列”．已知{an}为“三和定值数列”，且a1＝2，a2＝4，d＝8. (1)求a3，a4，a5； (2)已知Sn为数列{an}的前n项和，求S2 025. 【解】　(1)因为a1＝2，a2＝4，d＝8， 由an＋2＋2an＋1＋an＝8，得a3＋2a2＋a1＝8，解得a3＝－2； 又a4＋2a3＋a2＝8，解得a4＝8； 又a5＋2a4＋a3＝8，解得a5＝－6.所以a3＝－2，a4＝8，a5＝－6. (2)因为an＋2＋2an＋1＋an＝8， 设bn＝an＋1＋an，则有bn＋1＋bn＝8， 所以bn＋2＋bn＋1＝8，则bn＋2＝bn， 又因为b1＝a2＋a1＝6，所以b1＝b3＝b5＝…＝b2 023＝6， 即a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝…＝a2 023＋a2 024＝6， 又a1＝2＝(2×1－2)×(－1)＋2，a2＝4＝(2×2－2)×(－1)2＋2，a3＝－2＝(2×3－2)×(－1)3＋2， a4＝8＝(2×4－2)×(－1)4＋2，a5＝－6＝(2×5－2)×(－1)5＋2，所以an＝(－1)n·(2n－2)＋2，所以a2 025＝－4 046，所以S2 025＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2 023＋a2 024＋a2 025＝×6－4 046＝2 026. 涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等． 1．已知数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，且b1 013＝1，若f(x)＝，则f(b1)＋f(b2)＋…＋f(b2 025)＝(　　) A．4 050 B．4 052 C．2 025 D．2 026 解析：选A.由题可得f(x)＋f＝＋＝＋＝4， 又数列{bn}为等比数列，且b1 013＝1，所以b1b2 025＝b2b2 024＝…＝b＝1，即f(b1)＋f(b2 025)＝f(b2)＋f(b2 024)＝…＝f(b1 012)＋f(b1 014)＝4，f(b1 013)＝f(1)＝2， 所以f(b1)＋f(b2)＋…＋f(b2 025)＝4×1 012＋2＝4 050. 2．如果数列{an}对任意的n∈N*，an＋2－an＋1＞an＋1－an，则称{an}为“速增数列”．若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2 026，则正整数k的最大值为(　　) A．62 B．63 C．64 D．65 解析：选B.当k≥2时，ak＝2 026＝(ak－ak－1)＋(ak－1－ak－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1， 因为数列{an}为“速增数列”，所以ak－ak－1＞ak－1－ak－2＞…＞a3－a2＞a2－a1＝2，且an∈Z， 所以(ak－ak－1)＋(ak－1－ak－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1≥k＋k－1＋…＋3＋2＋1，即2 026≥，k∈Z， 当k＝63时，＝2 016＜2 026，当k＝64时，＝2 080＞2 026， 故正整数k的最大值为63. 3．(2025·兰州一模)已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：ln an≤an－1. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列，则a＝a2·a8， 所以(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，解得d＝1或d＝0(舍去)，所以an＝n(n∈N*). (2)证明：设f(x)＝ln x－x＋1，x>0，f′(x)＝－1＝，当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)max＝f(1)＝0，所以ln x－x＋1≤0，由(1)可知an≥1， 则有ln an－an＋1≤0，所以不等式ln an≤an－1恒成立． 4．在前n项和为Sn的等比数列{an}中，a4＝15a2＋16，且S3＝5a2＋a1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)从集合A＝{x∈N*∣1≤x≤18}中随机取出四个元素x，y，z，t(其中x＞y＞z＞t)，记K＝ax＋ay＋az＋at，求K＜a11的概率． 解：(1)设等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，因为a4＝15a2＋16，所以a1q3＝15a1q＋16.① 因为S3＝5a2＋a1，所以a1＋a1q＋a1q2＝5a1q＋a1， 化简得a1q(q－4)＝0.② 联立①②解得q＝4，a1＝4. 所以数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1＝4×4n-1＝4n. (2)由题意知，K＝ax＋ay＋az＋at＝4x＋4y＋4z＋4t. a11＝411.要使得K＜a11，即4x＋4y＋4z＋4t＜411. 要使不等式成立，则x，y，z，t任何一个都不能大于等于11，所以需要从1到10中选4个数才能满足，此时，共有C种， 所以概率为＝＝. 5．(2025·湖南一模)已知数列{an}是以2为公比的等比数列，前n项和为Sn，且S3＝2a3－2. (1)解不等式：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＞100； (2)数列{an}中，定义：使a1·a2·…·ak为整数的数k(k∈N*)叫做期盼数．求区间[1，100]内的所有期盼数的和． 解：(1)由S3＝2a3－2，得a1＋a2＋a3＝2a3－2， 即a1＋2a1＝4a1－2，得a1＝2， 所以an＝2×2n-1＝2n，则nan＝n·2n. 设Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 所以2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n+1， 两式相减，得－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n+1 ＝－n·2n+1＝(1－n)2n+1－2， 得Tn＝(n－1)2n+1＋2，所以(n－1)2n+1＋2＞100， 解得不等式的解集为{n|n≥5，n∈N*}． (2)因为an＝2n，所以a1·a2·…·ak＝×2×22×…×2k， 易得当k≥3时，a1·a2·…·ak为整数，又k≤100， 故区间[1，100]内的所有期盼数的和为3＋4＋5＋…＋100＝＝5 047. 学科网（北京）股份有限公司 $